Квантовая теория поля

Ква́нтовая тео́рия по́ля (КТП) — раздел физики, изучающий поведение квантовых систем с бесконечно большим числом степеней свободы — квантовых полей; является теоретической основой описания микрочастиц, их взаимодействий и превращений. На языке КТП основывается физика высоких энергий, физика элементарных частиц, её математический аппарат используется в физике конденсированного состояния^[⇨]. Квантовая теория поля в виде Стандартной модели (с добавлением масс нейтрино) в настоящее время является единственной экспериментально подтверждённой теорией, способной описывать и предсказывать результаты экспериментов при высоких энергиях, достижимых в современных ускорителях^[⇨].

Математический аппарат КТП строится на основе прямого произведения гильбертовых пространств состояний (пространство Фока) квантового поля и действующих в нём операторов. В отличие от квантовой механики, где исследуют свойства волновой функции «микрочастиц» как неких неуничтожимых объектов; в КТП основными объектами исследования являются квантовые поля и их элементарные возбуждения, а главную роль играет аппарат вторичного квантования с операторами рождения и уничтожения частиц, действующими в пространстве состояний Фока^[⇨]. Аналогом квантовомеханической волновой функции в КТП является полевой оператор, способный действовать на вакуумный вектор фоковского пространства (см. вакуум) и порождать одночастичные возбуждения квантового поля. Физическим наблюдаемым величинам здесь также соответствуют операторы, составленные из полевых операторов^[⇨].

Квантовая теория поля возникла в результате работы нескольких поколений физиков-теоретиков на протяжении большей части 20 века. Её развитие началось в 1920-х годах с описания взаимодействий между светом и электронами, что привело к появлению первой квантовой теории поля — квантовой электродинамики^[⇨]. Вскоре обнаружилось первое серьёзное теоретическое препятствие для построения более строгой теории, связанное с появлением и сохранением различных бесконечностей при вычислении рядов теории возмущений. Эта проблема нашла решение только в 1950-х годах после изобретения процедуры перенормировки^[⇨]. Вторым серьёзным препятствием стала очевидная неспособность КТП описать слабые и сильные взаимодействия, до такой степени, что некоторые теоретики призвали отказаться от теоретико-полевого подхода. Развитие калибровочной теории в 1970-х годах привели к возрождению квантовой теории поля в виде Стандартной модели элементарных частиц^[⇨].

ИсторияПравить

Основная статья: История квантовой теории поля

Основное уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера — является релятивистски неинвариантным, что видно из несимметричного вхождения времени и пространственных координат в уравнение. Нерелятивистское уравнение Шрёдингера соответствует классической связи кинетической энергии и импульса частицы $E=p^2/2m$$E=p^2/2m$ . Релятивистское соотношение энергии и импульса имеет вид $E^2=p^2{c}^2+m^2{c}^4$$E^2=p^2c^2+m^2c^4$ . Предполагая, что оператор импульса в релятивистском случае такой же, как и в нерелятивистской области, и используя данную формулу для построения релятивистского гамильтониана по аналогии, в 1926 году было предложено релятивистски инвариантное уравнение для свободной (бесспиновой или с нулевым спином) частицы (уравнение Клейна — Гордона — Фока). Однако проблема данного уравнения заключается в том, что волновую функцию здесь сложно интерпретировать как амплитуду вероятности потому, что плотность вероятности не будет положительно определённой величиной во всём пространстве, что связано со второй производной по времени.

Несколько иной подход был реализован в 1928 году Дираком, который пытался получить дифференциальное уравнение первого порядка, где обеспечено равноправие временной координаты и пространственных координат. Поскольку оператор импульса пропорционален первой производной по координатам, то гамильтониан Дирака должен быть линейным по оператору импульса. С учётом того же релятивистского соотношения энергии и импульса на квадрат этого оператора налагаются ограничения. Соответственно и линейные «коэффициенты» также должны удовлетворять определённому ограничению, а именно их квадраты должны быть равны единице, и они должны быть взаимно антикоммутативны. Таким образом, это точно не могут быть числовые коэффициенты. Однако они могут быть матрицами, причём размерности не менее 4, а «волновая функция» — четырёхкомпонентным объектом, получившим название биспинора. В результате было получено уравнение Дирака, в котором участвуют 4-матрицы Дирака и четырёхкомпонентная «волновая функция». Формально уравнение Дирака записывается в виде, аналогичном уравнению Шрёдингера с гамильтонианом Дирака. Однако данное уравнение, как и уравнение Клейна — Гордона, имеет решения с отрицательными энергиями. Данное обстоятельство явилось причиной для предсказания существования античастиц, что позже было подтверждено экспериментально (открытие позитрона). Наличие античастиц есть следствие релятивистского соотношения между энергией и импульсом.

Таким образом, переход к релятивистски инвариантным уравнениям приводит к нестандартным волновым функциям и многочастичным интерпретациям. Одновременно к концу 20-х годов был разработан формализм квантового описания многочастичных систем (включая системы с переменным числом частиц), основанного на операторах рождения и уничтожения частиц. Квантовая теория поля оказывается также основанной на этих операторах (выражается через них).

Релятивистские уравнения Клейна — Гордона и Дирака рассматриваются в квантовой теории поля как уравнения для операторных полевых функций. Соответственно вводится в рассмотрение «новое» гильбертово пространство состояний системы квантовых полей, на которые действуют указанные полевые операторы. Поэтому иногда процедуру квантования полей называют «вторичным квантованием».

Теоретические основыПравить

Основные статьи: Классическая теория поля, Квантовая механика и Специальная теория относительности

 

Линии магнитного поля визуализируемые с помощью железных опилок. Когда лист бумаги посыпают железными опилками и помещают над стержневым магнитом, то опилки выравниваются в соответствии с направлением магнитного поля, образуя дуги.

В основе квантовой теории поля лежат классическая теория поля, квантовая механика и специальная теория относительности. Ниже приводится краткий обзор этих теорий-предшественников.

В основе самой ранней успешной классической теории поля лежал закон всемирного тяготения Ньютона, несмотря на полное отсутствие концепции полей в его трактате 1687 года Philosophi Naturalis Principia Mathematica. Сила тяжести, описанная Ньютоном, представляет собой «действие на расстоянии», и её влияние на далёкие объекты происходит мгновенно, независимо от расстояния. Однако в переписке с Ричардом Бентли Ньютон заявил, что «немыслимо, чтобы неодушевленная грубая материя без посредничества чего-то ещё, что не является материальным, действовала бы на другую материю и влияла на неё без взаимного контакта». Только в 18 веке физики-теоретики открыли удобное описание гравитации на основе полей — числовую величину (вектор), присвоенную каждой точке пространства, указывающую действие гравитации на любую пробную частицу в этой точке. Однако это считалось просто математическим трюком.

Понятие о полях обрело более формальное описание с развитием электромагнетизма в 19 веке. Майкл Фарадей ввёл английский термин «поле» в 1845 году. Он представил поля как свойства пространства (даже если оно лишено материи), обладающее физическими эффектами. Фарадей выступал против «действия на расстоянии» и предполагал, что взаимодействия между объектами происходят через заполняющие пространство «силовые линии». Это описание полей сохранилось по сей день.

Теория классического электромагнетизма приобрела завершённую форму в 1864 году в виде уравнений Максвелла, которые описывали взаимосвязь между электрическим полем, магнитным полем, электрическим током и электрическим зарядом. Уравнения Максвелла подразумевали существование электромагнитных волн, явления, при котором электрические и магнитные поля распространяются из одной точки пространства в другую с конечной скоростью, которая оказалась скоростью света. Таким образом, действие на расстоянии было окончательно опровергнуто.

Несмотря на огромный успех классического электромагнетизма, он не смог объяснить ни дискретных линий в атомных спектрах, ни распределение излучения чёрного тела^[en] на разных длинах волн. Исследование Максом Планком излучения абсолютно чёрного тела положило начало квантовой механике. Он рассматривал атомы, которые поглощают и излучают электромагнитное излучение, как крошечные осцилляторы, энергия которых может принимать только серию дискретных, а не непрерывных значений. Сегодня они известны как квантовые гармонические осцилляторы. Этот процесс ограничения энергии дискретными значениями называется квантованием. Основываясь на этой идее, Альберт Эйнштейн в 1905 году предложил объяснение фотоэлектрического эффекта, согласно которому свет состоит из отдельных пакетов энергии, называемых фотонами (квантами света). Это означало, что электромагнитное излучение, описываемое в виде волн в классическом электромагнитном поле, также существует в форме частиц.

В том же году, когда была опубликована статья о фотоэлектрическом эффекте, Эйнштейн опубликовал свою специальную теорию относительности, пересекающуюся с теорией электромагнетизма Максвелла. Новые правила, называемые преобразованием Лоренца, описывали изменение временных и пространственных координат событий при изменении скорости наблюдателя, и различие между временем и пространством было размыто. Он предположил, что все физические законы должны быть одинаковыми для наблюдателей, движущихся при различных скоростях, то есть, что физические законы инвариантны относительно преобразований Лоренца.

В 1913 году Нильс Бор представил модель атомной структуры, в которой электроны внутри атомов могут принимать только серию дискретных, а не непрерывных энергий. Это ещё один пример квантования. Модель Бора успешно объяснила дискретную природу спектральных линий атомов. В 1924 году Луи де Бройль выдвинул гипотезу дуальности волна-частица, согласно которой микроскопические частицы проявляют как волнообразные, так и частицы-подобные свойства при различных обстоятельствах. Объединив эти различные идеи, между 1925 и 1926 годами была сформулирована новая научная теория, квантовая механика, существенный вклад в которую внесли Макс Планк, Луи де Бройль, Вернер Гейзенберг, Макс Борн, Эрвин Шрёдингер, Поль Дирак и Вольфганг Паули.

Остались две трудности. С экспериментальной точки зрения, уравнение Шрёдингера, лежащее в основании квантовой механики, могло объяснить вынужденное излучение атомов, когда электрон испускает новый фотон под действием внешнего электромагнитного поля, но оно не могло объяснить спонтанное излучение, при котором энергия электрона спонтанно уменьшается и происходит излучение фотона даже без действия внешнего электромагнитного поля. Теоретически уравнение Шредингера не могло описывать фотоны и несовместимо с принципами специальной теории относительности — оно рассматривает время как обычное число, одновременно представляя пространственные координаты линейными операторами.

Квантовая электродинамикаПравить

Основная статья: Квантовая электродинамика

Квантовая теория поля началась с изучения электромагнитных взаимодействий, поскольку электромагнитное поле было единственным известным классическим полем в 1920-х годах.

Благодаря работам Борна, Гейзенберга и Паскуаля Йордана в 1925—1926 годах была разработана квантовая теория, описывающая свободное электромагнитное поле (не взаимодействующего с материей), используя канонического квантования, и рассматривая электромагнитное поле как набор квантовых гармонических осцилляторов. Если не учитывать взаимодействия такая теория ещё не в состоянии сделать количественные предсказания о реальном мире.

В своей основополагающей статье 1927 года «Квантовая теория испускания и поглощения излучения» (англ. The quantum theory of the emission and absorption of radiation) Дирак ввёл термин квантовая электродинамика (КЭД), теория, которая добавляет к условиям, описывающим свободное электромагнитное поле, дополнительный член взаимодействия между плотностью электрического тока и электромагнитным векторным потенциалом. Используя теорию возмущений первого порядка, он успешно объяснил явление спонтанного излучения. Согласно принципу неопределенности, квантовые гармонические осцилляторы не могут оставаться неподвижными, но они обладают ненулевым минимумом энергии и всегда должны колебаться, даже в состоянии с самой низкой энергией (в основном состоянии). Следовательно, даже в идеальном вакууме остаётся колеблющееся электромагнитное поле с нулевой энергией. Именно такие квантовые флуктуации электромагнитных полей в вакууме «стимулируют» спонтанное излучение электронов в атомах. Теория Дирака оказалась чрезвычайно успешной в объяснении как испускания, так и поглощения излучения атомами. Применяя теорию возмущений второго порядка, он смог учесть рассеяние фотонов и объяснил другие квантовые эффекты, такие как резонансная флуоресценция^[en], нерелятивистское комптоновское рассеяние. Тем не менее, применение теории возмущений более высокого порядка столкнулось с бесконечностями в вычислениях.

В 1927 году Фридрих Хунд (при расчётах основного состояния двухъямного потенциала) и независимо от него Леонид Мандельштам и Михаил Леонтович впервые выявили «туннельный эффект». В 1928 году Георгием Гамовым (который знал об открытиях Мандельштама и Леонтовича) и американскими учёными Рональдом Гёрни^[en] и Эдвардом Ко́ндоном при разработке теории альфа-распада были получены первые формулы эффекта туннелирования. Применив идею о квантово-механическом проникновении волновой функции альфа-частицы через кулоновский барьер (туннельный эффект), Гамову удалось показать, что частицы даже с не очень большой энергией могут с определённой вероятностью вылетать из ядра.

В 1928 году Дирак записал волновое уравнение, описывающее релятивистские электроны — уравнение Дирака. Оно имело важные следствия: спин электрона равен 1/2; g-фактор электрона равен 2. Это привело к правильной формуле Зоммерфельда для тонкой структуры атома водорода; и уравнение Дирака можно использовать для вывода формулы Клейна — Нисины, описывающей релятивистское комптоновское рассеяние. Хотя результаты согласовались с теорией, но также в теории предполагалось существование состояний с отрицательной энергией, которые могли бы сделать атомы нестабильными, поскольку они, в этом случае, всегда могли распадаться на состояния с более низкой энергией с излучением.

В то время преобладало мнение, что мир состоит из двух очень разных ингредиентов: материальных частиц (таких как электроны) и квантовых полей (таких как фотоны). Материальные частицы считались вечными, а их физическое состояние описывалось вероятностями нахождения каждой частицы в любой заданной области пространства или диапазоне скоростей. С другой стороны, фотоны считались просто возбуждёнными состояниями лежащего в основе квантованного электромагнитного поля и могли свободно рождаться или уничтожаться. Между 1928 и 1930 годами Йордан, Юджин Вигнер, Гейзенберг, Паули и Энрико Ферми обнаружили, что материальные частицы также можно рассматривать как возбуждённые состояния квантовых полей. Как фотоны являются возбуждёнными состояниями квантованного электромагнитного поля, так и каждому типу частиц соответствует своё квантовое поле: электронное поле, протонное поле и так далее. Имея достаточно энергии, теперь можно было бы создавать материальные частицы. Основываясь на этой идее, Ферми в 1932 году предложил объяснение бета-распада, известное как взаимодействие Ферми. Ядра атомов не содержат электронов сами по себе, но в процессе распада электрон создаётся из окружающего электронного поля, аналогично фотону, рождённому из окружающего электромагнитного поля при радиационном распаде возбуждённого атома.

В 1930 году Д. Д. Иваненко с В. А. Амбарцумяном высказали гипотезу рождения массивных и элементарных частиц в процессе их взаимодействия (включая рождение электрона при β-распаде), что исключало господствующую до этого теорию их спонтанного рождения, и легло в основу квантовой теории поля и теории элементарных частиц. Тогда же Дирак и другие поняли, что состояния с отрицательной энергией, появляющиеся из решений уравнения Дирака, можно интерпретировать как частицы с той же массой, что и электроны, но с противоположным электрическим зарядом. Это не только обеспечило стабильность атомов, но и стало первым предсказанием существования антивещества. Действительно, позитроны были обнаружены в 1932 году Карлом Дэвидом Андерсоном в космических лучах. При наличии достаточного количества энергии, например, путём поглощения фотона, можно создать электрон-позитронную пару, процесс, называемый рождением пары; обратный процесс, аннигиляция, также может происходить с испусканием фотона. Это показало, что количество частиц не обязательно остаётся фиксированным во время взаимодействия. Однако исторически позитроны сначала рассматривались как «дырки» в бесконечном электронном море, а не как частицы нового типа, и эта теория получила название дырочной теории Дирака^[en]. КТП естественным образом включает античастицы в свой формализм.

