Кинк (математика)

Кинк — это решение уравнений поля в некоторых теориях поля в $1+1$$1+1$ измерениях, интерполирующее между двумя вакуумами при изменении пространственной координаты от $-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty$ до $+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$+\infty$. Кинк является простейшим топологическим солитоном.

Кинк в модели одного действительного скалярного поляПравить

 

Вид $V(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})$$V(\phi )$  при $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=2,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=\sqrt{2}$$\lambda =2,~~\mu ={\sqrt {2}}$ .

Рассмотрим теорию одного действительного скалярного поля в пространстве размерности $1+1$$1+1$  с действием

$S=\int <!--\; \int \; -->d^{2}x\left[\frac{1}{2}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}-<!--\; -\; -->V(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})\right],$$S=\int d^{2}x\left[{\frac {1}{2}}\phi _{,\mu }\phi ^{,\mu }-V(\phi )\right],$ 

где $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  — потенциал поля, $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=0,1$$\mu =0,1$ , а

$V(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})=-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^2}{2}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^2+\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{4}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^4+\frac{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^4}{4\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}=\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{4}({\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^2-<!--\; -\; -->v^2{)}^2,v=\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\sqrt{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}.$$V(\phi )=-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\phi ^{2}+{\frac {\lambda }{4}}\phi ^{4}+{\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}={\frac {\lambda }{4}}(\phi ^{2}-v^{2})^{2},~~v={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}.$ 

Действие инвариантно относительно дискретного преобразования $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi =-\phi$ ; эта симметрия спонтанно нарушается, так как классические вакуумы равны ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{vac}=\pm <!--\; \pm \; -->v$$\phi ^{vac}=\pm v$ .

Из принципа наименьшего действия получается уравнение поля

${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}V(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}=0.$$\phi _{,\mu }^{~~\mu }+{\frac {\partial V(\phi )}{\partial \phi }}=0.$ 

 

Гиперболический тангенс — статическое решение уравнений поля при $x_0=0,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=2,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=\sqrt{2}$$x_{0}=0,~~\lambda =2,~~\mu ={\sqrt {2}}$ .

Будем искать статическое, то есть не зависящее от времени решение уравнений поля. В этом случае уравнение поля сводится к

${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{″}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}V(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}=0,$$\phi ''-{\frac {\partial V(\phi )}{\partial \phi }}=0,$ 

где штрих обозначает производную по пространственной координате. Полученное уравнение имеет следующее решение:

$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}=v\tanh <!--\; \; -->(\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{2}}v(x-<!--\; -\; -->x_0))=\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\sqrt{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}\tanh <!--\; \; -->(\pm <!--\; \pm \; -->\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\sqrt{2}}x),$$\phi =v\tanh(\pm {\sqrt {\frac {\lambda }{2}}}v(x-x_{0}))={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2}}}x)},$ 

где $x_0$$x_{0}$  — постоянная интегрирования. Данное решение и является простейшим статическим кинком, интерполирующим между вакуумами $-<!--\; -\; -->v$$-v$  и $+v$$+v$  при изменении пространственной координаты от $-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty$  до $+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$+\infty$ . Решение со знаком $-<!--\; -\; -->$$-$  называется антикинком.

Свойства решенияПравить

Размер кинка имеет порядок величины $r_k={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}$$r_{k}=\mu ^{-1}$ , то есть порядок комптоновской длины волны элементарного возбуждения. Действительно, плотность энергии кинка

$\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}(x)=\frac{1}{2}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{\prime 2}+V(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})=\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{2}{v}^4\frac{1}{{\cosh }^4<!--\; \; -->(\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\sqrt{2}}(x-<!--\; -\; -->x_0))}$$\epsilon (x)={\frac {1}{2}}\phi '^{2}+V(\phi )={\frac {\lambda }{2}}v^{4}{\frac {1}{\cosh ^{4}({\frac {\mu }{\sqrt {2}}}(x-x_{0}))}}$ 

существенно отличается от нуля только в области $|x-<!--\; -\; -->x_0|\lesssim <!--\; \lesssim \; -->r_k$$|x-x_{0}|\lesssim r_{k}$ .

Статическая энергия кинка равна

${\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}(x)dx=\frac{2}{3}m{v}^2,$$\int _{-\infty }^{\infty }\epsilon (x)dx={\frac {2}{3}}mv^{2},$ 

где $m=\sqrt{2}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$m={\sqrt {2}}\mu$  — масса элементарного возбуждения.

