Константа Ландау — Рамануджана

В математике Константа Ландау — Рамануджана является результатом теории чисел о плотности сумм двух квадратов целых чисел на числовой оси. Эта теорема была доказана независимо Эдмундом Ландау и Сринивасой Рамануджаном.

Теорема о плотности сумм двух квадратовПравить

Если $N(x)$$N(x)$  - число целых на отрезке $[1,x]$$[1,\;x]$ , которые являются суммой двух квадратов целых чисел, то

$N(x)=\frac{Cx}{\sqrt{\ln <!--\; \; -->(x)}}(1+o(1)),$$N(x)={\frac {Cx}{\sqrt {\ln(x)}}}(1+o(1)),$ 

где $C$$C$  — константа пропорциональности Ландау — Рамануджана:

$C=\underset{x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{N(x)\sqrt{\ln <!--\; \; -->(x)}}{x}\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,764}22365358922066299069873125.$$C=\lim _{x\to \infty }{\frac {N(x){\sqrt {\ln(x)}}}{x}}\approx 0{,}764\;223\;653\;589\;220\;662\;990\;698\;731\;25.$ 

Точность приближения целого суммой двух квадратовПравить

Из теоремы Ландау — Рамануджана следует, что при растущем $x$$x$  средняя ошибка приближения целого числа из интервала от 1 до $x$$x$  суммой двух квадратов целых чисел не менее $\frac{\sqrt{\ln <!--\; \; -->(x)}}{2C}(1+o(1))$${\frac {\sqrt {\ln(x)}}{2C}}(1+o(1))$ . Известная сегодня (2013) тривиальная оценка ошибки такого приближения сверху существенно больше — $O(x^{1/4})$$O(x^{1/4})$ . Со времен Эйлера существует гипотеза о том, что

$\underset{u,w\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}}{min}|x-<!--\; -\; -->u^2-<!--\; -\; -->w^2|⩽<!--\; ⩽\; -->x^{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}},$$\min _{u,\;w\in \mathbb {Z} }|x-u^{2}-w^{2}|\leqslant x^{\varepsilon },$ 

где $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0,\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon>0,\;\varepsilon$  — любое, $x⩾<!--\; ⩾\; -->x_1(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})$$x\geqslant x_{1}(\varepsilon )$ .

Данная задача является обобщением проблемы Варинга.

Критерий возможности точного представленияПравить

Число $a$$a$  представимо в виде $s^2+t^2=a$$s^{2}+t^{2}=a$  ($s$$s$  и $t$$t$  - целые) тогда и только тогда, когда все простые числа вида $4k+3$$4k+3$  входят в каноническое разложение числа с чётной степенью.

Этот результат впервые был получен Ферма, а доказан Эйлером.

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Landau–Ramanujan Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• последовательность A064533 в OEIS