Конденсат Бозе — Эйнштейна

Конденса́т Бо́зе — Эйнште́йна (бо́зе-эйнште́йновский конденса́т, бо́зе-конденса́т) — агрегатное состояние вещества, основу которого составляют бозоны, охлаждённые до температур, близких к абсолютному нулю (меньше миллионной доли кельвина). В таком сильно охлаждённом состоянии достаточно большое число атомов оказывается в своих минимально возможных квантовых состояниях, и квантовые эффекты начинают проявляться на макроскопическом уровне.

Теоретически предсказан как следствие из законов квантовой механики Альбертом Эйнштейном на основе работ Шатьендраната Бозе в 1925 году. 70 лет спустя, в 1995 году, первый бозе-конденсат был получен в Объединённом институте лабораторной астрофизики (JILA) (относящемся к Университету штата Колорадо в Боулдере и Национальному институту стандартов) Эриком Корнеллом и Карлом Виманом. Учёные использовали газ из атомов рубидия, охлаждённый до 170 нанокельвин (нК) (1,7⋅10⁻⁷ кельвин). За эту работу им, совместно с Вольфгангом Кеттерле из Массачусетского технологического института, была присуждена Нобелевская премия по физике 2001 года.

ТеорияПравить

Замедление атомов с использованием охлаждающей аппаратуры позволяет получить сингулярное квантовое состояние, известное как конденсат Бозе, или Бозе — Эйнштейна. Результатом усилий Бозе и Эйнштейна стала концепция бозе-газа, подчиняющегося статистике Бозе — Эйнштейна, которая описывает статистическое распределение тождественных частиц с целым спином, называемых бозонами. Бозоны, которыми являются, например, и отдельные элементарные частицы — фотоны, и целые атомы, могут находиться друг с другом в одинаковых квантовых состояниях. Эйнштейн предположил, что охлаждение атомов — бозонов до очень низких температур заставит их перейти (или, по-другому, сконденсироваться) в наинизшее возможное квантовое состояние. Результатом такой конденсации станет возникновение новой фазы вещества.

Этот переход возникает ниже критической температуры, которая для однородного трёхмерного газа, состоящего из невзаимодействующих частиц без каких-либо внутренних степеней свободы, определяется формулой

$T_c={\left(\frac{n}{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(3/2)}\right)}^{2/3}\frac{h^2}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}m{k}_B},$$T_c=\left(\frac{n}{\zeta(3/2)}\right)^{2/3}\frac{h^2}{2\pi mk_B},$ 

где $T_c$$T_{c}$  — критическая температура, $n$$n$  — концентрация частиц, $m$$m$  — масса, $h$$h$  — постоянная Планка, $k_B$$k_B$  — постоянная Больцмана, $\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}$$\zeta$  — дзета-функция Римана, $\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(3/2)=\mathrm{2,612}4\dots <!--\; \dots \; -->$$\zeta(3/2)=2{,}6124\ldots$ .

Вывод критической температуры

Согласно статистике Бозе — Эйнштейна, количество частиц в заданном состоянии $i$$i$  равняется

$n_i=\frac{g_i}{e^{({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})/k_{B}T}-<!--\; -\; -->1},$$n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{B}T}-1}},$ 

где ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i>\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\varepsilon_i > \mu$ , $n_i$$n_{i}$  — количество частиц в состоянии $i$$i$ , $g_i$$g_i$  — вырождение уровня $i$$i$ , ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i$$\varepsilon_i$  — энергия состояния $i$$i$ , $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  — химический потенциал системы.

Найдём температуру, при которой химический потенциал будет равен нулю. Рассмотрим случай свободных (невзаимодействующих) частиц с параболическим законом дисперсии ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i=\frac{p^2}{2m}$$\varepsilon_i = \frac{p^2}{2m}$ . Проинтегрировав по фазовому пространству получим

$N=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{1}{e^{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i/k_{B}T}-<!--\; -\; -->1}=\frac{V}{h^3}\int <!--\; \int \; -->d^{3}p\frac{1}{e^{\frac{p^2}{2m{k}_{B}T}}-<!--\; -\; -->1}=\frac{V}{h^3}4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\sqrt{2}(m{k}_{B}T{)}^{3/2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}dx\frac{\sqrt{x}}{e^x-<!--\; -\; -->1}=\frac{V}{h^3}(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}m{k}_{B}T{)}^{3/2}\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(3/2)$$N=\sum _{i}{\frac {1}{e^{\varepsilon _{i}/k_{B}T}-1}}={\frac {V}{h^{3}}}\int d^{3}p{1 \over e^{p^{2} \over 2mk_{B}T}-1}={\frac {V}{h^{3}}}4\pi {\sqrt {2}}(mk_{B}T)^{3/2}\int \limits _{0}^{\infty }dx{\frac {\sqrt {x}}{e^{x}-1}}={\frac {V}{h^{3}}}(2\pi mk_{B}T)^{3/2}\zeta (3/2)$ .

