Конхоида Никомеда

Конхоида Никомеда ― конхоида прямой, то есть кривая, получающаяся увеличением (вторая ветвь — уменьшением) радиус-вектора точек прямой на некую постоянную величину $\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}$$\ell$; плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. Конхоида имеет две ветви, сама прямая конхоиды является асимптотой обеих ветвей.

Три конхоиды прямой с общим центром, красная $\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}=a/2$$\ell =a/2$, зелёная $\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}=a$$\ell =a$ и синяя $\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}=2a$$\ell =2a$

Название происходит от др.-греч. κογχοειδής — «похожий на раковину».

ПостроениеПравить

 

Построение конхоиды Никомеда

Пусть на плоскости выбрана прямая m и точка O, отстоящая от прямой на расстояние a. Проведём через точку O луч, пересекающий прямую m в некоторой точке N; точки M₁ и M₂, лежащие на луче ON и отстоящие от точки N на заранее выбранное расстояние l, будут точками конхоиды. Меняя направление луча ON, можно построить всю конхоиду.

УравненияПравить

Декартовы координатыПравить

Если центр конхоиды помещён в начале координат, а прямая задана уравнением $y+a=0$$y+a=0$  в декартовых прямоугольных координатах, то уравнение конхоиды имеет вид

${\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^2{y}^2=(x^2+y^2)(y+a{)}^2$$\ell ^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2})(y+a)^{2}$ 

Начало координат является двойной точкой, характер которой зависит от величин $a$$a$  и $\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}$$\ell$ :

• при $\ell <a$  ― изолированная точка
• при $\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}>a$$\ell >a$  ― узловая точка
• при $\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}=a$$\ell =a$  ― точка возврата

Полярные координатыПравить

В полярных координатах, если начало координат находится на расстоянии $a$$a$  от прямой, которая смещается вдоль радиус-вектора на расстояние $l$$l$ , уравнение конхоиды имеет вид

$r=\frac{a}{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}.$$r={\frac {a}{\cos \varphi }}\pm \ell .$ 

ИсторияПравить

Кривая названа по имени Никомеда (III—II века до н. э.), который применял её для решения задачи о трисекции угла и удвоения куба.

ЛитератураПравить

• Прасолов В. В.. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.
• Савёлов А. А. Плоские кривые. Физматгиз, 1960.
• Конхоида // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 150-151. — 352 с.