CW-комплекс

CW-комплекс — тип топологического пространства с дополнительной структурой (разбиением на клетки), введённый Уайтхедом для удовлетворения нужд теории гомотопий. В литературе на русском языке употребляются также названия клеточное пространство, клеточное разбиение и клеточный комплекс. Класс клеточных комплексов является более широким, чем класс симплициальных комплексов, но в то же время сохраняет комбинаторную природу, которая позволяет производить эффективные вычисления.

ОпределенияПравить

Открытая n-мерная клетка — топологическое пространство, гомеоморфное открытому n-мерному шару (в частности, нульмерная клетка — это пространство-синглетон). CW-комплекс — хаусдорфово топологическое пространство X, представленное в виде объединения открытых клеток таким образом, что для каждой открытой n-мерной клетки существует непрерывное отображение f из замкнутого n-мерного шара в X, ограничение которого на внутренность шара является гомеоморфизмом на эту клетку (характеристическое отображение). При этом предполагаются выполненными два свойства:

• (С) Граница каждой клетки содержится в объединении конечного числа клеток меньших размерностей;
• (W) Подмножество пространства X замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто его пересечение с замыканием каждой клетки.

Обозначения C и W происходят от английских слов closure-finiteness и weak topology.

Размерность клеточного комплекса определяется как верхняя грань размерностей его клеток. n-й остов клеточного комплекса — это объединение всех его клеток, размерность которых не превосходит n, стандартные обозначения для n-го остова клеточного комплекса X — Xⁿ или sk_n X. Подмножество клеточного комплекса называется подкомплексом, если оно замкнуто и состоит из целых клеток; В частности, любой остов комплекса является его подкомплексом.

Любой CW-комплекс можно построить индуктивно, посредством следующей процедуры:

• начинаем с дискретного множества $X^0$$X^{0}$ , точки которого считаем нульмерными клетками;
• по индукции образуем n-й остов из (n − 1)-го, приклеивая к нему n-мерные клетки посредством произвольных непрерывных отображений ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}:S^{n-<!--\; -\; -->1}\to <!--\; \to \; -->X^{n-<!--\; -\; -->1}.$$\varphi _{\alpha }:S^{{n-1}}\to X^{{n-1}}.$  Другими словами, пространство $X^n$$X^n$  — это факторпространство несвязного объединения $X^{n-<!--\; -\; -->1}$$X^{{n-1}}$  и набора шаров $D_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$D_{\alpha }$  по отношению эквивалентности $x\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x),$$x\sim \varphi _{\alpha }(x),$  если $x\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{D}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}.$$x\in \partial D_{\alpha }.$ 
• Можно закончить индуктивный процесс на конечном этапе, положив $X=X^n,$$X=X^{n},$  либо продолжать его бесконечно, положив $X=\underset{\to <!--\; \to \; -->}{\lim }<!--\; \; -->X_i$$X=\varinjlim X_{i}$ . Топология прямого предела совпадает со слабой топологией: подмножество $\underset{\to <!--\; \to \; -->}{\lim }<!--\; \; -->X_i$$\varinjlim X_{i}$  замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто его пересечение с каждым $X_i.$$X_{i}.$ 

ПримерыПравить

• Пространство $\{r{e}^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}:0\le <!--\; \le \; -->r\le <!--\; \le \; -->1,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Q}\}\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{C}$$\{re^{{2\pi i\theta }}:0\leq r\leq 1,\theta \in {\mathbb Q}\}\subset {\mathbb C}$  гомотопически эквивалентно CW-комплексу (так как оно стягиваемо), но на нём невозможно ввести структуру CW-комплекса (поскольку все CW-комплексы являются локально стягиваемыми).
• Гавайская серьга — пример топологического пространства, гомотопически не эквивалентного никакому CW-комплексу.
• Любой многогранник естественным образом наделяется структурой CW-комплекса, а граф — одномерного CW-комплекса.
• n-мерная сфера допускает клеточную структуру с одной нульмерной клеткой и одной n-мерной клеткой (так как n-мерная сфера гомеоморфна факторпространству n-мерного шара по его границе). Другое клеточное разбиение использует тот факт, что вложение «экватора» $S^{n-<!--\; -\; -->1}\to <!--\; \to \; -->S^n$$S^{{n-1}}\to S^{n}$  делит сферу на две n-мерных клетки (верхнюю и нижнюю полусферы). По индукции, это позволяет получить клеточное разбиение n-мерной сферы с двумя клетками в каждой размерности от 0 до n, а применение конструкции прямого предела позволяет получить клеточное разбиение сферы $S^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$S^{\infty }$ .
• Вещественное проективное пространство^[en] $\mathbb{R}{\mathrm{P}}^n$$\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$  допускает клеточную структуру с одной клеткой в каждой размерности, а $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^n$$\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$  — с одной клеткой в каждой чётной размерности.
• Грассманиан допускает разбиение на клетки, называемые клетками Шуберта.
• Для любого компактного гладкого многообразия можно построить гомотопически эквивалентный ему CW-комплекс (например, с помощью функции Морса).