Бесконечности и перенормировкаПравить

Роберт Оппенгеймер показал в 1934 году, что пертурбативные вычисления в более высоких порядках КЭД всегда приводят к бесконечным величинам, например для собственно-энергетической части^[en] электрона и нулевой энергии вакуума для электронного и фотонного полей. Это означало, что существующие вычислительные методы не могли должным образом справиться с взаимодействиями, в которых принимали участие фотоны с чрезвычайно высокими импульсами. Проблема нашла решение 20 лет спустя, когда был разработан системный подход к устранению таких бесконечностей.

Между 1934 и 1938 годами Эрнст Штюкельберг опубликовал серию статей, в которых была представлена релятивистски инвариантная формулировка КТП. В 1947 году Штюкельберг также независимо разработал полную процедуру перенормировки для устранения расходимостей. Эти достижения не были поняты и признаны теоретическим сообществом.

Столкнувшись с этими бесконечностями, Джон Арчибальд Уиллер и Гейзенберг предложили в 1937 и 1943 годах соответственно заменить проблематичную КТП так называемой теорией S-матриц^[en]. Поскольку конкретные детали микроскопических взаимодействий недоступны для наблюдений, теория должна пытаться описать только отношения между небольшим количеством наблюдаемых (например, энергией атома) во взаимодействии, а не заниматься микроскопическими деталями взаимодействия. В 1945 году Ричард Фейнман и Уиллер смело предложили полностью отказаться от КТП и предложили действие на расстоянии в качестве механизма взаимодействия частиц.

В 1947 году Уиллис Лэмб и Роберт Ретерфорд измерили малую разницу в энергетических уровнях ²S_1/2 и ²P_1/2 атома водорода, также названную лэмбовским сдвигом. Пренебрегая вкладом фотонов, энергия которых превышает массу электрона, Ганс Бете успешно оценил численное значение этой разницы. Впоследствии Норман Кролл^[en], Лэмб, Джеймс Френч^[en], и Виктор Вайскопф использовали другой метод для вывод, в котором бесконечности взаимно сокращались и получалась конечная величина. Однако применённый метод был громоздким и ненадёжным, и его нельзя было обобщить на другие вычисления.

Прорыв в конечном итоге произошёл примерно в 1950 году, когда Джулиан Швингер, Ричард Фейнман, Фримен Дайсон и Синъитиро Томонага разработали более приемлемый метод устранения бесконечностей. Его основная идея состоит в замене вычисленных значений массы и заряда электрона, какими бы бесконечными они ни были, их конечными экспериментальными значениями. Эта систематическая вычислительная процедура известна как перенормировка и может применяться к произвольному порядку в теории возмущений. Как сказал Томонага в своей Нобелевской лекции:

Поскольку эти части модифицированной массы и заряда из-за полевых вкладов [становятся бесконечными], их невозможно вычислить с помощью теории. Однако масса и заряд, наблюдаемые в экспериментах, являются не исходной массой и зарядом, а массой и зарядом, изменёнными полевыми вкладами, и они конечны. С другой стороны, масса и заряд, фигурирующие в теории, являются… значениями, модифицированными полевыми вкладами. Поскольку это так, и, в частности, поскольку теория не может вычислить модифицированные массу и заряд, мы можем принять процедуру феноменологической подстановки их экспериментальных значений… Эта процедура называется перенормировкой массы и заряда … После долгих и кропотливых вычислений, менее искусных, чем у Швингера, мы получили результат … который согласуется с американцами.

Оригинальный текст (англ.)[показатьскрыть]

Since those parts of the modified mass and charge due to field reactions [become infinite], it is impossible to calculate them by the theory. However, the mass and charge observed in experiments are not the original mass and charge but the mass and charge as modified by field reactions, and they are finite. On the other hand, the mass and charge appearing in the theory are… the values modified by field reactions. Since this is so, and particularly since the theory is unable to calculate the modified mass and charge, we may adopt the procedure of substituting experimental values for them phenomenologically... This procedure is called the renormalization of mass and charge… After long, laborious calculations, less skillful than Schwinger's, we obtained a result... which was in agreement with [the] Americans.

Применяя процедуры перенормировки, были окончательно проведены расчёты, объясняющие аномальный магнитный момент электрона (отклонение g-фактора электрона от 2) и поляризацию вакуума. Эти результаты в значительной степени совпадали с экспериментальными измерениями, что знаменовало конец «войны с бесконечностями».

В то же время Фейнман ввёл в обиход формулировку квантовой теории через интегралы по путям и диаграммы Фейнмана. Последние используются для визуальных вычислений в теории возмущений. Каждую диаграмму можно интерпретировать как пути частиц и их взаимодействия, причём каждой вершине и линии ставится в соответствие математическое выражение, а произведение этих выражений даёт амплитуду рассеяния процесса, представленного диаграммой.

Именно с изобретением процедуры перенормировки и диаграммной техники Фейнмана КТП получила законченную теоретическую основу.

НеперенормируемостьПравить

Учитывая огромный успех КЭД, многие теоретики в течение нескольких лет после 1949 года полагали, что КТП вскоре сможет обеспечить понимание всех микроскопических явлений, а не только взаимодействий между фотонами, электронами и позитронами. Вопреки этому оптимизму, КТП вступила в очередной период депрессии, который длился почти два десятилетия.

Первым препятствием оказалось ограниченная применимость процедуры перенормировки. В пертурбативных вычислениях в КЭД все бесконечные величины можно исключить путём переопределения небольшого (конечного) числа физических величин (а именно массы и заряда электрона). Дайсон доказал в 1949 году, что это возможно только для небольшого класса теорий, называемых «перенормируемыми теориями», примером которых является КЭД. Однако большинство теорий, включая теорию слабого взаимодействия Ферми, «неперенормируемы». Любое пертурбативное вычисление в этих теориях за пределами первого порядка привело бы к бесконечностям, которые нельзя было бы избегать путём переопределения конечного числа физических параметров теории.

Вторая серьёзная проблема возникает из ограниченной применимости метода диаграмм Фейнмана, который основан на разложении в ряд в теории возмущений. Для сходимости рядов и для существования хороших приближений только в приближении низкого порядка, константа связи, по которому происходит разложение, должна быть достаточно малым числом. Константа связи в КЭД — это постоянная тонкой структуры α ≈ 1/137, которая достаточно мала, чтобы в реалистичных расчётах учитывать только простейшие диаграммы Фейнмана низшего порядка. Напротив, константа связи при сильном взаимодействии примерно равна единице, что делает сложные диаграммы Фейнмана более высокого порядка столь же важными, как и простые. Таким образом, не оказалось возможности получить надёжные количественные предсказания в задачах с сильным взаимодействием при использованием пертурбативных методов КТП.

Когда возникли эти трудности, многие теоретики начали отворачиваться от КТП. Одни сосредоточились на принципах симметрии и законах сохранения, другие взяли старую теорию S-матрицы Уиллера и Гейзенберга. КТП использовалась эвристически как руководящий принцип, но не как основа для количественных расчётов.

Швингер, однако, пошёл другим путем. Более десяти лет он и его ученики были почти единственными учёными последовательно продвигающими теорию поля, но в 1966 году он нашёл способ обойти проблему бесконечностей с помощью нового метода, который он назвал теорией источников, которая представляла собой феноменологическую теорию и не использовала полевые операторы. Развитие физики пионов, в которой новая точка зрения наиболее успешно применялась, убедило его в огромных преимуществах математической простоты и концептуальной ясности, которые даёт её использование. В теории источников нет расхождений и перенормировок. Её можно рассматривать как вычислительный инструмент теории поля, но она носит более общий характер. Используя теорию источников, Швингер смог вычислить аномальный магнитный момент электрона в 1947 году, но на этот раз без «отвлекающих замечаний» о бесконечных величинах. Швингер также применил теорию источников к своей КТП теории гравитации и смог воспроизвести все четыре классических результата Эйнштейна: гравитационное красное смещение, отклонение и замедление света под действием силы тяжести и прецессию перигелия Меркурия. Пренебрежение физическим сообществом теории источников стало большим разочарованием для Швингера:

Непонимание этих фактов другими было удручающим, но понятным.

Оригинальный текст (англ.)[показатьскрыть]

The lack of appreciation of these facts by others was depressing, but understandable.

Стандартная модельПравить

Основная статья: Стандартная модель

 

Элементарные частицы Стандартной модели: шесть типов кварков, шесть типов лептонов, четыре типа калибровочных бозонов, несущих фундаментальные взаимодействия, а также бозон Хиггса, который наделяет элементарные частицы массой.

В 1954 году Ян Чжэньнин и Роберт Миллс обобщили локальную симметрию КЭД, что привело к созданию неабелевых калибровочных теорий (также известным как теории Янга — Миллса), основанных на более сложных локальных группах симметрии. В КЭД (электрически) заряженные частицы взаимодействуют посредством обмена фотонами, тогда как в неабелевой калибровочной теории частицы, несущие новый тип «заряда», взаимодействуют посредством обмена безмассовыми калибровочными бозонами. В отличие от фотонов, эти калибровочные бозоны сами несут заряд.

Шелдон Глэшоу разработал неабелеву калибровочную теорию, объединившую электромагнитное и слабое взаимодействия в 1960 году. В 1964 году Абдус Салам и Джон Клайв Уорд пришли к той же теории другим путём. Тем не менее эта теорию была неперенормируемой.

Питер Хиггс, Роберт Браут, Франсуа Энглерт, Джеральд Гуральник^[en], Карл Хаген^[en] и Том Киббл в своих знаменитых статьях Physical Review Letters^[en] предложили, что калибровочная симметрия в теориях Янга — Миллса нарушается с помощью механизма, называемого спонтанным нарушением симметрии, благодаря которому калибровочные бозоны могут приобретать массу.

Объединив более раннюю теорию Глэшоу, Салама и Уорда с идеей спонтанного нарушения симметрии, Стивен Вайнберг в 1967 году создал теорию, описывающую электрослабые взаимодействия между всеми лептонами и эффекты бозона Хиггса. Его теория была вначале проигнорирована, пока интерес к ней не вернул в 1971 году Герард т’Хоофта, который доказал перенормируемость неабелевых калибровочных теорий. Теория электрослабового взаимодействия Вайнберга и Салама была обобщена для включения кварков в 1970 году Глэшоу, Джоном Илиопулосом и Лучано Майани, что ознаменовало её завершение.

Харальд Фрич, Мюррей Гелл-Манн и Генрих Лойтвайлер в 1971 году обнаружили, что некоторые явления, связанные с сильным взаимодействием, также могут быть объяснены в рамках неабелевой калибровочной теории. Так появилась квантовая хромодинамика (КХД). В 1973 году Дейвид Гросс, Фрэнк Вильчек и Хью Дейвид Политцер показали, что неабелевы калибровочные теории «асимптотически свободны», когда при перенормировке константа связи сильного взаимодействия уменьшается с увеличением энергии взаимодействия. Подобные открытия были сделаны несколько раз в прошлом, но они оказались незамечены. Таким образом, по крайней мере, при высоких энергиях, константа связи в КХД становится достаточно малой, чтобы гарантировать разложение в ряд теории возмущений, что приводит возможности получения количественных оценок для сильного взаимодействия.

Эти теоретические открытия привели к возрождению КТП. Полная теория, включающая теорию электрослабого взаимодействия и хромодинамику, сегодня называется Стандартной моделью элементарных частиц. Стандартная модель успешно описывает все фундаментальные взаимодействия, кроме гравитации, а её многочисленные предсказания получили замечательное экспериментальное подтверждение в последующие десятилетия. Существование бозона Хиггса, который занимает центральное место в механизме спонтанного нарушения симметрии, было окончательно подтверждено в 2012 году экспериментами в ЦЕРНе, подводя итог полной проверке всех составляющих Стандартной модели.

Прочие разработкиПравить

В 1970-х годах появились непертурбативные методы в неабелевых калибровочных теориях. Монополь 'т Хоофта — Полякова был открыт теоретически 'т Хофтом и Александром Поляковым, трубки потока^[en] Хольгером Беком Нильсеном^[en] и Полом Олесеном, инстантоны Поляковым и соавторами. Исследование этих объектов недоступно с помощью теории возмущений.

Суперсимметрия также появилась в то же время. Первая суперсимметричная КТП в четырёх измерениях была построена Юрием Гольфандом и Евгением Лихтманом в 1970 году, но их результат не вызвал широкого интереса из-за «железного занавеса». Суперсимметрия получила широкое распространение в теоретическом сообществе только после работы Юлиуса Весса и Бруно Зумино^[en] в 1973 году.

Среди четырёх фундаментальных взаимодействий гравитация остаётся единственным, которому не хватает последовательного описания в рамках КТП. Различные попытки создания теории квантовой гравитации привели к развитию теории струн, которая сама относится к типу двумерной КТП с конформной симметрией^[en]. Джоэль Шерк^[en] и Джон Шварц впервые предложили в 1974 году, что теория струн может быть квантовой теорией гравитации.

Физика конденсированного состоянияПравить

Основная статья: Физика конденсированного состояния

Хотя квантовая теория поля возникла в результате изучения взаимодействий между элементарными частицами, то есть используется для расстояний много меньших атомарным, она успешно применяется к другим физическим системам, особенно к многочастичным системам в физике конденсированного состояния. Исторически механизм спонтанного нарушения симметрии Хиггса был результатом применения Ёитиро Намбу теории сверхпроводников к элементарным частицам, в то время как концепция перенормировки возникла благодаря исследованиям фазовых переходов второго рода в веществе.

Вскоре после введения фотонов Эйнштейн выполнил процедуру квантования колебаний в кристалле, что привело к появлению первой квазичастицы в твёрдом теле — фонона. Лев Ландау утверждал, что низкоэнергетические возбуждения во многих системах конденсированной материи можно описывать в терминах взаимодействий между набором квазичастиц. Диаграммный метод КТП Фейнмана, естественно, хорошо подходил для анализа различных явлений в системах конденсированных сред. Калибровочная теория используется для описания квантования магнитного потока в сверхпроводниках, удельного сопротивления в квантовом эффекте Холла, а также связи между частотой и напряжением при нестационарном эффекте Джозефсона для переменного тока.

Классический формализм теории поляПравить

Основная статья: Классическая теория поля

Лагранжев формализмПравить

Основная статья: Лагранжева механика

Классическое поле является функцией пространственных и временных координат. Примеры включают гравитационное поле в ньютоновской гравитации g(x, t), электрическое поле E(x, t) и магнитное поле B(x, t) в классической электродинамике. Классическое поле можно рассматривать как числовую величину, приписываемую каждой точке пространства, которая изменяется во времени. Следовательно, оно имеет бесконечно много степеней свободы.

В лагранжевой механике функция Лагранжа L является функцией времени и динамических переменных системы и записывается в виде суммы по всем материальным точкам системы. В случае непрерывной системы, каковым является поле — центрального понятия теороии, сумма заменяется пространственным интегралом от плотности функции Лагранжа — лагранжевой плотности $\mathcal{L}$$\mathcal{L}$ 

$L(t)=L(x^0)=\int <!--\; \int \; -->\mathcal{L}(x^0,\mathbf{x})d^3\mathbf{x},$$L(t)=L(x^{0})=\int {\mathcal {L}}(x^{0},\mathbf {x} )d^{3}\mathbf {x} \,,$ 

где жирным шрифтом выделены пространственные компоненты 4-вектора координат, а нулевая компонента — время. Поэтому в теории поля лагранжианом называют обычно лагранжеву плотность. Действие $S$$S$  по определению есть интеграл по времени от лагранжиана

$S=\int <!--\; \int \; -->dtL(t)=\int <!--\; \int \; -->d{x}^0{d}^3\mathbf{x}\mathcal{L}(x^0,\mathbf{x})=\int <!--\; \int \; -->d^{4}x\mathcal{L}(x),$$S=\int dtL(t)=\int dx^{0}d^{3}\mathbf {x} {\mathcal {L}}(x^{0},\mathbf {x} )=\int d^{4}x{\mathcal {L}}(x)\,,$ 

то есть действие в теории поля есть четырёхмерный интеграл от лагранжевой плотности по четырёхмерному пространству-времени.

