Керальская школа астрономии и математики

Кера́льская школа астрономии и математики — научная школа, которая существовала в Индии в XIV—XVII веках и внесла заметный вклад в астрономию и математику.

ИсторияПравить

После завоевания мусульманами северной Индии в XI веке (Махмуд Газневи) центр научной деятельности индийцев переместился в южную провинцию Керала. Основателем школы стал Мадхава из Сангамаграмы. Среди других видных учёных керальской школы:

• Ватасери Парамешвара^[en]
• Дамодара
• Нилаканта Сомаяджи
• Джьештадева^[en]

Последними представителями школы были в XVII веке Ачьюта Пишарати и Нараяна Бхаттатири. Свои результаты керальцы публиковали в трактатах (сиддхантах) на санскрите, излагая их чаще всего без доказательств, нередко стихами.

Преимущественным направлением исследований в Керале была астрономия, но при решении астрономических задач были сделаны важные математические открытия. В частности, опередив европейских математиков на два века, учёные школы получили разложение тригонометрических функций в бесконечные степенные ряды. В Европе их достижения долго оставались неизвестными и были обнаружены историками только в XIX веке.

Научные достиженияПравить

АстрономияПравить

Астрономы Керальской школы с высокой точностью измерили величину предварения равноденствий, а также продолжительность года, лунного месяца и других астрономических констант.

В 1500 году Нилаканта Сомаяджи в своей «Тантрасанграхе» предложил модификацию системы мира, ранее описанной Ариабхатой. В своей Ариабхатавахьязе, комментариях к Ариабхатье, он предложил модель, где планеты Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн обращаются вокруг Солнца, а оно, в свою очередь, вокруг Земли. Эта гео-гелиоцентрическая система напоминает предложенную Тихо Браге в конце XVI века. Большинство астрономов Керальской школы приняли его модель.

МатематикаПравить

Керальская школа, как и вся индийская математика, имела заметный вычислительный уклон. Например, учёные постоянно работали над вычислением числа $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  со всё возрастающей точностью. Для астрономических вычислений им удалось впервые найти разложение тригонометрических и иных функций в бесконечные ряды. Общей теории таких разложений и дальнейшего продвижения в направлении математического анализа у керальцев не было.

Бесконечные ряды приводятся в четырёх керальских сиддхантах:

1. «Научный справочник» (Тантрасанграха), опубликован Нилакантой.
2. «Техника действий» (Каранападдхати).
3. «Нить светящихся жемчужин» (Садратанамала).
4. «Объяснительный комментарий» (Юкти-бхаша), это комментарий к «Тантрасанграхе».

Кроме тригонометрических функций, в сиддхантах приводится разложение алгебраической дроби, впрочем, известное ещё Ибн аль-Хайсаму (XI век):

$\frac{1}{1-<!--\; -\; -->x}=1+x+x^2+x^3+\dots <!--\; \dots \; -->,$${\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\dots ,$  если $|x|<1$ 

Разложения керальцами тригонометрических функций, вероятно, были получены ещё Мадхавой, но появились впервые в трактате Нилаканты «Тантрасанграха» и в современных обозначениях имели вид:

$r\mathrm{arctg}<!--\; \; -->\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{1}{1}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{ry}{x}-<!--\; -\; -->\frac{1}{3}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{r{y}^3}{x^3}+\frac{1}{5}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{r{y}^5}{x^5}-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->,$$r\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {ry}{x}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {ry^{5}}{x^{5}}}-\cdots ,$  где $y⩽<!--\; ⩽\; -->x.$$y\leqslant x.$ 

$r\sin <!--\; \; -->\frac{x}{r}=x-<!--\; -\; -->x\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{x^2}{(2^2+2)r^2}+x\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{x^2}{(2^2+2)r^2}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{x^2}{(4^2+4)r^2}-<!--\; -\; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->$$r\sin {\frac {x}{r}}=x-x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\cdot$ 

$r\left(1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\frac{x}{r}\right)=r\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{x^2}{(2^2-<!--\; -\; -->2)r^2}-<!--\; -\; -->r\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{x^2}{(2^2-<!--\; -\; -->2)r^2}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{x^2}{(4^2-<!--\; -\; -->4)r^2}+\cdots <!--\; \cdots \; -->,$$r\left(1-\cos {\frac {x}{r}}\right)=r\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+\cdots ,$ 

При $r=1$$r=1$  ряды упрощаются и принимают более распространённый вид:

$\sin <!--\; \; -->x=x-<!--\; -\; -->\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-<!--\; -\; -->\frac{x^7}{7!}+\cdots <!--\; \cdots \; -->$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$ 

$\cos <!--\; \; -->x=1-<!--\; -\; -->\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-<!--\; -\; -->\frac{x^6}{6!}+\cdots <!--\; \cdots \; -->$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$ 

Для получения этих формул было проведено спрямление дуги окружности. В Европе ряд для арктангенса впервые опубликовал Джеймс Грегори в 1671 году, а ряды для синуса и косинуса — Исаак Ньютон в 1666 году..

Из ряда для арктангенса легко получить ряд для вычисления числа $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ :

$\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}=1-<!--\; -\; -->\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-<!--\; -\; -->\frac{1}{7}+\dots <!--\; \dots \; -->$$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots$ 

Ряд этот сходится медленно, поэтому для практических расчётов его преобразуют к виду:

$\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{3^3-<!--\; -\; -->3}-<!--\; -\; -->\frac{1}{5^3-<!--\; -\; -->5}+\frac{1}{7^3-<!--\; -\; -->7}-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->$${\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3^{3}-3}}-{\frac {1}{5^{3}-5}}+{\frac {1}{7^{3}-7}}-\cdots$ 

Как подсчитал Нилаканта, $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{3,141}592653.$$\pi \approx 3{,}141592653.$  Керальцы получили также из этих рядов довольно точные приближения числа $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  в виде дробей.

Из других математических достижений керальской школы можно упомянуть, что Нилаканта уверенно заявил о несоизмеримости длины окружности с её диаметром, то есть, выражаясь современным языком, что число $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  иррационально.

См. такжеПравить

• Индийская астрономия
• История математики
• История математики в Индии

ЛитератураПравить

• История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
• Бахмутская Э. Я. Степенные ряды для sint и cost в работах индийских математиков XV - XVIII вв // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1960. — № 13. — С. 325—334.
• Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской математики. Либроком, 2009, 184 с. (Физико-математическое наследие: математика). ISBN 978-5-397-00474-9.
• Паплаускас А. Б. Доньютоновский период развития бесконечных рядов. Часть I // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1973. — Вып. XVIII. — С. 104—131.
• Bressoud, David. Was Calculus Invented in India? // The College Mathematics Journal (Math. Assoc. Amer.). — 2002. — Vol. 33, № 1. — P. 2–13.
• Roy, Ranjan. Discovery of the Series Formula for $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  by Leibniz, Gregory, and Nilakantha // Mathematics Magazine (Math. Assoc. Amer.). — 1990. — Vol. 63, № 5. — P. 291–306.

СсылкиПравить

• The Kerala School, European Mathematics and Navigation, 2001.
• An overview of Indian mathematics, MacTutor History of Mathematics archive, 2002.
• Indian Mathematics: Redressing the balance, MacTutor History of Mathematics archive, 2002.
• Keralese mathematics, MacTutor History of Mathematics archive, 2002.
• Possible transmission of Keralese mathematics to Europe, MacTutor History of Mathematics archive, 2002.
• "Indians predated Newton 'discovery' by 250 years" phys.org, 2007