Полученное решение не инвариантно относительно пространственных трансляций и преобразований Лоренца. Однако эти преобразования переводят решения уравнений поля в другие решения. Применяя трансляции и преобразование Лоренца, получим следующее семейство нестатических решений:

$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}=\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\sqrt{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}\tanh <!--\; \; -->(\pm <!--\; \pm \; -->\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\sqrt{2}}\frac{(x-<!--\; -\; -->x_0)-<!--\; -\; -->ut}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->u^2}}),$$\phi ={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2}}}{\frac {(x-x_{0})-ut}{\sqrt {1-u^{2}}}})},$ 

где $u$$u$  — скорость движущегося кинка.

Кинк в модели одного комплексного скалярного поляПравить

Рассмотрим теорию одного комплексного скалярного поля в пространстве размерности $1+1$$1+1$  с лагранжианом

$\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}={\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}}^{,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}+{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^2\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{2}(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{)}^2.$$\Lambda =\phi _{,\mu }{\bar {\phi }}^{,\mu }+\mu ^{2}\phi {\bar {\phi }}-{\frac {\lambda }{2}}(\phi {\bar {\phi }})^{2}.$ 

Принцип наименьшего действия приводит к следующим уравнениям поля:

${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^2\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^2\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}},$$\phi _{,\mu }^{~~\mu }=\mu ^{2}\phi -\lambda \phi ^{2}{\bar {\phi }},$ 

${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}}_{,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^2\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}}^2\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}.$${\bar {\phi }}_{,\mu }^{,\mu }=\mu ^{2}{\bar {\phi }}-\lambda {\bar {\phi }}^{2}\phi .$ 

Полученные уравнения имеют решением кинк из теории действительного скалярного поля

$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}=\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\sqrt{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}\tanh <!--\; \; -->(\pm <!--\; \pm \; -->\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\sqrt{2}}x).$$\phi ={\bar {\phi }}={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2}}}x)}.$ 

Кинк в уравнении синус-ГордонаПравить

 

Кинк в уравнении синус-Гордона

Рассмотрим теорию одного действительного скалярного поля в пространстве размерности $1+1$$1+1$  с лагранжианом

$\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}={\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}+m^2{v}^2[\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{v}-<!--\; -\; -->1].$$\Lambda =\phi _{,\mu }\phi ^{,\mu }+m^{2}v^{2}[\cos {\frac {\phi }{v}}-1].$ 

Принцип наименьшего действия приводит к уравнению

${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}+m^{2}v\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{v}=0,$$\phi _{,\mu }^{~~\mu }+m^{2}v\sin {\frac {\phi }{v}}=0,$ 

 

Антикинк в уравнении синус-Гордона

которое заменой $x\to <!--\; \to \; -->mx,t\to <!--\; \to \; -->mt,\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\to <!--\; \to \; -->\frac{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{v}$$x\rightarrow mx,~~t\rightarrow mt,~~\phi \rightarrow {\frac {\phi }{v}}$  приводится к уравнению синус-Гордона

${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{tt}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{xx}+\sin <!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}=0,$$\phi _{tt}-\phi _{xx}+\sin \phi =0,$ 

имеющему следующие частные решения, представляющие движущиеся со скоростью $v$$v$  кинки, интерполирующие между вакуумами ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_0=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}k,k\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}$$\phi _{0}=2\pi k,~~k\in \mathbb {Z}$  и ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_0+2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\phi _{0}+2\pi$  при изменении $x$$x$  от $-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty$  до $+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$+\infty$ :

$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x,t)={\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_0+4\arctan <!--\; \; -->\left\{\exp <!--\; \; -->\left[\pm <!--\; \pm \; -->\frac{x+vt}{\sqrt{v^2-<!--\; -\; -->1}}+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\right]\right\},$$\phi (x,t)=\phi _{0}+4\arctan \left\{\exp \left[\pm {\frac {x+vt}{\sqrt {v^{2}-1}}}+\delta \right]\right\},$ 

где $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$  — произвольная постоянная. Знак $+$$+$  соответствует кинку, знак $-<!--\; -\; -->$$-$  — антикинку.

ЛитератураПравить

• Т. И. Белова, А. Е. Кудрявцев, Солитоны и их взаимодействия в классической теории поля, УФН 167, 377—406 (1997) Архивная копия от 20 декабря 2016 на Wayback Machine.
• V.A. Gani, A.E. Kudryavtsev, M.A. Lizunova, Kink interactions in the (1+1)-dimensional φ⁶ model, Phys. Rev. D 89, 125009 (2014); [https://web.archive.org/web/20161220140059/https://arxiv.org/abs/1402.5903 Архивная копия от 20 декабря 2016 на Wayback Machine arXiv:1402.5903 [hep-th]].
• V.A. Gani, V. Lensky, M.A. Lizunova, Kink excitation spectra in the (1+1)-dimensional φ⁸ model, JHEP 08 (2015) 147; [https://web.archive.org/web/20161220135634/https://arxiv.org/abs/1506.02313 Архивная копия от 20 декабря 2016 на Wayback Machine arXiv:1506.02313 [hep-th]].