Квантовый эффект Холла в графене

Ква́нтовый эффе́кт Хо́лла в графене или необы́чный ква́нтовый эффе́кт Хо́лла — эффект квантования холловского сопротивления или проводимости двумерного электронного газа или двумерного дырочного газа в сильных магнитных полях в графене. Этот эффект был предсказан теоретически и подтверждён экспериментально в 2005 году.

Уровни ЛандауПравить

Уровни Ландау в графене описываются уравнением Дирака для графена с учётом магнитного поля, которое можно записать в виде

$[\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}\cdot <!--\; \cdot \; -->(i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{v}_F\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}+e\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{A}/c)]\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x,y)=\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x,y)$$[{\vec {\sigma }}\cdot (i\hbar v_{F}{\vec {\nabla }}+e{\vec {A}}/c)]\psi (x,y)=\varepsilon \psi (x,y)$ 

где использована калибровка Ландау для векторного потенциала $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{A}=(-<!--\; -\; -->By,0)$${\vec {A}}=(-By,0)$ , двумерный градиент равен $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}=(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x},\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y})$${\vec {\nabla }}=({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}})$ , а вектор $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$${\vec {\sigma }}$  составлен из матриц Паули $({\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_1,{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_2)$$(\sigma _{1},\sigma _{2})$ . В матричном виде уравнение запишется в виде

${\begin{pmatrix}0&-i\hbar v{\frac {\partial }{\partial x}}-\hbar v{\frac {\partial }{\partial y}}+eBy\\-i\hbar v_{F}{\frac {\partial }{\partial x}}+\hbar v{\frac {\partial }{\partial y}}+eBy&0\end{pmatrix}}\psi (x,y)=\varepsilon \psi (x,y).$ 

Здесь можно легко разделить переменные и в итоге прийти к спектру для релятивистских уровней Ландау

${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_n=\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c}\sqrt{n}=\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{v}_F^{2}eB2n/c},$$\varepsilon _{n}=\pm \hbar {\tilde {\omega _{c}}}{\sqrt {n}}=\pm {\sqrt {\hbar v_{F}^{2}eB2n/c}},$ 

где $n=0,1,2,...$$n=0,\,1,\,2,...$ , «циклотронная частота» равна $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c}=\sqrt{2}\frac{v_F}{l_B}$${\tilde {\omega _{c}}}={\sqrt {2}}{\frac {v_{F}}{l_{B}}}$ , магнитная длина $l_B=\sqrt{\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}c}{eB}}.$$l_{B}={\sqrt {{\frac {\hbar c}{eB}}}}.$ 

Квантовый эффект ХоллаПравить

Впервые необычный (англ. unconventional) квантовый эффект Холла наблюдали в работах, где было показано, что носители в графене действительно обладают нулевой эффективной массой, поскольку положения плато на зависимости недиагональной компоненты тензора проводимости соответствовали полуцелым значениям холловской проводимости $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}=\pm <!--\; \pm \; -->(|n|+1/2)$$\nu=\pm(|n|+1/2)$  в единицах $4e^2/h$$4e^2/h$  (множитель 4 появляется из-за четырёхкратного вырождения энергии), то есть

${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{xy}=\pm <!--\; \pm \; -->\frac{4e^2}{h}\left(|n|+\frac{1}{2}\right)$$\sigma _{{xy}}=\pm {\frac {4e^{2}}{h}}\left(|n|+{\frac {1}{2}}\right)$ .

Это квантование согласуется с теорией квантового эффекта Холла для дираковских безмассовых фермионов. Сравнение целочисленного квантового эффекта Холла в обычной двумерной системе и графене смотрите на рисунке 1. Здесь показаны уширенные уровни Ландау для электронов (выделение красным цветом) и для дырок (синий цвет). Если уровень Ферми находится между уровнями Ландау, то на зависимости холловской проводимости ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{xy}$$\sigma_{xy}$  наблюдается ряд плато. Эта зависимость отличается от обычных двумерных систем (аналогом может служить двумерный электронный газ в кремнии, который является двухдолинным полупроводником в плоскостях эквивалентных {100}, то есть тоже обладает четырёхкратным вырождением уровней Ландау и холловские плато наблюдаются при $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}=4|n|$$\nu=4|n|$ ).

Квантовый эффект Холла (КЭХ) может использоваться как эталон сопротивления, потому что численное значение наблюдаемого в графене плато равное $h/2e^2$$h/2e^{2}$  выполняется с хорошей точностью, хотя качество образцов уступает высокоподвижному ДЭГ в GaAs, и, соответственно, точности квантования. Преимущество КЭХ в графене в том, что он наблюдается при комнатной температуре (в магнитных полях свыше 20 Т). Основное ограничение на наблюдение КЭХ при комнатной температуре накладывает не само размытие распределения Ферми-Дирака, а рассеяние носителей на примесях, что приводит к уширению уровней Ландау.

 

Рис. 1. a) Квантовый эффект Холла в обычной двумерной системе. b) Квантовый эффект Холла в графене. $g=g_s{g}_v=4$$g=g_sg_v=4$  — вырождение спектра

p-n-переходПравить

Из-за отсутствия запрещённой зоны в графене в структурах с верхним затвором можно сформировать непрерывный p-n-переход, когда напряжение на верхнем затворе позволяет инвертировать знак носителей, задаваемый обратным затвором в графене, где концентрация носителей никогда не обращается в ноль (кроме точки электронейтральности) и нет области лишённой носителей как в обычных p-n-переходах. В таких структурах тоже можно наблюдать квантовый эффект Холла, но из-за неоднородности знака носителей значения холловских плато отличаются от приведённых выше. Для структуры с одним p-n-переходом значения квантования холловской проводимости описываются формулой

$G=\frac{2e^2}{h}\frac{|{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{{}^{\prime }}||\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}|}{|{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{{}^{\prime }}|+|\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}|},$$G={\frac {2e^{2}}{h}}{\frac {|\nu ^{{'}}||\nu |}{|\nu ^{{'}}|+|\nu |}},$ 

где $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$  и ${\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{{}^{\prime }}$$\nu ^{{'}}$  — факторы заполнения в n- и p- области соответственно (p-область находится под верхним затвором), которые могут принимать значения $\pm <!--\; \pm \; -->2,\pm <!--\; \pm \; -->6,\pm <!--\; \pm \; -->10$$\pm 2,\pm 6,\pm 10$  и т. д. Тогда плато в структурах с одним p-n-переходом наблюдаются при значениях 1, 3/2, 3, 5/3 и т. д. Такие значения плато были наблюдены в эксперименте.

p-n-p переходПравить

Для структуры с двумя p-n-переходами соответствующие значения холловской проводимости равны

$G={\frac {e^{2}}{h}}{\frac {|\nu ^{{'}}||\nu |}{2|\nu ^{{'}}|+|\nu |}}={\frac {2}{3}},{\frac {6}{5}},{\frac {6}{7}},...(\nu \nu ^{{'}}<0).$ 

Расщепление основного уровня ЛандауПравить

В работе наблюдается спиновое расщепление релятивистских уровней Ландау и снятие четырёхкратного вырождения для наинизшего уровня Ландау вблизи точки электронейтральности. Для объяснения этого эффекта предложено несколько теорий.

См. такжеПравить

• Квантовый эффект Холла