Поле описывается полевой функцией $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)$$\psi(x)$  (выступает в качестве динамической переменной), которое может быть вещественной или комплексной скалярной (псевдоскалярной), векторной, спинорной или иной функцией. В теории поля предполагается, что лагранжиан зависит только от динамических переменных — от полевой функции и её производных, то есть отсутствует явная зависимость от координат (явная зависимость от координат нарушает релятивистскую инвариантность). Локальность теории требует, чтобы лагранжиан содержал конечное количество производных и не содержал, например, интегральных зависимостей. Более того, чтобы получить дифференциальные уравнения не выше второго порядка (в целях соответствия классической механике) предполагается, что лагранжиан зависит только от полевой функции и её первых производных

$\mathcal{L}(x)=\mathcal{L}(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x),{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)).$${\mathcal {L}}(x)={\mathcal {L}}(\psi (x),\partial _{\nu }{\psi }(x))\,.$ 

Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона) означает, что реальное изменение состояния системы происходит таким образом, чтобы действие было стационарным (вариация действия равна нулю). Этот принцип позволяет получить полевые уравнения движения — уравнения Эйлера — Лагранжа:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{L}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})}\right)=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{L}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}.$${\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\psi )}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}\,.$ 

Поскольку физические свойства системы определяются действием, в котором лагранжиан является подынтегральным выражением, то данному лагранжиану соответствует единственное действие, но не наоборот. А именно, лагранжианы, отличающиеся друг от друга полной 4-дивергенцией некоторого 4-вектора ${\mathcal{L}}^{\prime }(x)=\mathcal{L}(x)+{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{f}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(x)$${\mathcal {L}}'(x)={\mathcal {L}}(x)+\partial _{{\nu }}f^{{\nu }}(x)$ , физически эквивалентны.

Лагранжиан системы полейПравить

Лагранжиан системы невзаимодействующих (свободных) полей есть просто сумма лагранжианов отдельных полей. Уравнения движения для системы свободных полей — это совокупность уравнений движения отдельных полей. Взаимодействие полей учитывается в лагранжиане добавлением дополнительных нелинейных слагаемых. Таким образом, полный лагранжиан системы взаимодействующих полей является суммой свободного лагранжиана ${\mathcal{L}}_0$${\mathcal {L}}_{0}$  и лагранжиана взаимодействия ${\mathcal{L}}_{\mathcal{I}}$${\mathcal {L_{I}}}$ :

$\mathcal{L}={\mathcal{L}}_0+{\mathcal{L}}_{\mathcal{I}}.$${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{0}+{\mathcal {L_{I}}}\,.$ 

Введение лагранжиана взаимодействия приводит к неоднородности и нелинейности уравнений движения. Лагранжианы взаимодействия обычно являются полиномиальными функциями участвующих полей (степени не ниже третьей), умноженные на некоторую числовую константу — так называемую константу связи. Лагранжиан взаимодействия может быть пропорционален третьей или четвёртой степени самой полевой функции, произведению различных полевых функций.

Гамильтонов формализмПравить

Основная статья: Гамильтонова механика

От лагранжева формализма можно перейти к гамильтоновому по аналогии с лагранжевой и гамильтоновой механикой. Полевая функция $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t,\mathbf{x})$$\psi (t,\mathbf {x} )$  здесь выступает в качестве обобщённой (канонической) координаты. Соответственно необходимо определить также и обобщённую (каноническую) плотность импульса, сопряжённую этой координате согласно стандартной формуле:

$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(t,\mathbf{x})=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{L}(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->},{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(t,\mathbf{x})}.$$\pi (t,\mathbf {x} )={\frac {{\partial }{\mathcal {L}}(\psi ,\partial _{\nu }{\psi })}{{\partial }{\dot {\psi }}(t,\mathbf {x} )}}\,.$ 

Тогда плотность гамильтониана поля равна по определению

$\mathcal{H}=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}-<!--\; -\; -->\mathcal{L}.$${\mathcal {H}}=\pi {\dot {\psi }}-{\mathcal {L}}\,.$ 

Уравнения движения в гамильтоновом подходе имеют вид:

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{H}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}},\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{H}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}.$${\dot {\psi }}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \pi }},{\dot {\pi }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \psi }}\,.$ 

Динамика любых величин $F(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})$$F(\psi ,\pi )$  в рамках гамильтонова формализма подчиняются следующему уравнению:

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{F}=\{F,\mathcal{H}\},$${\dot {F}}=\{F,{\mathcal {H}}\}\,,$ 

где фигурными скобками обозначена скобка Пуассона. При этом для самих функций $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$  и $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  выполнено следующее:

$\{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(\mathbf{x},t),\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(\mathbf{y},t)\}=1,\{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(\mathbf{x},t),\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(\mathbf{y},t)\}=\{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(\mathbf{x},t),\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(\mathbf{y},t)\}=0.$$\{\psi (\mathbf {x} ,t),\pi (\mathbf {y} ,t)\}=1,\{\psi (\mathbf {x} ,t),\psi (\mathbf {y} ,t)\}=\{\pi (\mathbf {x} ,t),\pi (\mathbf {y} ,t)\}=0\,.$ 

Соотношения с участием скобок Пуассона обычно и являются основой для квантования полей, когда полевые функции заменяются соответствующими операторами, а скобки Пуассона — на коммутатор операторов.

Симметрии в квантовой теории поляПравить

Определение и виды симметрийПравить

Симметриями в квантовой теории поля называются преобразования координат и (или) полевых функций, относительно которых инвариантны уравнения движения, а значит, инвариантно действие. Сами преобразования при этом образуют группу. Симметрии называются глобальными, если соответствующие преобразования не зависят от 4-координат. В противном случае говорят о локальных симметриях. Симметрии могут быть дискретными или непрерывными. В последнем случае группа преобразований является непрерывной (топологической), то есть в группе задана топология, относительно которой групповые операции непрерывны. В квантовой теории поля однако обычно используется более узкий класс групп — группы Ли, в которых введена не только топология, но и структура дифференцируемого многообразия. Элементы таких групп можно представить как дифференцируемые (голоморфные или аналитические) функции конечного числа параметров. Группы преобразований обычно рассматриваются в некотором представлении — элементам групп соответствуют операторные (матричные) функции параметров.

Дискретные симметрии. CPT-теоремаПравить

Наиболее важное значение имеют следующие виды преобразования:

• C — зарядовое сопряжение — замена полевых функций на сопряжённые.
• P — чётность — изменение знаков пространственных компонент на противоположный.
• T — обращение времени — изменение знака временной компоненты.

Доказано, что в локальной квантовой теории поля имеет место $CPT$$CPT$ -симметрия, то есть инвариантность относительно одновременного применения этих трёх преобразований.

Непрерывные симметрии. Теорема НётерПравить

Основная статья: Теорема Нётер

Согласно теореме Нётер инвариантность функционала действия относительно $s$$s$ -параметрической группы преобразований приводит к $s$$s$  динамическим инвариантам поля, то есть к законам сохранения. А именно, пусть преобразование координат осуществляется с помощью функций $F^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(x,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$F^{{\mu }}(x,\omega )$ , а полевой функции — с помощью функции $U(x,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$U(x,\omega )$ , где $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$${\omega }$  — совокупность $s$$s$  параметров. Обозначим $u_k$$u_{k}$  значение производной функции $U$$U$  по $k$$k$ -му параметру при нулевом значении параметров, а через $f_k^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$f_{k}^{{\mu }}$  — значения производных функций $F^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(x,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$F^{{\mu }}(x,\omega )$  по $k$$k$ -му параметру при нулевом значении параметров. Указанные величины по существу являются генераторами соответствующих групп преобразований.

Тогда нётеровские токи, определённые как

$J_k^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{L}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})}({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}{f}_k^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}-<!--\; -\; -->u_k)-<!--\; -\; -->f_k^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathcal{L}$$J_{k}^{{\mu }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{{\mu }}\psi )}}(\partial _{{\nu }}\psi f_{k}^{{\nu }}-u_{k})-f_{k}^{{\mu }}{\mathcal {L}}$ 

обладают свойством ${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{J}_k^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=0$$\partial _{{\mu }}J_{k}^{{\mu }}=0$ . Сохраняющимися во времени величинами («нётеровскими зарядами») являются пространственные интегралы по нулевой компоненте токов

$C_k=\int <!--\; \int \; -->J_k^0{d}^{3}x.$$C_{k}=\int J_{k}^{0}d^{3}x\,.$ 

Фундаментальной симметрией, присущей всем квантово-полевым теориям, является релятивистская инвариантность — инвариантность относительно неоднородной группы Лоренца (группы Пуанкаре), то есть относительно пространственно-временных трансляций и лоренцевых вращений. Ещё одной глобальной симметрией для комплексных полей является глобальная калибровочная симметрия — симметрия относительно однопараметрической группы $U(1)$$U(1)$  — группы умножений на $e^{i\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$e^{{i\alpha }}$ . Она связана с требованием вещественности лагранжиана и наблюдаемых физических величин, что приводит к зависимости от комплексных полей только через квадратичные формы, представляющие собой произведения взаимно комплексно-сопряжённых функций и их производных. Поэтому умножение на унитарный фазовый множитель $e^{i\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$e^{{i\alpha }}$  не приводит к каким-либо изменениям.

Ниже в таблице приведены общие выражения для нётеровских токов и зарядов для основных глобальных симметрий и соответствующих законов сохранения.

Симметрия	Нётеровские токи	Нётеровские заряды и законы сохранения
Пространственно-временные трансляции	Тензор энергии-импульса: $T_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{L}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathcal{L}$$T_{\nu }^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\partial _{\nu }\psi -{\delta }_{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}$ . В частности $\mathcal{H}=T_0^0=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{L}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_0\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_0\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathcal{L}$${\mathcal {H}}=T_{0}^{0}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{0}\psi )}}\partial _{0}\psi -{\mathcal {L}}$  — гамильтониан (плотность) поля.	Закон сохранения 4-импульса: $P^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=\int <!--\; \int \; -->T^{0\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{d}^{3}x$$P^{\nu }=\int T^{0\nu }d^{3}x$ , в частности энергии (гамильтониана) $H=P^0$$H=P^{{0}}$
Лоренцевы вращения	Тензор (полного) момента $M^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})}=M_0^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})}+S^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})}$$M^{{\tau (\rho \sigma )}}=M_{0}^{{\tau (\rho \sigma )}}+S^{{\tau (\rho \sigma )}}$ , где $M_0^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})}=x^{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}{T}^{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}-<!--\; -\; -->x^{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{T}^{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$$M_{0}^{{\tau (\rho \sigma )}}=x^{{\sigma }}T^{{\rho \tau }}-x^{{\rho }}T^{{\sigma \tau }}$  — тензор орбитального момента, $S^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})}=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{L}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_i)}{A}_i^{j(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_j$$S^{{\tau (\rho \sigma )}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{{\tau }}\psi _{i})}}A_{i}^{{j(\rho \sigma )}}\psi _{j}$  — тензор спинового момента (спина), где $A_i^{j(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})}$$A_{i}^{{j(\rho \sigma )}}$  — параметры преобразования полевых функций при лоренцевых вращениях. Для скалярных полей $S^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})}=0$$S^{{\tau (\rho \sigma )}}=0$	Закон сохранения полного момента $M^{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}=M_0^{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}+S^{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$$M^{{\rho \sigma }}=M_{0}^{{\rho \sigma }}+S^{{\rho \sigma }}$  — пространственного интеграла от $M^{0(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})}$$M^{{0(\rho \sigma )}}$
Глобальная калибровочная симметрия $U(1)$$U(1)$	4-вектор заряженного тока: $J^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=i\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{L}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->})}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{L}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}\right)$$J^{\mu }=i\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi ^{*})}}\psi ^{*}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\psi \right)$ . Для вещественных полей равны нулю.	Закон сохранения заряда (электрический заряд, барионный заряд, странность, очарование и т. д.): $Q=\int <!--\; \int \; -->J^0{d}^3\mathbf{x}$$Q=\int J^{0}d^{3}\mathbf {x}$ . Для вещественных полей равен нулю.

Основные характеристики базовых полейПравить

Ниже в таблице приведены описание и основные характеристики простейших полей, являющихся базовыми при построении реальных квантово-полевых теорий — скалярные, векторные и спинорные поля.

Характеристика	Скалярное поле	Векторное поле	Спинорное поле
Полевая функция	$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)={\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_1(x)+i{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_2(x)$$\phi (x)=\phi _{1}(x)+i\phi _{2}(x)$  — в общем случае комплексная функция. ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}(x)$$\phi ^{*}(x)$  — комплексно-сопряжённая функция. Если ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}(x)=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)$$\phi ^{*}(x)=\phi (x)$  (то есть ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_2(x)=0$$\phi _{2}(x)=0$ ), то имеем вещественное скалярное поле ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_1(x)$$\phi _{1}(x)$  (переобозначив её просто как $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)$$\phi(x)$ )	$A^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(x)$$A^{{\mu }}(x)$  — векторная функция (4-вектор), в общем случае с комплексными компонентами (заряженное векторное поле). Вещественное (нейтральное) векторное поле получается из условия равенства $A_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}=A_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$A_{{\mu }}^{*}=A_{{\mu }}$  (комплексное поле приравнивается тогда к вещественному, делённому на $\sqrt{2}$${\sqrt {2}}$ )	$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)$$\psi(x)$  — четырёхкомпонентная функция (биспинор)-столбец, $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}={\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^0$${\bar {\psi }}=\psi ^{*}\gamma ^{0}$  — дираковски сопряжённая четырёхкомпонентная функция-строка, ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$\gamma ^{{\mu }}$  — матрицы Дирака
Характер описываемых частиц	Частица со спином 0. Для вещественного поля — нейтральная, для комплексного — заряженная.	Частицы со спином 1 (проекции $0,\pm <!--\; \pm \; -->1$$0,\pm 1$ ), заряженные или нейтральные	Заряженные частицы со спином 1/2 ($\pm <!--\; \pm \; -->1/2$$\pm 1/2$ )
Лагранжиан $(\mathcal{L})$$({\mathcal {L}})$	${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}-<!--\; -\; -->m^2{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}=\mathcal{L}({\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_1)+\mathcal{L}({\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_2)$$\partial _{{\mu }}\phi ^{*}\partial ^{{\mu }}\phi -m^{2}\phi ^{*}\phi ={\mathcal {L}}(\phi _{1})+{\mathcal {L}}(\phi _{2})$ , где $\mathcal{L}(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})={\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}-<!--\; -\; -->m^2{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^2$${\mathcal {L}}(\phi )=\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{2}$  — лагранжиан для вещественного поля $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$	$-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}{F}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}{F}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}+m^2{A}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}{A}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$-{\frac {1}{2}}F_{{\mu \nu }}^{*}F^{{\mu \nu }}+m^{2}A_{{\mu }}^{*}A^{{\mu }}$ , где $F_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}={\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{A}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{A}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$F_{{\mu \nu }}=\partial _{{\mu }}A_{{\nu }}-\partial _{{\nu }}A_{{\mu }}$  Для вещественного поля $-<!--\; -\; -->\frac{1}{4}{F}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{F}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}+\frac{1}{2}{m}^2{A}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{A}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$-{\frac {1}{4}}F_{{\mu \nu }}F^{{\mu \nu }}+{\frac {1}{2}}m^{2}A_{{\mu }}A^{{\mu }}$	$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(i{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}-<!--\; -\; -->m)\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$${\bar {\psi }}(i\gamma ^{{\mu }}\partial _{{\mu }}-m)\psi$
Уравнения движения Эйлера — Лагранжа	$({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}-<!--\; -\; -->m^2)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}=0$$(\partial _{\mu }\partial ^{\mu }-m^{2})\phi =0$  (уравнение Клейна — Гордона — верно и для сопряжённой функции)	$-<!--\; -\; -->({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}+m^2)A^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}+{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{A}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=0$$-(\partial _{{\nu }}\partial ^{{\nu }}+m^{2})A^{{\mu }}+\partial ^{{\mu }}\partial _{{\nu }}A^{{\nu }}=0$  (Уравнение Прока) Дифференцирование по $x^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$x^{{\mu }}$  приводит (если $m\ne <!--\; \ne \; -->0$$m\neq 0$ ) к ${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{A}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=0.$$\partial _{\nu }A^{\nu }=0\,.$  С этим условием (Лоренца) $({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}+m^2)A^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=0$$(\partial _{{\nu }}\partial ^{{\nu }}+m^{2})A^{{\mu }}=0$	$(i{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}-<!--\; -\; -->m)\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=0$$(i\gamma ^{{\mu }}\partial _{{\mu }}-m)\psi =0$  — уравнение Дирака
Тензор энергии-импульса $(T^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}),$$(T^{\mu \nu })\,,$  гамильтониан $(\mathcal{H}=T^{00}),$$({\mathcal {H}}=T^{00})\,,$  4-импульс $(P^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}})$$(P^{{\nu }})$	${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}+{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}-<!--\; -\; -->g^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\mathcal{L}$$\partial ^{\mu }\phi ^{*}\partial ^{\nu }\phi +\partial ^{\nu }\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi -g^{\mu \nu }{\mathcal {L}}$ , $\mathcal{H}={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}+m^2{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->},$${\mathcal {H}}=\pi ^{*}\pi +\nabla \phi ^{*}\nabla \phi +m^{2}\phi ^{*}\phi \,,$  где $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}=\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}},$$\pi ={\dot {\phi }}\,,$  для вещественного поля — $\mathcal{H}={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2+(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}{)}^2+m^2{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^2$${\mathcal {H}}=\pi ^{2}+(\nabla \phi )^{2}+m^{2}\phi ^{2}$	$F_{\ast <!--\; \ast \; -->}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{A}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}+{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{A}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}{F}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}-<!--\; -\; -->g^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\mathcal{L}$$F_{*}^{{\mu \sigma }}\partial ^{{\nu }}A_{{\sigma }}+\partial ^{{\nu }}A_{{\sigma }}^{*}F^{{\mu \sigma }}-g^{{\mu \nu }}{\mathcal {L}}$	$\frac{1}{2}(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}),$${\frac {1}{2}}({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial ^{\nu }\psi -\partial ^{\nu }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi )\,,$  $\mathcal{H}=\frac{i}{2}({\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}-<!--\; -\; -->{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})$${\mathcal {H}}={\frac {i}{2}}(\psi ^{*}{\dot {\psi }}-{\dot {\psi }}^{*}\psi )$
4-вектор тока $(J^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}})$$(J^{{\mu }})$  и заряд $(Q)$$(Q)$	$J^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=i({\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}-<!--\; -\; -->({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->})\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})$$J^{\mu }=i(\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi -(\partial ^{\mu }\phi ^{*})\phi )$ , $Q=\int <!--\; \int \; -->d^3\mathbf{x}({\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}-<!--\; -\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}}^{\ast <!--\; \ast \; -->})$$Q=\int d^{3}{\mathbf {x}}(\phi ^{*}{\dot {\phi }}-\phi {\dot {\phi }}^{*})$  для вещественного поля равны нулю	$i(A_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}{F}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}-<!--\; -\; -->F_{\ast <!--\; \ast \; -->}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{A}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}})$$i(A_{{\nu }}^{*}F^{{\mu \nu }}-F_{*}^{{\mu \nu }}A_{{\nu }})$	$J^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->},$$J^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \,,$  $Q=\int <!--\; \int \; -->d^3\mathbf{x}({\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})$$Q=\int d^{3}{\mathbf {x}}(\psi ^{*}\psi )$
Спин-тензор $(S^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})})$$(S^{{\tau (\mu \nu )}})$	0	$A_{\ast <!--\; \ast \; -->}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{F}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}-<!--\; -\; -->F_{\ast <!--\; \ast \; -->}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{A}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}+F_{\ast <!--\; \ast \; -->}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{A}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}-<!--\; -\; -->A_{\ast <!--\; \ast \; -->}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{F}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$$A_{*}^{{\mu }}F^{{\nu \tau }}-F_{*}^{{\mu \tau }}A^{{\nu }}+F_{*}^{{\nu \tau }}A^{{\mu }}-A_{*}^{{\nu }}F^{{\mu \tau }}$	$\frac{1}{4}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}({\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}+{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}})\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->},$${\frac {1}{4}}{\bar {\psi }}(\gamma ^{\tau }\sigma ^{\mu \nu }+\sigma ^{\mu \nu }\gamma ^{\tau })\psi \,,$  где ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=\frac{1}{2i}[{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}},{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}]$$\sigma ^{{\mu \nu }}={\frac {1}{2i}}[\gamma ^{{\mu }},\gamma ^{{\nu }}]$