Откуда уже получается искомое

$T_c={\left(\frac{n}{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(3/2)}\right)}^{2/3}\frac{h^2}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}m{k}_B}$$T_{c}=\left({\frac {n}{\zeta (3/2)}}\right)^{2/3}{\frac {h^{2}}{2\pi mk_{B}}}$ .

Модель ЭйнштейнаПравить

Рассмотрим набор из $N$$N$  невзаимодействующих частиц, каждая из которых может находиться в двух состояниях, $|0⟩<!--\; ⟩\; -->$$|0\rangle$  и $|1⟩<!--\; ⟩\; -->.$$|1\rangle .$  Если энергии обоих состояний одинаковы, то все возможные конфигурации равновероятны.

Для различимых частиц имеется $2^N$$2^N$  различных конфигураций, поскольку каждая частица независимо и с равной вероятностью попадает в состояния $|0⟩<!--\; ⟩\; -->$$|0\rangle$  или $|1⟩<!--\; ⟩\; -->.$$|1\rangle .$  При этом практически во всех состояниях количество частиц в состоянии $|0⟩<!--\; ⟩\; -->$$|0\rangle$  и в состоянии $|1⟩<!--\; ⟩\; -->$$|1\rangle$  почти равно. Это равновесие является статистическим эффектом: чем меньше разность между количествами частиц в обоих состояниях, тем большим количеством конфигураций (микросостояний) системы она реализуется.

Однако если мы считаем частицы неразличимыми, то система имеет всего лишь $N+1$$N+1$  различных конфигураций. Каждой конфигурации можно сопоставить число $K$$K$  частиц, находящихся в состоянии $|1⟩<!--\; ⟩\; -->$$|1\rangle$  (и $N-<!--\; -\; -->K$$N-K$  частиц, находящихся в состоянии $|0⟩<!--\; ⟩\; -->$$|0\rangle$ ); при этом $K$$K$  может изменяться от 0 до $N$$N$ . Поскольку все эти конфигурации равновероятны, то статистически никакой концентрации не происходит — доля частиц, находящихся в состоянии $|1⟩<!--\; ⟩\; -->,$$|1\rangle ,$  распределена равномерно по отрезку [0, 1]. Конфигурация, когда все частицы находятся в состоянии $|0⟩<!--\; ⟩\; -->,$$|0\rangle ,$  реализуется с той же вероятностью, что и конфигурация с половиной частиц в состоянии $|0⟩<!--\; ⟩\; -->$$|0\rangle$  и половиной — в состоянии $|1⟩<!--\; ⟩\; -->,$$|1\rangle ,$  или конфигурация со всеми частицами в состоянии $|1⟩<!--\; ⟩\; -->.$$|1\rangle .$ 

Если теперь предположить, что энергии двух состояний различны (для определённости, пусть энергия частицы в состоянии $|1⟩<!--\; ⟩\; -->$$|1\rangle$  выше, чем в состоянии $|0⟩<!--\; ⟩\; -->,$$|0\rangle ,$  на величину $E$$E$ ), то при температуре $T$$T$  частица будет с большей вероятностью находиться в состоянии $|0⟩<!--\; ⟩\; -->$$|0\rangle$ . Отношение вероятностей равно $\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->E/k_{B}T)$$\exp(-E/k_{B}T)$ .

В случае различимых частиц их количество в первом и втором состояниях не будет равно, но отношение населённостей будет всё же близко к единице вследствие вышеуказанного статистического стремления системы к конфигурациям, где разность населённостей невелика (эти макросостояния обеспечиваются наибольшим числом конфигураций).

Напротив, когда частицы неразличимы, распределение населённостей существенно сдвигается в пользу состояния $|0⟩<!--\; ⟩\; -->,$$|0\rangle ,$  и с увеличением числа частиц этот сдвиг будет увеличиваться, поскольку нет никакого статистического давления в сторону малой разности населённостей, и поведение системы определяется лишь большей вероятностью для частицы (при любой конечной температуре) занять более низкоэнергетический уровень.

