Константа Эмбри — Трефетена

Константа Эмбри — Трефетена — это математическая константа в теории чисел, обозначаемая β*. Приближённое значение константы 0,70258.

Названа в честь математиков Марка Эмбри и Ллойда Н. Трефетена.

ОписаниеПравить

Для некоторого положительного числа $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$  рассмотрим рекуррентную последовательность:

$x_{n+1}=x_n\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{x}_{n-<!--\; -\; -->1}$$x_{n+1}=x_{n}\pm \beta x_{n-1}$ 

где знак в сумме, плюс или минус, выбирается для каждого n случайно, с равной вероятностью.

Можно доказать, что для любого $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$ , предел

$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}({|x_n|}^{1/n})$$\sigma (\beta )=\lim _{n\to \infty }({|x_{n}|}^{1/n})$ 

существует почти наверняка.

Таким образом,

$\sigma <1$  при $0<\beta <\beta ^{*}$  и $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}>1$$\sigma >1$  при $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}>{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$\beta >\beta ^{*}$ .

Для других значений $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$  получаем:

$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(1)=\mathrm{1,131}\mathrm{98824...}$$\sigma (1)=1{,}13198824...$ (константа Висваната)

$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}({\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->})=1$$\sigma (\beta ^{*})=1$ 

См. такжеПравить

• Случайная последовательность Фибоначчи