Локальные симметрии и калибровочные поляПравить

Основная статья: Калибровочная инвариантность

Локальные преобразования можно определить как умножение полевой функции на некоторую функцию, зависящую от 4-координат. Например, локальные преобразования группы $U(1)$$U(1)$  — фазовое преобразование, зависящее от конкретной пространственно-временной точки, то есть умножение на $e^{i\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)}$$e^{{i\alpha (x)}}$ . Как отмечалось выше, все комплексные поля симметричны относительно аналогичных глобальных преобразований. Однако они часто неинвариантны относительно локальных преобразований. В частности, описанные выше скалярные и спинорные поля неинвариантны относительно локальных калибровочных преобразований. Причина этого — неинвариантность относительно такого преобразования обычной производной. Если ввести дополнительное поле $A_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$A_{{\mu }}$  и заменить производную в лагранжиане на т. н. калибровочно-ковариантную производную

$D_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}={\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}-<!--\; -\; -->ie{A}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}},$$D_{\mu }=\partial _{\mu }-ieA_{\mu },$ 

то полученный лагранжиан будет инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований. Однако полученный таким образом лагранжиан будет по сути содержать взаимодействие двух полей — исходного и калибровочного $A_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$A_{{\mu }}$ . По общему правилу в таком случае необходимо ввести в общий лагранжиан также слагаемое, отвечающее за лагранжиан свободного калибровочного поля. Этот лагранжиан тоже должен быть калибровочно инвариантен и выбирается как лагранжиан свободного безмассового векторного поля $-<!--\; -\; -->\frac{1}{4}{F}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{F}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$-{\frac {1}{4}}F_{{\mu \nu }}F^{{\mu \nu }}$ . В итоге, например, для спинорного поля получаем лагранжиан квантовой электродинамики (КЭД):

${\mathcal{L}}_{QED}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(i{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{D}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}-<!--\; -\; -->m)\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{1}{4}{F}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{F}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(i{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}-<!--\; -\; -->m)\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}+e\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{A}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{1}{4}{F}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{F}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}},$${\mathcal {L}}_{QED}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi +e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu },$ 

то есть данный лагранжиан включает лагранжиан свободного спинорного поля Дирака, калибровочного (электромагнитного) поля и лагранжиан взаимодействия этих полей. Если следующее преобразование полей выполняется в каждой точке пространства-времени x (локальное преобразование), то лагранжиан КЭД остаётся неизменным или инвариантным:

$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)\to <!--\; \to \; -->e^{i\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x),A_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(x)\to <!--\; \to \; -->A_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(x)+i{e}^{-<!--\; -\; -->1}{e}^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{e}^{i\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)},$$\psi (x)\to e^{i\alpha (x)}\psi (x),\quad A_{\mu }(x)\to A_{\mu }(x)+ie^{-1}e^{-i\alpha (x)}\partial _{\mu }e^{i\alpha (x)},$ 

где α(x) — любая функция координат пространства-времени. Если лагранжиан теории (или, точнее, действие) инвариантен относительно некоторого локального преобразования, то это преобразование называется калибровочной симметрией теории. Калибровочные симметрии образуют группу в каждой точке пространства — времени. В случае КЭД последовательное применение двух различных преобразований локальной симметрии $e^{i\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)}$$e^{{i\alpha (x)}}$  и $e^{i{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\prime }(x)}$$e^{i\alpha '(x)}$  — это ещё одно преобразование симметрии $e^{i[\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\prime }(x)]}$$e^{i[\alpha (x)+\alpha '(x)]}$ . Для любого α(x), $e^{i\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)}$$e^{{i\alpha (x)}}$  — элемент группы U(1), поэтому говорят, что КЭД обладает калибровочной симметрией U(1). Фотонные поля A_μ могут упоминаться как U(1)-калибровочный бозон.

Аналогичным образом можно написать калибровочно инвариантный лагранжиан комплексного скалярного поля — лагранжиан скалярной КЭД

${\mathcal{L}}_{SQED}=(D_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}{)}^{\ast <!--\; \ast \; -->}{D}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{1}{4}{F}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{F}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}.$${\mathcal {L}}_{SQED}=(D_{\mu }\phi )^{*}D^{\mu }\phi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\,.$ 

Таким образом, требование локальной калибровочной инвариантности лагранжиана относительно фазового преобразования (группа $U(1)$$U(1)$ ) приводит к появлению калибровочного поля, в данном случае — электромагнитного поля, с которым взаимодействует «основное» поле.

U(1) — абелева группа. КТП можно построить для неабелевых групп, которые называют неабелевыми калибровочными теориями. Квантовая хромодинамика — неабелева калибровочная теория с SU(3) группой симметрии. Она описывает дираковкие поля ψⁱ, i = 1,2,3, которые представляют кварковые поля и векторные поля A^a,μ, a = 1,...,8 — глюонные поля, которые являются SU(3) калибровочными бозонами. Лагранжиан КХД имеет вид:

$\mathcal{L}=i{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}^i{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(D_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{)}^{ij}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^j-<!--\; -\; -->\frac{1}{4}{F}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^a{F}^{a,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}-<!--\; -\; -->m{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}^i{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^i,$${\mathcal {L}}=i{\bar {\psi }}^{i}\gamma ^{\mu }(D_{\mu })^{ij}\psi ^{j}-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F^{a,\mu \nu }-m{\bar {\psi }}^{i}\psi ^{i},$ 

где D_μ — калибровочная ковариантная производная :

$D_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}={\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}-<!--\; -\; -->ig{A}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^a{t}^a,$$D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }^{a}t^{a},$ 

где g — константа связи, t^a — восемь генераторов группы SU(3) в фундаментальном представлении (матриц 3×3),

$F_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^a={\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{A}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^a-<!--\; -\; -->{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{A}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^a+g{f}^{abc}{A}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^b{A}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^c,$$F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c},$ 

f^abc — структурные константы SU(3). По повторяющимся индексам i,j,a происходит неявное суммирование согласно обозначениям Эйнштейна. Этот лагранжиан инвариантен относительно преобразования:

${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^i(x)\to <!--\; \to \; -->U^{ij}(x){\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^j(x),A_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^a(x)t^a\to <!--\; \to \; -->U(x)\left[A_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^a(x)t^a+i{g}^{-<!--\; -\; -->1}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\right]U^{†<!--\; †\; -->}(x),$$\psi ^{i}(x)\to U^{ij}(x)\psi ^{j}(x),\quad A_{\mu }^{a}(x)t^{a}\to U(x)\left[A_{\mu }^{a}(x)t^{a}+ig^{-1}\partial _{\mu }\right]U^{\dagger }(x)\,,$ 

где U(x) — элемент SU(3) в каждой точке пространства-времени x:

$U(x)=e^{i\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x{)}^a{t}^a}.$$U(x)=e^{i\alpha (x)^{a}t^{a}}\,.$ 

Указанный подход можно обобщить на случай других локальных групп симметрии. В общем случае это приводит к появлению так называемых калибровочных полей Янга-Миллса. Ковариантная производная в этом случае имеет вид:

$D_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=I{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}-<!--\; -\; -->ig{T}^a{A}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^a,$$D_{\mu }=I\partial _{\mu }-igT^{a}A_{\mu }^{a},$ 

где $T^a$$T^a$  — генераторы преобразований соответствующей группы (в случае с U(1) был один генератор, равный единице).

Предыдущее обсуждение симметрий происходит на языке лагранжиана. Другими словами, это «классические» симметрии. После квантования некоторые теории больше не будут демонстрировать свою классическую симметрию — явление, называемое аномалией^[en]. Например, в формулировке интеграла по траекториям, несмотря на инвариантность плотности лагранжиана $\mathcal{L}[\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->},{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}]$${\mathcal {L}}[\phi ,\partial _{\mu }\phi ]$  при некотором локальном преобразовании полей мера $\int <!--\; \int \; -->\mathcal{D}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\int {\mathcal {D}}\phi$  интеграла по траекториям может измениться. Для теории, описывающей природу, чтобы быть последовательным, она не должна содержать каких либо аномалий в калибровочной симметрии. Стандартная модель элементарных частиц — это калибровочная теория, основанная на группе SU(3) × SU(2) × U(1), в которой все аномалии точно сокращаются.

Теоретический фундамент общей теории относительности, принцип эквивалентности, также можно понимать как форму калибровочной симметрии, преобразуя общую теорию относительности в калибровочную теорию, основанную на группе Лоренца.

Теорема Нётер утверждает, что каждая непрерывная симметрия, то есть параметр в преобразовании симметрии, являющийся непрерывным, а не дискретным, приводит к соответствующему закону сохранения}. Например, U(1) симметрии КЭД означает сохранение заряда.

Калибровочные преобразования не связывают отдельные квантовые состояния. Скорее, они связывают два эквивалентных математических описания одного и того же квантового состояния. Например, поле фотона A^μ, будучи четырёхвекторным, имеет четыре кажущихся степени свободы, но фактическое состояние фотона описывается его двумя степенями свободы, соответствующими поляризации^[en]. Остальные две степени свободы называются «избыточными», а разные способы записи A^μ можно связать друг с другом калибровочным преобразованием и, фактически, они описывают одно и то же состояние фотонного поля. В этом смысле калибровочная инвариантность — это не «настоящая» симметрия, а отражение «избыточности» выбранного математического описания.

Чтобы учесть избыточность калибровки в формулировке интеграла по траекториям, необходимо выполнить так называемую процедуру фиксации калибровки Фаддеева — Попова. В неабелевых калибровочных теориях такая процедура приводит к возникновению новых полей, называемых «духами». Частицы, соответствующие полям духов, называются частицами-духами, которые не могут быть обнаружены извне. Более строгое обобщение процедуры Фаддеева — Попова задаётся процедурой БРСТ квантования.

Спонтанное нарушение симметрииПравить

Основная статья: Спонтанное нарушение симметрии

Спонтанное нарушение симметрии — это механизм, при котором симметрия лагранжиана описываемой им системы нарушается.

Чтобы проиллюстрировать механизм, рассмотрим линейную сигма-модель^[en], содержащую N вещественных скалярных полей (за номер поля отвечает индекс i), описываемых плотностью лагранжиана вида:

$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\left({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^i\right)\left({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^i\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^2{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^i{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^i-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{4}{\left({\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^i{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^i\right)}^2,$${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi ^{i}\right)\left(\partial ^{\mu }\phi ^{i}\right)+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{i}\phi ^{i}-{\frac {\lambda }{4}}\left(\phi ^{i}\phi ^{i}\right)^{2}\,,$ 

где μ и λ — действительные параметры. Теория допускает глобальную симметрию O(N):

${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^i\to <!--\; \to \; -->R^{ij}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^j,R\in <!--\; \in \; -->\mathrm{O}(N).$$\phi ^{i}\to R^{ij}\phi ^{j},\quad R\in \mathrm {O} (N)\,.$ 

Состояние с наименьшей энергией (основное состояние или вакуумное состояние) классической теории представляется любым однородным полем ϕ₀, которое удовлетворяет условию

${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_0^i{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_0^i=\frac{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^2}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}.$$\phi _{0}^{i}\phi _{0}^{i}={\frac {\mu ^{2}}{\lambda }}.$ 

Без ограничения общности, пусть основное состояние находится в N-м направлении:

${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_0^i=\left(0,\cdots <!--\; \cdots \; -->,0,\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\sqrt{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}\right).$$\phi _{0}^{i}=\left(0,\cdots ,0,{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\right).$ 

Исходные N полей можно переписать в виде:

${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^i(x)=\left({\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^1(x),\cdots <!--\; \cdots \; -->,{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{N-<!--\; -\; -->1}(x),\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\sqrt{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}+\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(x)\right)$$\phi ^{i}(x)=\left(\pi ^{1}(x),\cdots ,\pi ^{N-1}(x),{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}+\sigma (x)\right)\,$ 

и исходная плотность лагранжиана записывается как

$\mathcal{L}=\frac{1}{2}({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^k)({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^k)+\frac{1}{2}({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}(2{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^2){\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2-<!--\; -\; -->\sqrt{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^3-<!--\; -\; -->\sqrt{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^k{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^k\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^k{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^k{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{4}({\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^k{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^k{)}^2,$${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\pi ^{k})(\partial ^{\mu }\pi ^{k})+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\sigma )(\partial ^{\mu }\sigma )-{\frac {1}{2}}(2\mu ^{2})\sigma ^{2}-{\sqrt {\lambda }}\mu \sigma ^{3}-{\sqrt {\lambda }}\mu \pi ^{k}\pi ^{k}\sigma -{\frac {\lambda }{2}}\pi ^{k}\pi ^{k}\sigma ^{2}-{\frac {\lambda }{4}}(\pi ^{k}\pi ^{k})^{2},$ 

где k = 1,...,N-1 k = 1,...,N-1 k = 1,...,N-1. Исходная O(N) больше не появляется, а остаётся только подгруппа O(N-1). Большая симметрия до спонтанного нарушения симметрии называется «скрытой» или спонтанно нарушенной.