Каждое значение $K$$K$  задаёт для неразличимых частиц определённое состояние системы, вероятность которого описывается больцмановским распределением с учётом того, что энергия системы в состоянии $K$$K$  равна $KE$$KE$  (поскольку ровно $K$$K$  частиц занимают уровень с энергией $E$$E$ ). Вероятность нахождения системы в этом состоянии:

$P(K)=C{e}^{-<!--\; -\; -->KE/k_{B}T}=C{p}^K$$P(K)=Ce^{-KE/k_{B}T}=Cp^{K}$ .

Для достаточно больших $N$$N$  нормировочная константа $C$$C$  равна $(1-<!--\; -\; -->p)$$(1-p)$ . Ожидаемое число частиц в состоянии $|1⟩<!--\; ⟩\; -->$$|1\rangle$  в пределе $N\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$N\rightarrow \infty$  равно $\underset{n>0}{\sum <!--\; \sum \; -->}Cn{p}^n=p/(1-<!--\; -\; -->p)$${\textstyle \sum \limits _{n>0}Cnp^{n}=p/(1-p)}$ . При больших $N$$N$  эта величина практически перестаёт расти и стремится к константе, то есть при большом числе частиц относительная населённость верхнего уровня пренебрежимо мала. Таким образом, в термодинамическом равновесии большинство бозонов будут находиться в состоянии с наименьшей энергией, и лишь малая доля частиц будет в другом состоянии, вне зависимости от того, насколько мала разница уровней энергии.

Рассмотрим теперь газ из частиц, каждая из которых может находиться в одном из импульсных состояний, которые пронумерованы и обозначены как $|k⟩<!--\; ⟩\; -->.$$|k\rangle .$  Если число частиц гораздо меньше, чем число доступных при данной температуре состояний, все частицы будут находиться на разных уровнях, то есть газ в этом пределе ведёт себя как классический. При увеличении плотности или уменьшении температуры число частиц на один доступный уровень энергии увеличивается, и в какой-то момент число частиц в каждом состоянии дойдёт до максимально возможного числа частиц в данном состоянии. Начиная с этого момента, все новые частицы будут вынуждены переходить в состояние с наименьшей энергией.

Чтобы рассчитать температуру фазового перехода при данной плотности, необходимо проинтегрировать по всем возможным импульсам выражение для максимального числа частиц в возбуждённом состоянии, $p/(1-<!--\; -\; -->p)$${\textstyle p/(1-p)}$ :

$N=V\int <!--\; \int \; -->\frac{d^{3}k}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^3}\frac{p(k)}{1-<!--\; -\; -->p(k)}=V\int <!--\; \int \; -->\frac{d^{3}k}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^3}\frac{1}{e^{\frac{k^2}{2m{k}_{B}T}}-<!--\; -\; -->1},$$N=V\int {d^{3}k \over (2\pi )^{3}}{p(k) \over 1-p(k)}=V\int {d^{3}k \over (2\pi )^{3}}{1 \over e^{k^{2} \over 2mk_{B}T}-1},$ 

$p(k)=e^{\frac{-<!--\; -\; -->k^2}{2m{k}_{B}T}}.$$p(k)=e^{-k^{2} \over 2mk_{B}T}.$ 

При вычислении этого интеграла и подстановке множителя ħ для обеспечения требуемых размерностей получается формула для критической температуры из предыдущего раздела. Таким образом, этот интеграл определяет критическую температуру и концентрацию частиц, соответствующие условиям пренебрежимо малого химического потенциала. Согласно статистике Бозе — Эйнштейна, $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  не обязано строго равняться нулю для возникновения бозе-конденсата; однако $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  меньше энергии основного состояния системы. Ввиду этого, при рассмотрении большинства уровней химический потенциал может считаться приблизительно нулевым, за исключением случаев, когда исследуется основное состояние.

ИсторияПравить

В 1924 году в журнале Zeitschrift für Physik^[en] вышла статья Шатьендраната Бозе о квантовой статистике световых квантов (теперь называемых фотонами), в которой он вывел квантовый закон излучения Планка без какой-либо ссылки на классическую физику. Сначала Бозе послал эту статью Эйнштейну, тот был так впечатлён, что сам перевёл документ с английского на немецкий язык и передал его Бозе для публикации. Рукопись Эйнштейна долгое время считалась потерянной, но в 2005 году была найдена в библиотеке Лейденского университета.

