Конструкция Штейнера

Конструкция Штейнера — способ определения невырожденного конического сечения в проективной плоскости над полем. Была предложена швейцарским математиком Якобом Штейнером.

1. Конструкция Штейнера

2. Перспективное отображение прямых

3. Пример конструкции Штейнера: построение точки P

КонструкцияПравить

• Пусть даны два пучка прямых $B(U),B(V)$$B(U),B(V)$  в точках $U,V$$U,V$  (все прямые, содержащие $U$$U$  и $V$$V$  соответственно) и проективное, но не перспективное отображение $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  из $B(U)$$B(U)$  в $B(V)$$B(V)$ . Тогда точки пересечения соответствующих прямых образуют невырожденное проективное коническое сечение (изображение 1)

Перспективное отображение $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  пучка $B(U)$$B(U)$  в пучок $B(V)$$B(V)$  — это биекция, такая, что соответствующие прямые пересекаются на фиксированной прямой $a$$a$ , называемой осью перспективного отображения $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  (изображение 2).

Проективное отображение — это композиция конечного числа перспективных отображений.

Примеры часто используемых полей — это действительные числа $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ , рациональные числа $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$  и комплексные числа $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$ . Конструкция также работает над конечными полями, давая примеры в конечных проективных плоскостях.

Замечание: Основная теорема для проективных плоскостей утверждает, что проективное отображение в проективной плоскости над полем однозначно определяется образами трёх прямых. Это значит, что для конструкции Штейнера, кроме двух точек $U,V$$U,V$  должны быть заданы только образы трёх прямых. Поскольку образ прямой однозначно определяется точкой пересечения с образом, отсюда следует, что коника однозначно определяется пятью лежащими на ней точками.

ПримерПравить

В следующем примере известны образы трёх прямых $a,u,w$$a,u,w$  (см. изображение 3): $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(a)=b,\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(u)=w,\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(w)=v$$\pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v$ . Проективное отображение $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  является композицией перспективных отображений ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_b,{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_a$$\pi _{b},\pi _{a}$ : 1) ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_b$$\pi _{b}$  — это перспективное отображение пучка в точке $U$$U$  на пучок в точке $O$$O$  с осью $b$$b$ . 2) ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_a$$\pi _{a}$  — это перспективное отображение пучка в точке $O$$O$  на пучок в точке $V$$V$  с осью $a$$a$ . Нужно проверить, что $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_a{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_b$$\pi =\pi _{a}\pi _{b}$  обладает следующими свойствами: $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(a)=b,\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(u)=w,\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(w)=v$$\pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v$ . Таким образом, для произвольной прямой $g$$g$  может быть построен её образ $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(g)={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_a{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_b(g)$$\pi (g)=\pi _{a}\pi _{b}(g)$ . Прямые $u$$u$  и $v$$v$  содержат только точки коники $U$$U$  и $V$$V$  соответственно. Следовательно, $u$$u$  и $v$$v$  являются касательными к построенной конике.

Доказательство того, что этот метод позволяет построить конику, производится путём перехода к аффинной карте, в которой прямая $w$$w$  является бесконечно удалённой прямой, точка $O$$O$  — началом координат, точки $U,V$$U,V$  — точками на бесконечности, соответствующими осям x и y соответственно. и точка $E=(1,1)$$E=(1,1)$ . Аффинная часть построенной коники оказывается гиперболой $y=1/x$$y=1/x$ .

Построение Штейнера двойственной коникиПравить

 

Двойственный эллипс

 

Построенная по Штейнеру двойственная коника

 

Определение перспективного отображения

 

Пример построения двойственной коники по Штейнеру

ОпределенияПравить

При переходе к двойственной проективной плоскости меняются местами слова «точка» и «прямая» и операции пересечения прямых и соединения точек. Двойственная проективная плоскость также является проективной плоскостью и на ней можно ввести однородные координаты. Невырожденное конической сечение в двойственной проективной плоскости также определяется квадратичной формой.

Двойственная коника может быть построена двойственным методом Штейнера:

• Пусть даны прямые $u,v$$u,v$  и проективное, но не перспективное отображение $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  из $u$$u$  в $v$$v$ . Тогда прямые, соединяющие соответственные точки, образуют двойственное невырожденное проективное коническое сечение.

Перспективное отображение $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  множества точек на прямой $u$$u$  на множество точек на прямой $v$$v$  — это биекция, такая, что прямые, соединяющие соответственные точки, пересекаются в фиксированной точке $Z$$Z$ , которая называется центром перспективного отображения $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  (см. изображение).

Проективное отображение — это композиция конечного числа перспективных отображений.

В случае, когда основное поле имеет характеристику 2, все касательные коники пересекаются в точке, называемой узлом (или ядром) коники. Следовательно, коника, двойственная к невырожденной конике, является подмножеством двойственной прямой, а не овальной кривой (в двойственной плоскости). Так что двойственная коника является невырожденной только в том случае, когда характеристика основного поля не равна 2.

ПримерПравить

В следующем примере известны образы трёх точек $A,U,W$$A,U,W$ : $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(A)=B,\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(U)=W,\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(W)=V$$\pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V$ . Проективное отображение $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  может быть представлено как композиция перспективных отображений ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_B,{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_A$$\pi _{B},\pi _{A}$ :

1) ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_B$$\pi _{B}$  — это перспективное отображение множества точек на прямой $u$$u$  на множество точек на прямой $o$$o$  с центром $B$$B$ .

2) ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_A$$\pi _{A}$  — это перспективное отображение множества точек на прямой $o$$o$  на множество точек на прямой $v$$v$  с центром $A$$A$ .

Лекгко проверяется, что отображение $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_A{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_B$$\pi =\pi _{A}\pi _{B}$  удовлетворяет $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(A)=B,\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(U)=W,\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(W)=V$$\pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V$ . Таким образом, для произвольной точки $G$$G$  может быть построен её образ $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(G)={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_A{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_B(G)$$\pi (G)=\pi _{A}\pi _{B}(G)$  и прямая $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(G)}$${\overline {G\pi (G)}}$  является элементом двойственной коники.

ЛитератураПравить

• Coxeter, H. S. M. The Real Projective Plane, Springer Science & Business Media, 1993
• Hartmann, Erich, Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes
• Merserve, Bruce E. Fundamental Concepts of Geometry, Dover, (1983) [1959], ISBN 0-486-63415-9