Теорема Голдстоуна утверждает, что при спонтанном нарушении симметрии каждая нарушенная непрерывная глобальная симметрия приводит к появлению безмассового полюя, называемому бозоном Голдстоуна. В приведённом выше примере O(N) имеет N(N-1)/2 непрерывных симметрий (равной размерности его алгебры Ли), а O(N-1) имеет (N-1)(N-2)/2. Число нарушенных симметрий — это разность этих величин N-1, что также соответствует N-1 безмассовым полям π^k.

С другой стороны, когда калибровочная (в отличие от глобальной) симметрия спонтанно нарушается, образующийся бозон Голдстоуна «съедается» соответствующим калибровочным бозоном, становясь дополнительной степенью свободы для калибровочного бозона. Теорема об эквивалентности бозонов Голдстоуна гласит, что при высокой энергии амплитуда излучения или поглощения продольно поляризованного массивного калибровочного бозона становится равной амплитуде излучения или поглощения бозона Голдстоуна, который был съеден калибровочным бозоном.

В КТП ферромагнетизма спонтанное нарушение симметрии может объяснить выравнивание магнитных диполей при низких температурах. В Стандартной модели элементарных частиц, W и Z бозоны, которые иначе были бы безмассовыми в результате калибровочной симметрии, приобретают массы через спонтанное нарушение симметрии благодаря бозону Хиггса. Этот процесс называется механизмом Хиггса.

Импульсное представлениеПравить

Для решения уравнений движения можно перейти к так называемому импульсному представлению с помощью преобразования Фурье:

$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)=\frac{1}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^2}\int <!--\; \int \; -->d^{4}pf(p)e^{ipx},$$\psi (x)={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int d^{4}pf(p)e^{ipx}\,,$ 

с учётом свойств Фурье-образа $f(p)$$f(p)$ , в частности Фурье-образ производных ${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)$$\partial _{{\mu }}\psi (x)$  равен $i{p}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}f(p)$$ip_{{\mu }}f(p)$ .

Нахождение решения уравнений движения можно показать на примере уравнения Клейна — Гордона.

Решение уравнения и импульсное представление поля Клейна — Гордона

Переходя к импульсному представлению, уравнение Клейна — Гордона для Фурье-образа полевой функции будет иметь вид:

$(p^2-<!--\; -\; -->m^2)f(p)=0.$$(p^{2}-m^{2})f(p)=0\,.$ 

Следовательно, $f(p)=\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(p^2-<!--\; -\; -->m^2)\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{f}(p)$$f(p)={\sqrt {2\pi }}\delta (p^{2}-m^{2}){\tilde {f}}(p)$  (множитель $\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$${\sqrt {2\pi }}$  — для удобства), где $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{f}(p)$${\tilde {f}}(p)$  — произвольная функция $p$$p$ , определённая на массовой поверхности $p^2-<!--\; -\; -->m^2=0$$p^{2}-m^{2}=0$  или, выделяя временную компоненту $p_0=\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{{\mathbf{p}}^2+m^2}$$p_{0}=\pm {\sqrt {{\mathbf {p}}^{2}+m^{2}}}$  (жирным выделена пространственная часть 4-вектора импульса, то есть обычный импульс). Тогда импульсное представление имеет вид:

$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)=\frac{1}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^{3/2}}\int <!--\; \int \; -->d^{4}p\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(p^2-<!--\; -\; -->m^2)e^{ipx}\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{f}(p).$$\phi (x)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int d^{4}p\delta (p^{2}-m^{2})e^{ipx}{\tilde {f}}(p)\,.$ 

Наличие дельта-функции под знаком интеграла означает, что по существу интегрирование осуществляется не по всему 4-мерному импульсному пространству, а лишь по двум полам трёхмерного гиперболоида, определяемого уравнением массовой поверхности. Два знака перед квадратным корнем определяют два независимых решения, с помощью которых полевая функция разделяется на две компоненты (каждая в отдельности релятивистки инвариантна)

$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)={\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{+}(x)+{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->}(x).$$\phi (x)=\phi ^{+}(x)+\phi ^{-}(x)\,.$ 

Тогда импульсное представление двух независимых решений имеет вид

${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{\pm <!--\; \pm \; -->}(x)=\frac{1}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^{3/2}}\int <!--\; \int \; -->d^{4}p\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(p^2-<!--\; -\; -->m^2){\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{f}}^{\pm <!--\; \pm \; -->}(p)e^{\pm <!--\; \pm \; -->ipx}.$$\phi ^{\pm }(x)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int d^{4}p\delta (p^{2}-m^{2}){\tilde {f}}^{\pm }(p)e^{\pm ipx}\,.$ 

Интегрируя по временной компоненте $p_0$$p_{0}$ , получим

${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{\pm <!--\; \pm \; -->}(x)=\frac{1}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^{3/2}}\int <!--\; \int \; -->\frac{d^3\mathbf{p}}{\sqrt{2p_0}}{e}^{\pm <!--\; \pm \; -->ipx}{a}^{\pm <!--\; \pm \; -->}(\mathbf{p}),$$\phi ^{\pm }(x)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{\sqrt {2p_{0}}}}e^{\pm ipx}a^{\pm }(\mathbf {p} )\,,$ , где $a^{\pm <!--\; \pm \; -->}={\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{f}}^{\pm <!--\; \pm \; -->}/\sqrt{2p_0}.$$a^{\pm }={\tilde {f}}^{\pm }/{\sqrt {2p_{0}}}\,.$ 

Используя импульсное представление полевых функций, можно получить и остальные характеристики поля в импульсном представлении. Покажем это на примере 4-импульса для того же вещественного скалярного поля Клейна — Гордона.

Вывод импульсного представления для 4-импульса поля Клейна — Гордона

Для получения импульсного представления характеристик поля нужно выразить эти характеристики поля через функции ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{\pm <!--\; \pm \; -->}(x),$$\phi ^{\pm }(x)\,,$  а затем использовать импульсные предаставления последних функций. Например, гамильтониан поля равен

$H=\int <!--\; \int \; -->d^3\mathbf{x}\mathcal{H}=1/2\int <!--\; \int \; -->d^3\mathbf{x}[({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x){)}^2+m^2{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^2(x)].$$H=\int d^{3}\mathbf {x} {\mathcal {H}}=1/2\int d^{3}\mathbf {x} [(\partial _{\nu }\phi (x))^{2}+m^{2}\phi ^{2}(x)]\,.$ 

Если подставить сюда разложение полевой функции на два слагаемых, то получим в квадратных скобках различные попарные произведения положительно и отрицательно частотных полевых функций и их производных. Однако можно показать, что произведения с одинаковым знаком на самом деле дают нулевой вклад. Для этого нужно использовать импульсное представление и тот факт, что произведение двух интегралов есть двойной интеграл по всевозможным комбинациям аргументов:

$\int <!--\; \int \; -->d^3\mathbf{x}[({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{\pm <!--\; \pm \; -->}(x){)}^2+m^2({\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{\pm <!--\; \pm \; -->}(x){)}^2]=\frac{1}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^3}\iint <!--\; \iint \; -->\frac{d^3\mathbf{p}{d}^3{\mathbf{p}}^{\prime }}{2\sqrt{p_0{p}_0^{\prime }}}{a}^{\pm <!--\; \pm \; -->}(\mathbf{p})a^{\pm <!--\; \pm \; -->}({\mathbf{p}}^{\prime })e^{\pm <!--\; \pm \; -->i(p_0+p_0^{\prime })x_0}(m^2-<!--\; -\; -->p_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{p}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{\prime })\int <!--\; \int \; -->d^3\mathbf{x}{e}^{\mp <!--\; \mp \; -->i(\mathbf{p}+{\mathbf{p}}^{\prime })}.$$\int d^{3}\mathbf {x} [(\partial _{\nu }\phi ^{\pm }(x))^{2}+m^{2}(\phi ^{\pm }(x))^{2}]={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\iint {\frac {d^{3}\mathbf {p} d^{3}\mathbf {p'} }{2{\sqrt {p_{0}p'_{0}}}}}a^{\pm }(\mathbf {p} )a^{\pm }(\mathbf {p'} )e^{\pm i(p_{0}+p'_{0})x_{0}}(m^{2}-p_{\nu }p'_{\nu })\int d^{3}\mathbf {x} e^{\mp i(\mathbf {p} +\mathbf {p'} )}\,.$ 

Последний интеграл в этом выражении равен, как известно, дельта-функции $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(\mathbf{p}+{\mathbf{p}}^{\prime })$$\delta ({\mathbf {p}}+{\mathbf {p'}})$ , следовательно, все выражение может быть не равно нулю, только если эта дельта-функция не равна нулю, что возможно только при условии ${\mathbf{p}}^{\prime }=-<!--\; -\; -->\mathbf{p}$${\mathbf {p'}}=-{\mathbf {p}}$  (откуда следует также $p_0=p_0^{\prime }$$p_{0}=p'_{0}$ ). Но в таком случае выражение в скобках $m^2-<!--\; -\; -->p_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{p}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{\prime }=m^2-<!--\; -\; -->(p_0^2+{\mathbf{p}}_n{{\mathbf{p}}^{\prime }}_n)=m^2-<!--\; -\; -->p_0^2+{\mathbf{p}}^2$$m^{2}-p_{{\nu }}p'_{{\nu }}=m^{2}-(p_{0}^{2}+{\mathbf {p}}_{n}{\mathbf {p'}}_{n})=m^{2}-p_{0}^{2}+{\mathbf {p}}^{2}$ , что равно нулю. Следовательно, все первоначальное выражение также равно нулю. Таким образом исходный интеграл для гамильтониана должен выражаться только через произведения разнознаковых функций. Применяя аналогичный подход, мы получим, что

$\int <!--\; \int \; -->d^3\mathbf{x}[{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{+}(x){\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->}(x)+m^2{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{+}(x){\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->}(x)]=\frac{1}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^3}\iint <!--\; \iint \; -->\frac{d^3\mathbf{p}{d}^3{\mathbf{p}}^{\prime }}{2\sqrt{p_0{p}_0^{\prime }}}{a}^{+}(\mathbf{p})a^{-<!--\; -\; -->}({\mathbf{p}}^{\prime })e^{i(p_0-<!--\; -\; -->p_0^{\prime })x_0}(m^2+p_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{p}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{\prime })\int <!--\; \int \; -->d^3\mathbf{x}{e}^{-<!--\; -\; -->i(\mathbf{p}-<!--\; -\; -->{\mathbf{p}}^{\prime })}.$$\int d^{3}\mathbf {x} [\partial _{\nu }\phi ^{+}(x)\partial _{\nu }\phi ^{-}(x)+m^{2}\phi ^{+}(x)\phi ^{-}(x)]={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\iint {\frac {d^{3}\mathbf {p} d^{3}\mathbf {p'} }{2{\sqrt {p_{0}p'_{0}}}}}a^{+}(\mathbf {p} )a^{-}(\mathbf {p'} )e^{i(p_{0}-p'_{0})x_{0}}(m^{2}+p_{\nu }p'_{\nu })\int d^{3}\mathbf {x} e^{-i(\mathbf {p} -\mathbf {p'} )}\,.$ 

В таком случае последний интеграл даёт дельта-функцию $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(\mathbf{p}-<!--\; -\; -->{\mathbf{p}}^{\prime })$$\delta ({\mathbf {p}}-{\mathbf {p'}})$ , следовательно, должно быть равенство $\mathbf{p}={\mathbf{p}}^{\prime }$${\mathbf {p}}={\mathbf {p'}}$ , чтобы обеспечить ненулевой вклад в интеграл. Тогда $m^2+p_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{p}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{\prime }=m^2+p_0^2+{\mathbf{p}}^2=2p_0^2$$m^{2}+p_{{\nu }}p'_{{\nu }}=m^{2}+p_{0}^{2}+{\mathbf {p}}^{2}=2p_{0}^{2}$ . Отсюда окончательно получаем

$\int <!--\; \int \; -->d^3\mathbf{x}[{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{+}(x){\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->}(x)+m^2{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{+}(x){\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->}(x)]=\frac{1}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^3}\int <!--\; \int \; -->d^3\mathbf{p}{p}_0{a}^{+}(\mathbf{p})a^{-<!--\; -\; -->}(\mathbf{p}).$$\int d^{3}\mathbf {x} [\partial _{\nu }\phi ^{+}(x)\partial _{\nu }\phi ^{-}(x)+m^{2}\phi ^{+}(x)\phi ^{-}(x)]={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int d^{3}\mathbf {p} p_{0}a^{+}(\mathbf {p} )a^{-}(\mathbf {p} )\,.$ 

Аналогично гамильтониану можно получить аналогичное выражение и для других компонент 4-вектора импульса. В итоге получаем общее выражение для 4-импульса:

$P^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=\frac{1}{2}\int <!--\; \int \; -->d^3\mathbf{p}{p}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(a^{+}(\mathbf{p})a^{-<!--\; -\; -->}(\mathbf{p})+a^{-<!--\; -\; -->}(\mathbf{p})a^{+}(\mathbf{p}))=\int <!--\; \int \; -->d^3\mathbf{p}{p}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{a}^{+}(\mathbf{p})a(\mathbf{p}).$$P^{\mu }={\frac {1}{2}}\int d^{3}\mathbf {p} p^{\mu }(a^{+}(\mathbf {p} )a^{-}(\mathbf {p} )+a^{-}(\mathbf {p} )a^{+}(\mathbf {p} ))=\int d^{3}\mathbf {p} p^{\mu }a^{+}(\mathbf {p} )a(\mathbf {p} )\,.$ 

Первое выражение оказывается нужным при квантовании — когда порядок перемножения играет роль в силу некоммутативности операторов в общем случае.