Клеточные гомологииПравить

Сингулярные гомологии CW-комплекса можно вычислять с помощью клеточных гомологий, то есть гомологий клеточного цепного комплекса

$\cdots <!--\; \cdots \; -->\to <!--\; \to \; -->H_{n+1}(X^{n+1},X^n)\to <!--\; \to \; -->H_n(X^n,X^{n-<!--\; -\; -->1})\to <!--\; \to \; -->H_{n-<!--\; -\; -->1}(X^{n-<!--\; -\; -->1},X^{n-<!--\; -\; -->2})\to <!--\; \to \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->,$$\cdots \to {H_{{n+1}}}(X^{{n+1}},X^{{n}})\to {H_{{n}}}(X^{{n}},X^{{n-1}})\to {H_{{n-1}}}(X^{{n-1}},X^{{n-2}})\to \cdots ,$ 

где $X^{-<!--\; -\; -->1}$$X^{{-1}}$  определяется как пустое множество.

Группа $H_n(X^n,X^{n-<!--\; -\; -->1})$${H_{{n}}}(X^{{n}},X^{{n-1}})$  является свободной абелевой группой, образующие которой могут быть отождествлены с ориентированными n-мерными клетками CW-комплекса. Граничные отображения строятся следующим образом. Пусть $e_n^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$e_{{n}}^{{\alpha }}$  — произвольная n-мерная клетка $X,$$X,$  ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_n^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}:\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{e}_n^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\cong <!--\; \cong \; -->S^{n-<!--\; -\; -->1}\to <!--\; \to \; -->X^{n-<!--\; -\; -->1}$$\chi _{{n}}^{{\alpha }}:\partial e_{{n}}^{{\alpha }}\cong S^{{n-1}}\to X^{{n-1}}$  — ограничение её характеристического отображения на границу, а $e_{n-<!--\; -\; -->1}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$e_{{n-1}}^{{\beta }}$  — произвольная (n − 1)-мерная клетка. Рассмотрим композицию

${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_n^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}:S^{n-<!--\; -\; -->1}\stackrel{\cong <!--\; \cong \; -->}{⟶<!--\; ⟶\; -->}\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{e}_n^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\stackrel{{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_n^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{⟶<!--\; ⟶\; -->}{X}^{n-<!--\; -\; -->1}\stackrel{q}{⟶<!--\; ⟶\; -->}{X}^{n-<!--\; -\; -->1}/\left(X^{n-<!--\; -\; -->1}\setminus <!--\; \setminus \; -->e_{n-<!--\; -\; -->1}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\right)\stackrel{\cong <!--\; \cong \; -->}{⟶<!--\; ⟶\; -->}{S}^{n-<!--\; -\; -->1},$$\chi _{{n}}^{{\alpha \beta }}:S^{{n-1}}\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\partial e_{{n}}^{{\alpha }}\,{\stackrel {\chi _{{n}}^{{\alpha }}}{\longrightarrow }}\,X^{{n-1}}\,{\stackrel {q}{\longrightarrow }}\,X^{{n-1}}/\left(X^{{n-1}}\setminus e_{{n-1}}^{{\beta }}\right)\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,S^{{n-1}},$ 