В 1925 году, на основе работы Бозе, Эйнштейн теоретически предсказал существование Конденсата Бозе — Эйнштейна, как следствие из законов квантовой механики. Затем Эйнштейн расширил идеи Бозе в других работах. Результатом их усилий стала концепция бозе-газа, который управляется статистикой Бозе — Эйнштейна. Она описывает статистическое распределение неразличимых частиц с целочисленным спином, теперь называемых бозонами. Бозоны, которые включают в себя фотоны, а также атомы, такие как гелий-4, могут занимать одно и то же квантовое состояние. Эйнштейн предположил, что охлаждение бозонных атомов до очень низкой температуры приведёт к их падению (или «конденсации») в самое низкое доступное квантовое состояние, что приведёт к новой форме материи.

В 1938 году Фриц Лондон предположил, что конденсат Бозе — Эйнштейна является механизмом возникновения сверхтекучести в ⁴He и сверхпроводимости.

В 1995 году Эрику Корнеллу и Карлу Вимену из Национального института стандартов и технологий США при помощи лазерного охлаждения удалось охладить около 2 тысяч атомов рубидия-87 до температуры 20 нанокельвинов и экспериментально подтвердить существование конденсата Бозе — Эйнштейна в газах, за что они совместно с Вольфгангом Кеттерле, который четыре месяца спустя получил конденсат Бозе — Эйнштейна из атомов натрия с использованием принципа удержания атомов в магнитной ловушке, в 2001 году были удостоены Нобелевской премии по физике.

В 2000 году группе учёных из Гарвардского университета удалось замедлить свет до скорости много меньшей, чем 0,2 мм/с, направив его на конденсат Бозе — Эйнштейна рубидия. До этого наименьшая официально зарегистрированная скорость света в среде была чуть больше 60 км/ч — сквозь пары натрия при температуре −272 °C.

В 2010 году был впервые получен бозе-эйнштейновский конденсат фотонов.

К 2012 году, используя сверхнизкие температуры 10⁻⁷ K и ниже, удалось получить конденсаты Бозе — Эйнштейна для множества отдельных изотопов: (⁷Li, ²³Na, ³⁹K, ⁴¹K, ⁸⁵Rb, ⁸⁷Rb, ¹³³Cs, ⁵²Cr, ⁴⁰Ca, ⁸⁴Sr, ⁸⁶Sr, ⁸⁸Sr, ¹⁷⁴Yb, ¹⁶⁴Dy, и ¹⁶⁸Er).

В 2014 году сотрудникам Лаборатории холодного атома (Cold Atom Laboratory, CAL) НАСА и учёным из Калифорнийского технологического института в Пасадине удалось создать конденсат Бозе — Эйнштейна в земном прототипе установки, предназначенной для работы на Международной космической станции. Полнофункциональная установка для создания конденсата Бозе — Эйнштейна в условиях невесомости была отправлена на МКС летом 2018 года. В 2020 году на ней был впервые получен конденсат Бозе — Эйнштейна на борту МКС.

В 2018 году российские физики под руководством Игоря Ткачёва разработали теорию, согласно которой могут существовать объекты размером со звезду, состоящие из бозонов, которые при взаимодействии посредством гравитации формируют конденсат Бозе — Эйнштейна за конечное время, эти гипотетические объекты являются кандидатами на роль холодной тёмной материи.

В 2020 году исследователи сообщили о создании сверхпроводящего конденсата Бозе — Эйнштейна и о том, что, по-видимому, существует «плавный переход между» режимами БЭК и сверхпроводимостью в теории Бардина–Купера–Шриффера.

В 2022 году исследователи сообщили о первом создании конденсата Бозе — Эйнштейна в непрерывном режиме. Ранее из-за ограничений возможностей испарительного охлаждения все исследователи были ограничены лишь импульсным режимом работы с БЭК, включающим очень неэффективный рабочий цикл, при котором более 99% атомов теряются до перехода в состояние БЭК. Создание условия для конденсации конденсата Бозе — Эйнштейна в непрерывном режиме стало важной вехой экспериментальных исследований БЭК.

СсылкиПравить

• Слежка за бозе-конденсатом // Компьютерра.
• Бозе — Эйнштейна конденсация // Физическая энциклопедия.
• Кибис О. В. Эффект Бозе-эйнштейновской конденсации // Соросовский образовательный журнал. — 2000. — № 11. — С. 90—95.
• Видеоролик по опытам в космосе