Характеристика	Скалярное поле	Векторное поле	Спинорное поле
Импульсное представление полевой функции: $f(\mathbf{p})$$f({\mathbf {p}})$  в выражении $\frac{1}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^{3/2}}\int <!--\; \int \; -->\frac{d^3\mathbf{p}}{\sqrt{2p_0}}f(\mathbf{p}).$${\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{\sqrt {2p_{0}}}}f(\mathbf {p} )\,.$  $a$$a$  отвечает за частицу, $b$$b$  — за античастицу.	$e^{-<!--\; -\; -->ipx}a(\mathbf{p})+e^{ipx}{b}^{+}(\mathbf{p}),$$e^{-ipx}a(\mathbf {p} )+e^{ipx}b^{+}(\mathbf {p} )\,,$  для вещественного поля $b=a.$$b=a\,.$	$\underset{n=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{e}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^n(\mathbf{p})(e^{-<!--\; -\; -->ipx}{a}_n(\mathbf{p})+e^{ipx}{b}_n^{+}(\mathbf{p}))$$\sum _{{n=1}}^{3}e_{{\mu }}^{n}({\mathbf {p}})(e^{{-ipx}}a_{n}({\mathbf {p}})+e^{{ipx}}b_{n}^{+}({\mathbf {p}}))$	$\begin{array}{r}\underset{r=1}{\overset{2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(e^{-<!--\; -\; -->ipx}{a}_r(\mathbf{p})u_r(\mathbf{p})+\\ e^{ipx}{b}_r^{+}(\mathbf{p})v_r(\mathbf{p}))\end{array}$${\begin{aligned}\sum _{r=1}^{2}(e^{-ipx}a_{r}(\mathbf {p} )u_{r}(\mathbf {p} )+\\e^{ipx}b_{r}^{+}(\mathbf {p} )v_{r}(\mathbf {p} ))\end{aligned}}$
Плотность $n(\mathbf{p})$$n({\mathbf {p}})$  частиц с импульсом $\mathbf{p}.$$\mathbf {p} \,.$  Общее число частиц $N=\int <!--\; \int \; -->d^3\mathbf{p}n(\mathbf{p}).$$N=\int d^{3}\mathbf {p} n(\mathbf {p} )\,.$  4-импульс поля $P^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=\int <!--\; \int \; -->d^3\mathbf{p}{p}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}n(\mathbf{p})$$P^{{\nu }}=\int d^{3}{\mathbf {p}}p^{{\nu }}n({\mathbf {p}})$	$(a^{+}(\mathbf{p})a(\mathbf{p})+b^{+}(\mathbf{p})b(\mathbf{p}))$$(a^{+}({\mathbf {p}})a({\mathbf {p}})+b^{+}({\mathbf {p}})b({\mathbf {p}}))$	$\underset{n=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(a_n^{+}(\mathbf{p})a_n(\mathbf{p})+b_n^{+}(\mathbf{p})b_n(\mathbf{p}))$$\sum _{{n=1}}^{3}(a_{n}^{+}({\mathbf {p}})a_{n}({\mathbf {p}})+b_{n}^{+}({\mathbf {p}})b_{n}({\mathbf {p}}))$	$\begin{array}{r}\underset{r=1}{\overset{2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(a_r^{+}(\mathbf{p})a_r(\mathbf{p})-<!--\; -\; -->\\ b_r^{+}(\mathbf{p})b_r(\mathbf{p}))\end{array}$${\begin{aligned}\sum _{r=1}^{2}(a_{r}^{+}(\mathbf {p} )a_{r}(\mathbf {p} )-\\b_{r}^{+}(\mathbf {p} )b_{r}(\mathbf {p} ))\end{aligned}}$
Заряд $(Q)$$(Q)$	$(a^{+}(\mathbf{p})a(\mathbf{p})-<!--\; -\; -->b^{+}(\mathbf{p})b(\mathbf{p})),$$(a^{+}(\mathbf {p} )a(\mathbf {p} )-b^{+}(\mathbf {p} )b(\mathbf {p} ))\,,$  для вещественного поля равен нулю	$\underset{n=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(a_n^{+}(\mathbf{p})a_n(\mathbf{p})-<!--\; -\; -->b_n^{+}(\mathbf{p})b_n(\mathbf{p}))$$\sum _{n=1}^{3}(a_{n}^{+}(\mathbf {p} )a_{n}(\mathbf {p} )-b_{n}^{+}(\mathbf {p} )b_{n}(\mathbf {p} ))$	$\begin{array}{r}\underset{r=1}{\overset{2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(a_r^{+}(\mathbf{p})a_r(\mathbf{p})-<!--\; -\; -->\\ b_r^{+}(\mathbf{p})b_r(\mathbf{p}))\end{array}$${\begin{aligned}\sum _{r=1}^{2}(a_{r}^{+}(\mathbf {p} )a_{r}(\mathbf {p} )-\\b_{r}^{+}(\mathbf {p} )b_{r}(\mathbf {p} ))\end{aligned}}$
Проекция спина на направление импульса	0	$b_1^{+}{a}_1-<!--\; -\; -->b_1{a}_1^{+}+b_2{a}_2^{+}-<!--\; -\; -->b_2^{+}{a}_2,$$b_{1}^{+}a_{1}-b_{1}a_{1}^{+}+b_{2}a_{2}^{+}-b_{2}^{+}a_{2}\,,$  индексы 1 и 2 отвечают частицам с проекциями спина $\pm <!--\; \pm \; -->1,$$\pm 1\,,$  а третий индекс — частицам с нулевой проекцией спина

Квантование полейПравить

Основная статья: Вторичное квантование

Квантование означает переход от полей (полевых функций) к соответствующим операторам (операторнозначным функциям), действующим на вектор (амплитуду) состояния Φ. По аналогии с обычной квантовой механикой вектор состояния полностью характеризует физическое состояние системы квантованных волновых полей. Вектор состояния — это вектор в некотором линейном пространстве, которое называется пространством Фока.

Основной постулат квантования волновых полей заключается в том, что операторы динамических переменных выражаются через операторы полей таким же образом, как и классическое выражение этих величин через полевые функции (с учётом порядка перемножения, поскольку умножение операторов в общем случае некоммутативно, в отличие от произведения обычных функций). Скобка Пуассона (см. гамильтонов формализм) заменяется на коммутатор соответствующих операторов. В частности, классический гамильтонов формализм трансформируется в квантовый следующим образом:

$[\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(\mathbf{x},t),\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}({\mathbf{x}}^{\prime },t)]=[\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(\mathbf{x},t),\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}({\mathbf{x}}^{\prime },t)]=0$$[\psi ({\mathbf {x}},t),\psi ({\mathbf {x'}},t)]=[\pi ({\mathbf {x}},t),\pi ({\mathbf {x'}},t)]=0$ , $[\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(\mathbf{x},t),\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}({\mathbf{x}}^{\prime },t)]=-<!--\; -\; -->i{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^{(3)}(\mathbf{x}\mathbf{-<!--\; -\; -->}{\mathbf{x}}^{\prime }).$$[\pi (\mathbf {x} ,t),\psi (\mathbf {x'} ,t)]=-i\delta ^{(3)}(\mathbf {x-x'} ).$ 

Это так называемые коммутационные соотношения Бозе — Эйнштейна, основанные на обычном коммутаторе — разность «прямого» и «обратного» произведения операторов

$[A,B]=AB-<!--\; -\; -->BA.$$[A,B]=AB-BA.$ 

Коммутационные соотношения Ферми — Дирака основаны на антикоммутаторе — сумма «прямого» и «обратного» произведения операторов:

$[A,B{]}_{+}=AB+BA.$$[A,B]_{+}=AB+BA.$ 

Кванты первых полей подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна и называются бозонами, а кванты вторых подчиняются статистике Ферми — Дирака и называются фермионами. Квантование полей по Бозе — Эйнштейну оказывается непротиворечивым для частиц с целым спином, а для частиц с полуцелым спином непротиворечивым оказывается квантование по Ферми — Дираку. Таким образом, фермионы являются частицами с полуцелым спином, а бозоны — с целым.

Из коммутационных соотношений для полевой функции (обобщённой координаты) и соответствующего обобщённого импульса можно получить коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения квантов

$[a_{\mathbf{p}},a_{{\mathbf{p}}^{\prime }}^{+}]=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(\mathbf{p}-<!--\; -\; -->{\mathbf{p}}^{\prime }),[a_{\mathbf{p}},a_{{\mathbf{p}}^{\prime }}]=[a_{\mathbf{p}}^{+},a_{{\mathbf{p}}^{\prime }}^{+}]=0.$$[a_{\mathbf {p} },a_{\mathbf {p'} }^{+}]=\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} ),[a_{\mathbf {p} },a_{\mathbf {p'} }]=[a_{\mathbf {p} }^{+},a_{\mathbf {p'} }^{+}]=0\,.$ 

Поле как набор гармонических осцилляторовПравить

Основная статья: Квантовый гармонический осциллятор

Поле можно представить в виде бесконечного множества полевых гармонических осцилляторов. Это можно показать на примере поля Клейна — Гордона. Трёхмерный (по трём пространственным координатам) Фурье-образ полевой функции удовлетворяет следующему уравнению (Фурье-образ уравнения Клейна — Гордона)

${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t^2\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\mathbf{p},t)+({\mathbf{p}}^2+m^2)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\mathbf{p},t)=0,$$\partial _{t}^{2}\phi (\mathbf {p} ,t)+(\mathbf {p} ^{2}+m^{2})\phi (\mathbf {p} ,t)=0,$ 

что является дифференциальным уравнением для гармонического осциллятора с частотой $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\sqrt{{\mathbf{p}}^2+m^2}$$\omega ={\sqrt {{\mathbf {p}}^{2}+m^{2}}}$  каждой фиксированной моды $\mathbf{p}$${\mathbf {p}}$  Фурье-разложения. Для каждого такого квантового гармонического осциллятора, как известно из квантовой механики, стационарные состояния ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n$$\phi _{n}$  можно связать между собой повышающим и понижающим операторами следующим образом

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}^{+}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n=\sqrt{n+1}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{n+1}$${{\hat {a}}}^{+}{\phi }_{n}={{\sqrt {n+1}}}{\phi }_{{n+1}}$ , $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n=\sqrt{n}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{n-<!--\; -\; -->1},$${\hat {a}}{\phi }_{n}={\sqrt {n}}{\phi }_{n-1},$ 

а гамильтониан равен $H=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{n}+1/2)$$H={\hbar\omega}{(\hat{n}+1/2)}$ , где $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{n}=a^{+}a$${\hat {n}}={a}^{+}a$ . Соответственно энергия осциллятора квантуется $E_n=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(n+1/2)$$E_n={\hbar} {\omega}(n+1/2)$ , где $n$$n$ - квантовое число-собственные значения оператора $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{n}=a^{+}a$${\hat {n}}={a}^{+}a$ .

Таким образом, применение повышающего или понижающего оператора изменяет квантовое число $n$$n$  на единицу и приводит к одинаковому изменению энергии осциллятора (эквидистантность спектра), что можно интерпретировать как рождение нового или уничтожение кванта поля с энергией $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$${\hbar} {\omega}$ . Именно такая интерпретация позволяет использовать вышеприведённые операторы, как операторы рождения и уничтожения. Любое состояние с индексом $n$$n$  может быть представлено как действие $n$$n$  операторов рождения на «нулевое» состояние:

${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n=\frac{({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}^{+}{)}^n}{\sqrt{n!}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_0.$${\phi }_{n}={\frac {({\hat {a}}^{+})^{n}}{\sqrt {n!}}}\phi _{0}.$ 

В случае $N$$N$  осцилляторов гамильтониан системы равен сумме гамильтонианов отдельных осцилляторов. Для каждого такого осциллятора можно определить свои операторы рождения ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_k^{+},k=1,...,N$$\hat{a}^+_k, k=1,...,N$ . Следовательно, произвольное квантовое состояние такой системы может быть описано с помощью чисел заполнения $n_k$$n_{k}$  — количества операторов данного сорта k, действующих на вакуум:

$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(n_1,...,n_N)=\underset{(k)}{\prod <!--\; \prod \; -->}\frac{({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a_k}}^{+}{)}^{n_k}}{\sqrt{n_k!}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_0.$$\phi (n_{1},...,n_{N})=\prod _{(k)}{\frac {({\hat {a_{k}}}^{+})^{n_{k}}}{\sqrt {n_{k}!}}}\phi _{0}.$ 

Такое представление называют представлением чисел заполнения. Суть данного представления заключается в том, чтобы вместо задания вектора состояния как функции от координат (координатное представление) или как функцию от импульсов (импульсное представление), состояние системы характеризуется номером возбуждённого состояния — числом заполнения.

Фоковские пространство и представлениеПравить

Основная статья: Пространство Фока

В квантовой теории поля гамильтониан, первоначально выраженный как функция $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$  и $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ , в конечном итоге также выражается через соответствующие операторы рождения и уничтожения квантов полей. Главный принцип сохраняется — любые операторы (в том числе и гамильтониан) выражаются через эти операторы рождения и уничтожения также как соответствующие функции до квантования. Единственное различие — порядок записи операторов имеет значение, так как операторы, в отличие от обычных функций, в общем случае некоммутативны.

Все операторы рождения и уничтожения и их комбинации, операторы самих полей и их производных — все они действуют в бесконечномерном пространстве Фока. В пространстве Фока в первую очередь определяется вакуум (вакуумное состояние) ${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_0$$\Phi _{0}$  или $|0⟩<!--\; ⟩\; -->$$|0\rangle$ , по аналогии с нулевым состоянием квантового осциллятора. Вакуум определяется как

$a(\mathbf{p})|0⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->0|a^{+}(\mathbf{p})=0,⟨<!--\; ⟨\; -->0|0⟩<!--\; ⟩\; -->=1.$$a(\mathbf {p} )|0\rangle =\langle 0|a^{+}(\mathbf {p} )=0,\langle 0|0\rangle =1\,.$ 

Произвольные состояния задаются как возбуждения вакуума следующего вида:

$|f⟩<!--\; ⟩\; -->=\int <!--\; \int \; -->d^3{\mathbf{p}}_{\mathbf{1}}{d}^3{\mathbf{p}}_{\mathbf{2}}...d^3{\mathbf{p}}_{\mathbf{k}}f({\mathbf{p}}_{\mathbf{1}},{\mathbf{p}}_{\mathbf{2}},...,{\mathbf{p}}_{\mathbf{k}})a^{+}({\mathbf{p}}_{\mathbf{1}})a^{+}({\mathbf{p}}_{\mathbf{2}})...a^{+}({\mathbf{p}}_{\mathbf{k}})|0⟩<!--\; ⟩\; -->.$$|f\rangle =\int d^{3}\mathbf {p_{1}} d^{3}\mathbf {p_{2}} ...d^{3}\mathbf {p_{k}} f(\mathbf {p_{1}} ,\mathbf {p_{2}} ,...,\mathbf {p_{k}} )a^{+}(\mathbf {p_{1}} )a^{+}(\mathbf {p_{2}} )...a^{+}(\mathbf {p_{k}} )|0\rangle .$ 

Это и есть фоковское представление для k-частичного состояния. Функции f являются обычными квантово-механическими волновыми функциями. Обычно они предполагаются квадратично-интегрируемыми, чтобы нормы векторов состояний были конечными величинами. Однако состояния с бесконечной нормой тоже имеют смысл. Например, состояние $a^{+}(\mathbf{p})|0⟩<!--\; ⟩\; -->$$a^{+}(\mathbf {p} )|0\rangle$  имеет бесконечную норму $(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(0))$$(\delta (0))$ , однако это состояние соответствует одночастичному состоянию с определённым импульсом и если рассматривать пространственную плотность таких частиц, то она оказывается конечной.

Нормальное и хронологическое произведение. Теорема ВикаПравить

Основная статья: Теорема Вика (в квантовой электродинамике)

Из определения вакуума следует, что вакуумное среднее произведения любого количества операторов рождения и уничтожения, в котором все операторы рождения находятся левее всех операторов уничтожения, равно нулю. Соответствующий порядок написания операторов рождения и уничтожения называется нормальной формой или нормальным упорядочением. Чтобы подчеркнуть, что операторы нормально упорядочены соответствующие произведения заключаются в скобки из двоеточий, например, $:<!--\; :\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y):<!--\; :\; -->$$\colon \phi (x)\phi (y)\colon$  или можно указать под знаком некоторого условного оператора $\mathcal{N}\{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)\}$${\mathcal {N}}\{\phi (x)\phi (y)\}$ .

Нормальная форма связана с обычной через коммутатор операторов, а именно «обычная» форма равна нормальной форме плюс (анти)коммутатор соответствующих операторов («неправильно» упорядоченных). Например,

$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)={\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{+}(x){\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{+}(y)+{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{+}(x){\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->}(y)+{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->}(x){\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{+}(y)+{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->}(x){\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->}(y).$$\phi (x)\phi (y)=\phi ^{+}(x)\phi ^{+}(y)+\phi ^{+}(x)\phi ^{-}(y)+\phi ^{-}(x)\phi ^{+}(y)+\phi ^{-}(x)\phi ^{-}(y).$ 

В этой записи лишь одно слагаемое записано не в нормальной форме, соответственно можно записать

$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)=({\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{+}(x){\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{+}(y)+{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{+}(x){\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->}(y)+{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{+}(y){\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->}(x)+{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->}(x){\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->}(y))+({\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->}(x){\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{+}(y)-<!--\; -\; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{+}(y){\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->}(x))=\mathcal{N}\{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)\}+[{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->}(x),{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{+}(y)].$$\phi (x)\phi (y)=(\phi ^{+}(x)\phi ^{+}(y)+\phi ^{+}(x)\phi ^{-}(y)+\phi ^{+}(y)\phi ^{-}(x)+\phi ^{-}(x)\phi ^{-}(y))+(\phi ^{-}(x)\phi ^{+}(y)-\phi ^{+}(y)\phi ^{-}(x))={\mathcal {N}}\{\phi (x)\phi (y)\}+[\phi ^{-}(x),\phi ^{+}(y)].$ 

Тем самым, вакуумное среднее от исходного произведения операторов по существу будет определяться только последним коммутатором.