где первое отображение отождествляет $S^{n-<!--\; -\; -->1}$$S^{{n-1}}$  с $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{e}_n^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}},$$\partial e_{n}^{\alpha },$  отображение $q$$q$  — факторизация, а последнее отображение отождествляет $X^{n-<!--\; -\; -->1}/\left(X^{n-<!--\; -\; -->1}\setminus <!--\; \setminus \; -->e_{n-<!--\; -\; -->1}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\right)$$X^{{n-1}}/\left(X^{{n-1}}\setminus e_{{n-1}}^{{\beta }}\right)$  с $S^{n-<!--\; -\; -->1}$$S^{{n-1}}$  при помощи характеристического отображения клетки $e_{n-<!--\; -\; -->1}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$e_{{n-1}}^{{\beta }}$ . Тогда граничное отображение

$d_n:H_n(X_n,X_{n-<!--\; -\; -->1})\to <!--\; \to \; -->H_{n-<!--\; -\; -->1}(X_{n-<!--\; -\; -->1},X_{n-<!--\; -\; -->2})$$d_{{n}}:{H_{{n}}}(X_{{n}},X_{{n-1}})\to {H_{{n-1}}}(X_{{n-1}},X_{{n-2}})$ 

задаётся формулой

$d_n(e_n^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})=\underset{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}\mathrm{deg}<!--\; \; -->\left({\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_n^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\right)e_{n-<!--\; -\; -->1}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}},$${d_{{n}}}(e_{{n}}^{{\alpha }})=\sum _{{\beta }}\deg \left(\chi _{{n}}^{{\alpha \beta }}\right)e_{{n-1}}^{{\beta }},$ 

где $\mathrm{deg}<!--\; \; -->\left({\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_n^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\right)$$\deg \left(\chi _{{n}}^{{\alpha \beta }}\right)$  — степень отображения ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_n^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$\chi _{{n}}^{{\alpha \beta }}$  и сумма берётся по всем (n − 1)-мерным клеткам $X$$X$ .

В частности, если в клеточном комплексе нет двух клеток, размерности которых отличаются на единицу, то все граничные отображения зануляются и группы гомологий являются свободными. Например, $H_n(\mathbb{C}{\mathrm{P}}^n,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$${H_{n}}(\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z}$  для чётных $n$$n$  и нулю для нечётных.

СвойстваПравить

Гомотопическая категория CW-комплексов, по мнению ряда экспертов, является лучшим вариантом для построения теории гомотопии. Одно из «хороших» свойств CW-комплексов — теорема Уайтхеда^[en] (слабая гомотопическая эквивалентность между CW-комплексами является гомотопической эквивалентностью). Для любого топологического пространства существует слабо гомотопически эквивалентный ему CW-комплекс. Другой полезный результат состоит в том, что представимые функторы в гомотопической категории CW-комплексов обладают простой характеризацией в категорных терминах (теорема Брауна о представимости^[en]). Цилиндр, конус и.надстройка над CW-комплексом обладают естественной клеточной структурой.

С другой стороны, произведение CW-комплексов с естественным разбиением на клетки не всегда является CW-комплексом — топология произведения может не совпадать со слабой топологией, если оба комплекса не являются локально компактными. Однако топология произведения в категории компактно порождённых пространств совпадает со слабой топологией и всегда задаёт CW-комплекс. Пространство функций Hom(X, Y) с компактно-открытой топологией, вообще говоря, не является CW-комплексом, однако, согласно теореме Джона Милнора, гомотопически эквивалентно CW-комплексу при условии компактности X.

Накрытие CW-комплекса X может быть наделено структурой CW-комплекса таким образом, что его клетки гомеоморфно отображаются на клетки X.

Конечные CW-комплексы (комплексы с конечным числом клеток) компактны. Любое компактное подмножество CW-комплекса содержится в конечном подкомплексе.

ЛитератураПравить

• J. H. C. Whitehead. Combinatorial homotopy. I. // Bull. Amer. Math. Soc.. — 1949. — Vol. 55. — P. 213–245.
• J. H. C. Whitehead. Combinatorial homotopy. II. // Bull. Amer. Math. Soc.. — 1949. — Vol. 55. — P. 453–496.
• Хатчер, А. Алгебраическая топология / Пер. с англ. В. В. Прасолова под ред. Т. Е. Панова. — М.: МЦНМО, 2011. — 688 с. — ISBN 978-5-94057-748-5.
• А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукс. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989. — 528 с.