Короткая арифметика Гильберта

Короткая арифметика Гильберта — пример полугруппы, иллюстрирующий тот факт, что для доказательства основной теоремы арифметики необходимо использовать свойства не только умножения, но и сложения. Этот пример принадлежит Давиду Гильберту.

ОпределениеПравить

Короткая арифметика Гильберта представляет собой множество чисел вида $4n+1$$4n+1$ , где $n$$n$  пробегает все натуральные числа:

$1,5,9,13,17,\dots <!--\; \dots \; -->$$1,5,9,13,17,\dots$ 

Иногда их называют числа Гильберта. На этом множестве может быть корректно определена стандартная операция умножения, поскольку произведение двух чисел из множества дает вновь число из этого множества: $(4a+1)(4b+1)=4(ab+a+b)+1$$(4a+1)(4b+1)=4(ab+a+b)+1$ . Таким образом, короткая арифметика Гильберта является полугруппой.

Простые числа ГильбертаПравить

В арифметике Гильберта можно определить простые числа (простые числа Гильберта) стандартным образом: число Гильберта называется простым Гильберта, если оно не делится на меньшее число Гильберта (отличное от $1$$1$ ). Последовательность простых Гильберта начинается так:

$5,9,13,17,21,29,33,37,41,49,\dots <!--\; \dots \; -->$$5,9,13,17,21,29,33,37,41,49,\dots$ 

Простое число Гильберта не обязательно является простым в обычном смысле. Например, $21$$21$  является составным в натуральных числах, поскольку $21=3\cdot <!--\; \cdot \; -->7$$21=3\cdot 7$ , однако оно является простым Гильберта, поскольку ни $3$$3$ , ни $7$$7$  (то есть все делители числа $21$$21$ , отличные от $1$$1$  и самого числа) не являются числами Гильберта. Из свойств умножения по модулю $4$$4$  следует, что простое Гильберта является либо простым числом вида $4n+1$$4n+1$  (такие числа называются простыми числами Пифагора), либо полупростым вида $(4a+3)(4b+3)$$(4a+3)(4b+3)$ .

Невыполняемость основной теоремы арифметикиПравить

Любое число Гильберта может быть разложено на произведение простых чисел Гильберта, однако для короткой арифметики Гильберта не выполняется основная теорема арифметики: такое разложение может быть не единственным. Например, $441$$441$  является числом Гильберта, но разлагается на простых чисел Гильберта двумя способами:

$441=9\cdot <!--\; \cdot \; -->49=21\cdot <!--\; \cdot \; -->21$$441=9\cdot 49=21\cdot 21$ .

где числа $9$$9$ , $49$$49$  и $21$$21$  являются простыми Гильберта.

ПримечанияПравить

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Hilbert Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Основная теорема арифметики  (неопр.). Школа Опойцева — Лекции и Уроки. — Видеоурок. Дата обращения: 18 марта 2020.