Хронологическое произведение определяется как упорядоченное по временной переменной (нулевой компоненте 4-координат) произведение:

$T{f}_1(x_1)f_2(x_2)...f_n(x_n)=(-<!--\; -\; -->1{)}^{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}{f}_{i_1}(x_{i_1})f_{i_2}(x_{i_2})...f_{i_n}(x_{i_n})$$Tf_{1}(x_{1})f_{2}(x_{2})...f_{n}(x_{n})=(-1)^{{\sigma }}f_{{i_{1}}}(x_{{i_{1}}})f_{{i_{2}}}(x_{{i_{2}}})...f_{{i_{n}}}(x_{{i_{n}}})$ , где $x_{i_1}^0>x_{i_1}^0>...>x_{i_n}^0,$$x_{i_{1}}^{0}>x_{i_{1}}^{0}>...>x_{i_{n}}^{0},$ 

где $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$${\sigma }$  — число перестановок фермионных полей между собой в ходе T-упорядочения (перестановка бозонных полей не влияет на знак).

Рассмотрим простейший случай произведения пары полевых функций в разных пространственно-временных точках $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)$$\phi (x)\phi (y)$ . Как было указано выше, данное произведение операторов можно выразить через нормальную форму плюс коммутатор. Под знаком хронологического упорядочения здесь нужно сделать модификацию — вместо коммутатора нужно использовать так называемую свёртку $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)}$$\overline {\phi (x)\phi (y)}$ , равную коммутатору $[{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->}(x),{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{+}(y)]$$[\phi ^{-}(x),\phi ^{+}(y)]$ , если $x^0>y^0$$x^{0}>y^{0}$  и коммутатору $[{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->}(y),{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{+}(x)]$$[\phi ^{-}(y),\phi ^{+}(x)]$ , если $y^0>x^0$$y^{0}>x^{0}$ . Таким образом, хронологическое произведение двух полевых функций равно их произведению в нормальной форме плюс свёртка:

$\mathcal{T}\{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)\}=\mathcal{N}\{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)\}+\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)}.$${\mathcal {T}}\{\phi (x)\phi (y)\}={\mathcal {N}}\{\phi (x)\phi (y)\}+{\overline {\phi (x)\phi (y)}}.$ 

Теорема Вика обобщает данное представление на случай произвольного количества множителей:

$\mathcal{T}\{f_1{f}_2...f_n)\}=\sum <!--\; \sum \; -->(-<!--\; -\; -->1{)}^{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f_{i_1}{f}_{i_2}}...\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f_{i_{k-<!--\; -\; -->1}}{f}_{i_k}}\mathcal{N}\{f_{i_{k+1}}...f_{i_n}\},$${\mathcal {T}}\{f_{1}f_{2}...f_{n})\}=\sum (-1)^{\sigma }{\overline {f_{i_{1}}f_{i_{2}}}}...{\overline {f_{i_{k-1}}f_{i_{k}}}}{\mathcal {N}}\{f_{i_{k+1}}...f_{i_{n}}\},$ 

где сумма берётся по всем возможным попарным сверткам функций ($k$$k$  — чётные числа от 0 до $n$$n$ ).

Основные коммутационные соотношенияПравить

Основная статья: Коммутатор (алгебра)

Определим явное выражение для вакуумного среднего от произведения полевых операторов скалярного поля Клейна — Гордона с учётом сказанного выше

$⟨<!--\; ⟨\; -->0|\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)|0⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->0|[{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->}(x){\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{+}(y)]|0⟩<!--\; ⟩\; -->=[{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->}(x){\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{+}(y)]=\frac{1}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^3}\iint <!--\; \iint \; -->\frac{d^3\mathbf{p}{d}^3{\mathbf{p}}^{\prime }}{2\sqrt{p_0{p}_0^{\prime }}}{e}^{-<!--\; -\; -->ip(x-<!--\; -\; -->y)}[a(\mathbf{p})a^{+}(\mathbf{p})]=$$\langle 0|\phi (x)\phi (y)|0\rangle =\langle 0|[\phi ^{-}(x)\phi ^{+}(y)]|0\rangle =[\phi ^{-}(x)\phi ^{+}(y)]={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\iint {\frac {d^{3}\mathbf {p} d^{3}\mathbf {p'} }{2{\sqrt {p_{0}p'_{0}}}}}e^{-ip(x-y)}[a(\mathbf {p} )a^{+}(\mathbf {p} )]=$ 

$=\frac{1}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^3}\iint <!--\; \iint \; -->\frac{d^3\mathbf{p}{d}^3{\mathbf{p}}^{\prime }}{2\sqrt{p_0{p}_0^{\prime }}}{e}^{-<!--\; -\; -->ip(x-<!--\; -\; -->y)}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(\mathbf{p}-<!--\; -\; -->{\mathbf{p}}^{\prime })=\frac{1}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^3}\int <!--\; \int \; -->\frac{d^3\mathbf{p}}{2p_0}{e}^{-<!--\; -\; -->ip(x-<!--\; -\; -->y)}.$$={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\iint {\frac {d^{3}\mathbf {p} d^{3}\mathbf {p'} }{2{\sqrt {p_{0}p'_{0}}}}}e^{-ip(x-y)}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{2p_{0}}}e^{-ip(x-y)}.$ 

Обозначим эту функцию как $D^{-<!--\; -\; -->}(x-<!--\; -\; -->y)$$D^{-}(x-y)$ . Это амплитуда распространения частицы из точки $y$$y$  в точку $x$$x$ . Можно показать, что эта функция лоренц-инвариантна. Коммутатор полевых функций выражается через эту функцию следующим образом:

$[\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)]=D^{-<!--\; -\; -->}(x-<!--\; -\; -->y)-<!--\; -\; -->D^{-<!--\; -\; -->}(y-<!--\; -\; -->x)=D(x-<!--\; -\; -->y)=\frac{1}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^3}\int <!--\; \int \; -->\frac{d^3\mathbf{p}}{2p_0}(e^{-<!--\; -\; -->ip(x-<!--\; -\; -->y)}-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->ip(y-<!--\; -\; -->x)}).$$[\phi (x)\phi (y)]=D^{-}(x-y)-D^{-}(y-x)=D(x-y)={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{2p_{0}}}(e^{-ip(x-y)}-e^{-ip(y-x)}).$ 

Для любого пространственноподобного интервала $(x-y)^{2}<0$  можно выбрать систему отчёта так, чтобы $x-<!--\; -\; -->y$$x-y$  сменил знак, а в силу лоренц-инвариантности это значает, что соответствующий коммутатор равен нулю. Это означает, что в точках, разделённых пространственноподобным интервалом, возможны измерения, и они не влияют друг на друга. То есть никакое измерение не может повлиять на другое измерение вне светового конуса. Это означает соблюдение принципа причинности в квантовой теории поля. Для комплексных полей принцип причинности требует наличия пары частица-античастица с одинаковыми массами и противоположными «зарядами».

Коммутаторы полевых операторов с операторами рождения и уничтожения вывести легче. Приведём без вывода эти коммутационные соотношения.

Для скалярного поля $[a^{\pm <!--\; \pm \; -->}(\mathbf{p}),\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)]=\pm <!--\; \pm \; -->\frac{e^{\pm <!--\; \pm \; -->ipx}}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^{3/2}\sqrt{2p_0}}$$[a^{{\pm }}({\mathbf {p}}),\phi (x)]=\pm {\frac {e^{{\pm ipx}}}{(2\pi )^{{3/2}}{\sqrt {2p_{0}}}}}$ 

Для спинорного поля $[a_r(\mathbf{p}),\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(x)]=\frac{e^{ipx}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u}}_r(\mathbf{p})}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^{3/2}\sqrt{2p_0}}$$[a_{r}({\mathbf {p}}),{\bar {\psi }}(x)]={\frac {e^{{ipx}}{\bar {u}}_{r}({\mathbf {p}})}{(2\pi )^{{3/2}}{\sqrt {2p_{0}}}}}$ 

Для электромагнитного поля $[a_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}(\mathbf{p}),A_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(x)]=-<!--\; -\; -->\frac{e^{ipx}{e}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}(\mathbf{p})}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^{3/2}\sqrt{2p_0}}$$[a_{{\lambda }}({\mathbf {p}}),A_{{\mu }}(x)]=-{\frac {e^{{ipx}}e_{{\mu }}^{{\lambda }}({\mathbf {p}})}{(2\pi )^{{3/2}}{\sqrt {2p_{0}}}}}$ 

ПропагаторыПравить

Основная статья: Пропагатор

Рассмотрим вакуумное среднее от хронологического произведения двух полевых операторов скалярного поля:

$D^c(x-<!--\; -\; -->y)=i⟨<!--\; ⟨\; -->0|T\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)|0⟩<!--\; ⟩\; -->=i(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(x_0-<!--\; -\; -->y_0)D^{-<!--\; -\; -->}(x-<!--\; -\; -->y)+\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(y_0-<!--\; -\; -->x_0)D^{-<!--\; -\; -->}(y-<!--\; -\; -->x))=$$D^{c}(x-y)=i\langle 0|T\phi (x)\phi (y)|0\rangle =i(\theta (x_{0}-y_{0})D^{-}(x-y)+\theta (y_{0}-x_{0})D^{-}(y-x))=$ 

$=\frac{i}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^3}\int <!--\; \int \; -->\frac{d^3\mathbf{p}}{2p_0}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(x_0-<!--\; -\; -->y_0)e^{-<!--\; -\; -->ip(x-<!--\; -\; -->y)}+\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(y_0-<!--\; -\; -->x_0)e^{-<!--\; -\; -->ip(y-<!--\; -\; -->x)}).$$={\frac {i}{(2\pi )^{3}}}\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{2p_{0}}}(\theta (x_{0}-y_{0})e^{-ip(x-y)}+\theta (y_{0}-x_{0})e^{-ip(y-x)})\,.$ 

Функция $D^c(x)$$D^{c}(x)$  является чётной. Непосредственно можно убедиться, что данная функция является функцией Грина для оператора Клейна — Гордона, то есть

$({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2+m^2)D^c(x)=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x).$$(\partial ^{2}+m^{2})D^{c}(x)=\delta (x).$ 

Следовательно, 4-мерный фурье-образ этой функции должен быть пропорционален $(m^2-<!--\; -\; -->p^2{)}^{-<!--\; -\; -->1}$$(m^{2}-p^{2})^{{-1}}$ . Однако, в силу неопределённости в точках на массовой поверхности $m^2-<!--\; -\; -->p^2=0$$m^{2}-p^{2}=0$  импульсное представление данной функции записывают следующим образом:

$D^c(x)=\frac{1}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^4}\int <!--\; \int \; -->\frac{d^{4}p{e}^{-<!--\; -\; -->ipx}}{m^2-<!--\; -\; -->p^2-<!--\; -\; -->i\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}},$$D^{c}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {d^{4}pe^{-ipx}}{m^{2}-p^{2}-i\epsilon }}\,,$ 

где $\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}$$\epsilon$  — бесконечно малая величина, которая задаёт обходы полюсов $p_0=\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{{\mathbf{p}}^2+m^2}$$p_{0}=\pm {\sqrt {{\mathbf {p}}^{2}+m^{2}}}$  при интегрировании по $p_0$$p_{0}$ .

Пропагаторы базовых полей (ненулевыми являются только свертки одинаковых полей противоположных зарядов):

Поле	Величина	Формула
Вещественное или комплексное скалярное поле	$⟨<!--\; ⟨\; -->0|T\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x){\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}(y)|0⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle 0|T\phi (x)\phi ^{*}(y)|0\rangle$	$-<!--\; -\; -->i{D}^c(x-<!--\; -\; -->y)=\frac{i}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^4}\int <!--\; \int \; -->\frac{d^{4}p{e}^{-<!--\; -\; -->ip(x-<!--\; -\; -->y)}}{p^2-<!--\; -\; -->m^2+i\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}$$-iD^{c}(x-y)={\frac {i}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {d^{4}pe^{{-ip(x-y)}}}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}$
Спинорное поле	$⟨<!--\; ⟨\; -->0|T\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(y)|0⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle 0|T\psi (x){\bar {\psi }}(y)|0\rangle$	$({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}}_x-<!--\; -\; -->im)D^c(x-<!--\; -\; -->y)=\frac{i}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^4}\int <!--\; \int \; -->\frac{d^{4}p{e}^{-<!--\; -\; -->ip(x-<!--\; -\; -->y)}(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}+m)}{p^2-<!--\; -\; -->m^2+i\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}$$({\hat {\partial }}_{x}-im)D^{c}(x-y)={\frac {i}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {d^{4}pe^{{-ip(x-y)}}({\hat {p}}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}$
Массивное векторное поле	$⟨<!--\; ⟨\; -->0|T{U}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(x)U_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}(y)|0⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle 0|TU_{\mu }(x)U_{\nu }^{*}(y)|0\rangle$	$\frac{-<!--\; -\; -->i}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^4}\int <!--\; \int \; -->\frac{d^{4}p{e}^{-<!--\; -\; -->ip(x-<!--\; -\; -->y)}(g_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}-<!--\; -\; -->p_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{p}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}/m^2)}{p^2-<!--\; -\; -->m^2+i\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}$${\frac {-i}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {d^{4}pe^{{-ip(x-y)}}(g_{{\mu \nu }}-p_{{\mu }}p_{{\nu }}/m^{2})}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}$
Вещественное безмассовое векторное (электромагнитное) поле	$⟨<!--\; ⟨\; -->0|T{A}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(x)A_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(y)|0⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle 0|TA_{\mu }(x)A_{\nu }(y)|0\rangle$	$\frac{-<!--\; -\; -->i}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^4}\int <!--\; \int \; -->\frac{d^{4}p{e}^{-<!--\; -\; -->ip(x-<!--\; -\; -->y)}{g}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}{p^2+i\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}$${\frac {-i}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {d^{4}pe^{{-ip(x-y)}}g_{{\mu \nu }}}{p^{2}+i\epsilon }}$

S-матрицаПравить

Пусть задано начальное состояние полей $|in⟩<!--\; ⟩\; -->$$|in\rangle$  в «далеком» прошлом и конечное состояние в «далеком» будущем $|out⟩<!--\; ⟩\; -->$$|out\rangle$ . Предполагается, что в «далеком» прошлом и будущем взаимодействие отсутствует, а «включается» оно в некоторой конечной пространственно-временной области. Оператор $S$$S$ , переводящий начальное состояние в конечное, называется оператором рассеяния:

$|out⟩<!--\; ⟩\; -->=S|in⟩<!--\; ⟩\; -->.$$|out\rangle =S|in\rangle .$ 

Соответственно, амплитуда $\mathcal{M}$${\mathcal {M}}$  перехода из начального состояния в конечное состояние равна:

$\mathcal{M}=⟨<!--\; ⟨\; -->out|S|in⟩<!--\; ⟩\; -->.$${\mathcal {M}}=\langle out|S|in\rangle .$ 

Оператор рассеяния можно выразить через матричные элементы в некотором базисе. Соответствующая бесконечномерная матрица называется матрицей рассеяния или $S$$S$ -матрицей. Квадраты модулей матричных элементов определяют вероятности переходов между базисными векторами начального и конечного состояний.

Исходя из общих требований релятивистской ковариантности, причинности, унитарности, а также принципа соответствия можно показать, что $S$$S$ -матрица (оператор) выражается через лагранжиан взаимодействия следующим образом (эту формулу иногда также получают с помощью теории возмущений):

$S=T{e}^{i\int <!--\; \int \; -->d^{4}x{\mathcal{L}}_I(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x))}=\underset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{i^n}{n!}T(\int <!--\; \int \; -->d^{4}x{\mathcal{L}}_I(x){)}^n=\underset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{i^n}{n!}\int <!--\; \int \; -->T\underset{j=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{d}^4{x}_j{\mathcal{L}}_I(x_j),$$S=Te^{i\int d^{4}x{\mathcal {L}}_{I}(\phi (x))}=\sum _{n}{\frac {i^{n}}{n!}}T(\int d^{4}x{\mathcal {L}}_{I}(x))^{n}=\sum _{n}{\frac {i^{n}}{n!}}\int T\prod _{j=1}^{n}d^{4}x_{j}{\mathcal {L}}_{I}(x_{j}),$ 

$Te$$Te$  — хронологическая экспонента, $T$$T$ -экспонента, понимаемая как разложение в указанный выше бесконечный ряд по $T$$T$ -произведениям (хронологическим произведениям) $T\underset{j=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}$$T\prod _{{j=1}}^{n}$ .

