Это не официальный сайт wikipedia.org 01.01.2023

Сложные проценты — Википедия

Сложные проценты

(перенаправлено с «Компаундинг»)

Капитализация процентов — причисление процентов к сумме вклада, позволяет в дальнейшем осуществлять начисление процентов на проценты путем выполнения двойной операции — выплата процентов и пополнение. Начисление процентов на проценты, используемое в некоторых видах банковских вкладов, или, при наличии долга, проценты, которые включаются в сумму основного долга, и на них также начисляются проценты. То же, что и сложный процент. Проценты по вкладу с капитализацией могут начисляться ежедневно, ежемесячно, ежеквартально и ежегодно. Если их не выплачивают, то прибавляют к сумме вклада. И в следующем периоде проценты будут начислены уже на большую сумму.

РасчетПравить

Общая сумма, которую получит вкладчик, при расчёте по сложному проценту будет равна x ( 1 + a 100 ) n  , где x   — начальная сумма вложенных средств, a > 1   — годовая процентная ставка, n   — срок вклада в годах. При вкладе по ставке s% годовых, после первого года хранения капитал составил бы x плюс s% от неё, то есть возрос бы в ( 1 + s 100 )   раза. На второй год s% рассчитывались бы уже не от одной копейки, а от величины, большей её в ( 1 + s 100 )   раза. И, в свою очередь, данная величина увеличилась бы тоже за год в ( 1 + s 100 )   раза. Значит, по сравнению с первичной суммой вклад за два года возрос бы в ( 1 + s 100 ) 2   раз. За три года — в ( 1 + s 100 ) 3   раз.

К году N первичный вклад вырос бы до величины в ( 1 + s 100 ) N   раз больше первоначальной.

В применении к ежемесячной капитализации формула сложного процента имеет вид:

x ( 1 + s 12 100 ) m  

где x — начальная сумма вклада, s — годовая ставка в процентах, m — срок вклада в месяцах.

ПримерПравить

Хорошей иллюстрацией является «лепта вдовицы» из евангельского рассказа о бедной вдове, на которую обратил внимание учеников Иисус Христос: она оставила в качестве пожертвования на иерусалимский храм последнее, что у неё было, — две самых мелких монеты, лепты. Если представить себе, что некий банк существует с того времени по сей день, всё это время обеспечивая капитализацию процентов по вкладам в сумме, скажем, пять процентов годовых, и лепта этой вдовы была внесена на счёт в этом банке, то какая сумма накопилась бы на этом счёте к сегодняшнему дню?

Последующие расчёты как раз и иллюстрируют применение сложных процентов. Для наглядности будем говорить не о лепте, а о копейке. Если ставка составляет 5 % годовых, то после первого года хранения капитал составил бы копейку плюс 5 % от неё, то есть возрос бы в (1 + 0,05) раза. На второй год 5 % рассчитывались бы уже не от одной копейки, а от величины, большей её в (1 + 0,05) раза. И, в свою очередь, данная величина увеличилась бы тоже за год в (1 + 0,05) раза. Значит, по сравнению с первичной суммой вклад за два года возрос бы в ( 1 + 0 , 05 ) 2   раз. За три года — в ( 1 + 0 , 05 ) 3   раз.

К 2022 году первичный вклад вырос бы до величины в ( 1 + 0 , 05 ) 2022   раз больше первоначальной. Величина ( 1 + 0 , 05 ) 2022   составляет 6 , 99 10 42  . При первоначальном вкладе в одну копейку к 2021 году сумма составит 6 , 99 10 42   копеек, то есть свыше 69 додециллионов рублей.

Первоначальная идея подобного примера принадлежит польскому математику Станиславу Ковалю и опубликована им в начале семидесятых годов в книге «500 математических загадок»[1].

Точная формула для оплаты ежемесячноПравить

Точная формула для ежемесячного платежа

C = P r 1 1 ( 1 + r ) n  

с = ежемесячный платёж, P = начальная сумма, r = ежемесячная процентная ставка, n = количество периодов выплат.

Периодическое начислениеПравить

Функция суммы сложных процентов является экспоненциальной функцией с точки зрения времени.

P ( t ) = P 0 ( 1 + r n ) n t  

t = общее время в годах

n = число периодов наращения в год

г = номинальная годовая процентная ставка, выражается в виде десятичной дроби. 6 т.д .:% = 0,06

Непрерывное начислениеПравить

Пределом ( 1 + r n ) n t   при n   является e r t   (см. E (число)), таким образом, для непрерывного начисления формула принимает вид:

P ( t ) = P 0 e r t  

МненияПравить

Известный американский инвестор Уоррен Баффет считает сложные проценты неотъемлемой частью любой стратегии долгосрочного инвестирования[2].

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить