Вариация (статистика)

Вариа́ция — различие значений какого-либо признака у разных единиц совокупности за один и тот же промежуток времени. Причиной возникновения вариации являются различные условия существования разных единиц совокупности. Вариация — необходимое условие существования и развития массовых явлений. Определение вариации необходимо при организации выборочного наблюдения, статистическом моделировании и планировании экспертных опросов. По степени вариации можно судить об однородности совокупности, устойчивости значений признака, типичности средней, о взаимосвязи между какими-либо признаками.

Показатели вариацииПравить

Абсолютные показателиПравить

• размах вариации:

$R=x_{max}-<!--\; -\; -->x_{min};$$R=x_{\max }-x_{\min };$ 

• среднее линейное отклонение:

$a=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|x_i-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}|,$$a=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|x_i-\bar{x}|,$ 

где $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}$${\bar {x}}$  — выборочное среднее.

• среднеквадратическое отклонение:

$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=\sqrt{\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(x_i-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}\right)}^2};$$\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2};$ 

• дисперсия:

${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(x_i-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}\right)}^2;$$\sigma^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2;$ 

• среднее квартильное (квантильное) расстояние:

$q=\frac{(Q_3-<!--\; -\; -->\mathrm{M}\mathrm{e})+(\mathrm{M}\mathrm{e}-<!--\; -\; -->Q_1)}{2}=\frac{(Q_3-<!--\; -\; -->Q_1)}{2},$$q=\frac{(Q_3-\mathrm{Me})+(\mathrm{Me}-Q_1)}{2}=\frac{(Q_3-Q_1)}{2},$ 

где $Q_1$$Q_1$ , $Q_3$$Q_{3}$  — первый (нижний) и третий (верхний) квартили соответственно, $\mathrm{M}\mathrm{e}=Q_2$$\mathrm{Me}=Q_2$  — медиана (второй или серединный квартиль).

Относительные показателиПравить

• относительный размах вариации (коэффициент осцилляции):

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\frac{R}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}};$$\rho=\frac{R}{\bar{x}};$ 

• относительное отклонение по модулю (линейный коэффициент вариации):

$m=\frac{a}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}};$$m=\frac{a}{\bar{x}};$ 

• коэффициент вариации:

$V=\frac{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}};$$V=\frac{\sigma}{\bar{x}};$ 

Коэффициент вариации случайной величины — мера относительного разброса случайной величины; показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет её средний разброс. Исчисляется в процентах. Вычисляется только для количественных данных. В отличие от среднего квадратического или стандартного отклонения измеряет не абсолютную, а относительную меру разброса значений признака в статистической совокупности. По мнению автора рассматриваемого коэффициента К. Пирсона — коэффициент вариации эффективнее абсолютного показателя вариации.

Известно, что коэффициент вариации может быть записан посредством долей:

$V=\sqrt{n\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{p}_i^2-<!--\; -\; -->1},$$V=\sqrt{n\sum^n_{i=1}p_i^2-1},$ 

где $p_i=\frac{x_i}{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i}$$p_i=\frac{x_i}{\sum\limits^n_{i=1}x_i}$ .

$\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}=\frac{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}},$$\nu=\frac{\sigma}{\mu},$ 

где $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  — математическое ожидание. Эта формула применяется для вероятностных моделей.

• относительное квартильное расстояние:

$d=\frac{q}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}.$$d=\frac{q}{\bar{x}}.$