Пусть начальное состояние имеет вид $|in⟩<!--\; ⟩\; -->=a^{+}({\mathbf{p}}_{\mathbf{1}})...a^{+}({\mathbf{p}}_{\mathbf{s}})|0⟩<!--\; ⟩\; -->$$|in\rangle =a^{+}(\mathbf {p_{1}} )...a^{+}(\mathbf {p_{s}} )|0\rangle$ , а конечное состояние $|out⟩<!--\; ⟩\; -->=a^{+}({\mathbf{p}}_{\mathbf{1}}^{\prime })...a^{+}({\mathbf{p}}_{\mathbf{r}}^{\prime })|0⟩<!--\; ⟩\; -->$$|out\rangle =a^{+}(\mathbf {p'_{1}} )...a^{+}(\mathbf {p'_{r}} )|0\rangle$ . Тогда вклад $n$$n$ -го порядка теории возмущений будет равен вакуумному среднему следующего вида (константа связи $g$$g$  выведена из лагранжиана взаимодействия):

$\frac{i^n{g}^n}{n!}⟨<!--\; ⟨\; -->0|a({\mathbf{p}}_{\mathbf{1}}^{\prime })...a({\mathbf{p}}_{\mathbf{r}}^{\prime })\int <!--\; \int \; -->T\underset{j=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{d}^4{x}_j{\mathcal{L}}_I(x_j)a^{+}({\mathbf{p}}_{\mathbf{1}})...a^{+}({\mathbf{p}}_{\mathbf{s}})|0⟩<!--\; ⟩\; -->.$${\frac {i^{n}g^{n}}{n!}}\langle 0|a(\mathbf {p'_{1}} )...a(\mathbf {p'_{r}} )\int T\prod _{j=1}^{n}d^{4}x_{j}{\mathcal {L}}_{I}(x_{j})a^{+}(\mathbf {p_{1}} )...a^{+}(\mathbf {p_{s}} )|0\rangle .$ 

С учётом теоремы Вика такого рода вакуумные средние будут разложены на слагаемые, в которых за знак вакуумного среднего будут выведены все свертки в этих слагаемых, а оставшиеся полевые операторы в нормальной форме будут участвовать только в (анти)коммутаторах с операторами начального и конечного состояния, порождая стандартные вклады от таких коммутаторов. Ненулевой вклад могут дать только те слагаемые, в которых количество и тип полей под знаком нормального произведения будет соответствовать типу и общему числу частиц в начальном и конечном состояниях. Эти ненулевые вклады также выводятся за знак вакуумного среднего (ибо они не являются операторами тоже) и в этих слагаемых остаются множители с вакуумными обкладками без операторов $⟨<!--\; ⟨\; -->0|0⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle 0|0\rangle$ , что равно единице по определению. В конечных выражениях, таким образом, не остаётся операторов и вакуумных обкладок, остаются свертки и выражения для коммутаторов полевых операторов с операторами начальных и конечных состояний. Свертки заменяются их импульсными представлениями — пропагаторами, а интегрирование по пространственно-временным координатам устраняет все экспоненты, заменяя их на дельта-функции от сумм 4-импульсов. Интегралы по импульсам также уничтожают большую часть этих дельта-функций. Какие именно конечные выражения получаются, можно формализовать с помощью правил и соответствующих диаграмм Фейнмана.

Правила и диаграммы ФейнманаПравить

Основные статьи: Диаграммы Фейнмана и Правила Фейнмана

Интегралы по траекториямПравить

Основная статья: Формулировка квантовой теории через интегралы по траекториям

Формулировка КТП через интегралы по траекториям связана с прямым вычислением амплитуды рассеяния определённого процесса взаимодействия, а не с определением операторов и пространств состояний. Чтобы вычислить амплитуду вероятности эволюции системы из некоторого начального состояния $|{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_I⟩<!--\; ⟩\; -->$$|\phi _{I}\rangle$  в момент времени t = 0 до некоторого конечного состояния $|{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_F⟩<!--\; ⟩\; -->$$|\phi _{F}\rangle$  при t = T общее время T делится на N небольших интервалов. Общая амплитуда — это произведение амплитуды эволюции в каждом интервале времени, интегрированное по всем промежуточным состояниям. Пусть H гамильтониан (то есть генератор эволюции во времени), тогда

$⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_F|e^{-<!--\; -\; -->iHT}|{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_I⟩<!--\; ⟩\; -->=\int <!--\; \int \; -->d{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_1\int <!--\; \int \; -->d{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_2\cdots <!--\; \cdots \; -->\int <!--\; \int \; -->d{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{N-<!--\; -\; -->1}⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_F|e^{-<!--\; -\; -->iHT/N}|{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{N-<!--\; -\; -->1}⟩<!--\; ⟩\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_2|e^{-<!--\; -\; -->iHT/N}|{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_1⟩<!--\; ⟩\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_1|e^{-<!--\; -\; -->iHT/N}|{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_I⟩<!--\; ⟩\; -->.$$\langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int d\phi _{1}\int d\phi _{2}\cdots \int d\phi _{N-1}\,\langle \phi _{F}|e^{-iHT/N}|\phi _{N-1}\rangle \cdots \langle \phi _{2}|e^{-iHT/N}|\phi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|e^{-iHT/N}|\phi _{I}\rangle .$ 

Переходя к пределу N → ∞ указанное произведение интегралов становится функциональным интегралом:

$⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_F|e^{-<!--\; -\; -->iHT}|{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_I⟩<!--\; ⟩\; -->=\int <!--\; \int \; -->\mathcal{D}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)\exp <!--\; \; -->\left\{i{\int <!--\; \int \; -->}_0^{T}dtL\right\},$$\langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int {\mathcal {D}}\phi (t)\,\exp \left\{i\int _{0}^{T}dt\,L\right\},$ 

где L — лагранжиан, содержащий ϕ и его производные по пространственным и временным координатам, полученным из гамильтониана H с помощью преобразования Лежандра. Начальные и конечные условия для интеграла по траекториям соответственно равны

$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(0)={\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_I,\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(T)={\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_F.$$\phi (0)=\phi _{I},\quad \phi (T)=\phi _{F}\,.$ 

Другими словами, полная амплитуда — это сумма по амплитуде всех возможных траекторий между начальным и конечным состояниями, где амплитуда пути задаётся экспонентой в подынтегральном выражении.

Двухточечная корреляционная функцияПравить

Основная статья: Корреляционная функция (квантовая теория поля)

В расчётах часто встречаются выражения типа

$⟨<!--\; ⟨\; -->0|T\{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)\}|0⟩<!--\; ⟩\; -->\text{или}⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}|T\{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)\}|\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \quad {\text{или}}\quad \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle$ 

в свободной теории или теории с взаимодействием соответственно. Здесь, $x$$x$  и $y$$y$  — кооринтатные 4-векторы, $T$$T$  — оператор временного упорядочивания, который переставляет операторы таким образом, чтобы время компонет $x^0$$x^0$  и $y^0$$y^{0}$  увеличивалось от правых к левым компонентам и $|\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->$$|\Omega \rangle$  — основное состояние (вакуумное состояние) взаимодействующей теории, отличное от свободного основного состояния $|0⟩<!--\; ⟩\; -->$$|0\rangle$ . Это выражение представляет собой амплитуду вероятности распространения поля от y до x и имеет несколько названий, например, двухточечный пропагатор, двухточечная корреляционная функция, двухточечная функция Грина или двухточечная функция для краткости.

Свободная двухточечная функция, также известная как фейнмановский пропагатор находится для вещественного скалярного поля либо с помощью канонического квантования, либо с помощью интегралов по траекториям:

$⟨<!--\; ⟨\; -->0|T\{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)\}|0⟩<!--\; ⟩\; -->\equiv <!--\; \equiv \; -->D_F(x-<!--\; -\; -->y)=\underset{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\int <!--\; \int \; -->\frac{d^{4}p}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^4}\frac{i}{p_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{p}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}-<!--\; -\; -->m^2+i\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->i{p}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(x^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}-<!--\; -\; -->y^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}})}.$$\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \equiv D_{F}(x-y)=\lim _{\epsilon \to 0}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip_{\mu }(x^{\mu }-y^{\mu })}\,.$ 

В теории с взаимодействием, где лагранжиан или гамильтониан содержат слагаемые $L_I(t)$$L_{I}(t)$  или $H_I(t)$$H_{I}(t)$ , описывающие взаимодействия, двухточечную функцию определить сложнее. Однако, используя формулировку канонического квантования, или формулировку интеграла по путям, её можно выразить через бесконечный ряд возмущений «свободной» двухточечной функции.

В терминах канонического квантовании двухточечная корреляционная функция записывается как:

$⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}|T\{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)\}|\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=\underset{T\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}(1-<!--\; -\; -->i\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->})}{lim}\frac{⟨0\left|T\left\{{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_I(x){\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_I(y)\exp <!--\; \; -->\left[-<!--\; -\; -->i{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->T}^{T}dt{H}_I(t)\right]\right\}\right|0⟩}{⟨0\left|T\left\{\exp <!--\; \; -->\left[-<!--\; -\; -->i{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->T}^{T}dt{H}_I(t)\right]\right\}\right|0⟩},$$\langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac {\left\langle 0\left|T\left\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }{\left\langle 0\left|T\left\{\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }}\,,$ 

где ε — бесконечно малая и ϕ_I — полевой оператор в рамках свободной теории. Здесь экспоненту следует понимать как её степенной ряд. Например, в ϕ⁴-теории, взаимодействующий член гамильтониана равен $H_I(t)=\int <!--\; \int \; -->d^{3}x\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{4!}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_I(x{)}^4$${\textstyle H_{I}(t)=\int d^{3}x\,{\frac {\lambda }{4!}}\phi _{I}(x)^{4}}$ , и разложение двухточечного коррелятора по $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  становится

$⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}|T\{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)\}|\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=\frac{\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}}{\frac{(-<!--\; -\; -->i\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{)}^n}{(4!{)}^{n}n!}}.$$\langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle ={\frac {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\lambda )^{n}}{(4!)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n}\langle 0|T\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\phi _{I}(z_{1})^{4}\cdots \phi _{I}(z_{n})^{4}\}|0\rangle }{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\lambda )^{n}}{(4!)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n}\langle 0|T\{\phi _{I}(z_{1})^{4}\cdots \phi _{I}(z_{n})^{4}\}|0\rangle }}\,.$ 

Это разложение возмущения выражает взаимодействующую двухточечную функцию в терминах величин $⟨<!--\; ⟨\; -->0|\cdots <!--\; \cdots \; -->|0⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle 0|\cdots |0\rangle$ , которые оцениваются в «свободной» теории.

В формулировке интеграла по путям двухточечная корреляционная функция записывается как

$⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}|T\{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)\}|\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=\underset{T\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}(1-<!--\; -\; -->i\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->})}{lim}\frac{\int <!--\; \int \; -->\mathcal{D}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)\exp <!--\; \; -->\left[i{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->T}^T{d}^{4}z\mathcal{L}\right]}{\int <!--\; \int \; -->\mathcal{D}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\exp <!--\; \; -->\left[i{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->T}^T{d}^{4}z\mathcal{L}\right]},$$\langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \,\phi (x)\phi (y)\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\mathcal {L}}\right]}{\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\mathcal {L}}\right]}}\,,$ 

где $\mathcal{L}$$\mathcal{L}$  — плотность лагранжиана. Как и в предыдущем абзаце, экспонента может быть разложена в ряд по λ, сводя взаимодействующую двухточечную функцию к величинам в свободной теории.

Теорема Вика дополнительно сводит любую n-точечную корреляционную функцию в свободной теории к сумме произведений двухточечных корреляционных функций. Например,

${\begin{aligned}\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\phi (x_{3})\phi (x_{4})\}|0\rangle &=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{3})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{3})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{4})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{3})\}|0\rangle .\end{aligned}}\,.$ 

Поскольку взаимодействующие корреляционные функции могут быть выражены через свободные корреляционные функции, для расчёта всех физических величин в (пертурбативной) взаимодействующей теории необходимо оценивать только последние. Это делает пропагатор Фейнмана одной из важнейших величин в квантовой теории поля.

Диаграмма ФейнманаПравить

Корреляционные функции в теории взаимодействий можно записать в виде ряда возмущений. Каждый член в этой серии является произведением пропагаторов Фейнмана для свободных частиц и может быть визуально представлен диаграммой Фейнмана. ϕ⁴-теория является простейшей теорией с взаимодействием и часто рассматривают в педагогических целях. Такая нелинейность может появляться в статистической физике и в стандартной электрослабой теории. Лагранжиан этой теории записывается в виде

$\mathcal{L}=\frac{1}{2}({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}{)}^2-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}{m}^2{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^2-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{4!}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^4,$${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4}\,,$ 

где λ — безразмерная константа связи, что выступает малым параметром по которому строится ряд теории возмущений. Например, λ¹ в двухточечной корреляционной функции (функция Грина) в теории ϕ⁴

$\frac{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{4!}\int <!--\; \int \; -->d^{4}z⟨<!--\; ⟨\; -->0|T\{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(z)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(z)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(z)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(z)\}|0⟩<!--\; ⟩\; -->.$${\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\phi (z)\phi (z)\phi (z)\phi (z)\}|0\rangle \,.$ 

После применения теоремы Вика появляются слагаемые вида

$12\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{4!}\int <!--\; \int \; -->d^{4}z{D}_F(x-<!--\; -\; -->z)D_F(y-<!--\; -\; -->z)D_F(z-<!--\; -\; -->z),$$12\cdot {\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,D_{F}(x-z)D_{F}(y-z)D_{F}(z-z)\,,$ 

где $D_F(x-<!--\; -\; -->y)$$D_{F}(x-y)$  — фейнмановский пропагатор. Вместо этого то же слагаемого получается из диаграммы Фейнмана

 

Диаграмма состоит из

• внешних вершин, соединённых одним ребром и представленных точками (здесь обозначены $x$$x$  и $y$$y$ ).
• внутренних вершин, соединённых четырьмя рёбрами и представленных точками (здесь обозначены $z$$z$ ).
• рёбер, соединяющих вершины и представленных линиями.

Каждой вершине соответствует один полевой множитель $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  в соответствующей точке пространства-времени, а края соответствуют пропагаторам между точками пространства-времени. Член в ряду возмущений, соответствующий диаграмме, получается записью выражения, которое следует из правил Фейнмана:

1. Для каждой внутренней вершины $z_i$$z_{i}$ , записывается коэффициент $-<!--\; -\; -->i\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\int <!--\; \int \; -->d^4{z}_i$${\textstyle -i\lambda \int d^{4}z_{i}}$ ;
2. Для каждого ребра, соединяющего две вершины $z_i$$z_{i}$  и $z_j$$z_{j}$ , записывается коэффициент $D_F(z_i-<!--\; -\; -->z_j)$$D_{F}(z_{i}-z_{j})$ ;
3. Разделить на коэффициент симметрии диаграммы.

С коэффициентом симметрии $2$$2$ , следование этим правилам даёт в точности указанное выше выражение. Путём преобразования Фурье пропагатора, правила Фейнмана можно переформулировать из координатного пространства в пространство импульсов.

Чтобы вычислить n-точечную корреляционную функцию до k-го порядка, перечисляют все допустимые диаграммы Фейнмана с n-внешними точками и k или меньшим количеством вершин, а затем используют правила Фейнмана, чтобы получить выражение для каждого члена. Точнее,

$⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}|T\{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x_1)\cdots <!--\; \cdots \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x_n)\}|\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle \Omega |T\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|\Omega \rangle$ 

равна сумме (соответствующих выражений) всех связанных диаграмм с n внешними точками. (Связанные диаграммы — это такие, в которых каждая вершина соединена с внешней точкой линиями. Компоненты, которые полностью отсоединены от внешних линий, иногда называют «вакуумными пузырями».) В ϕ⁴ каждая вершина должна иметь четыре ножки.

В реальных приложениях амплитуду рассеяния определённого взаимодействия или скорость распада частицы можно вычислить из S-матрицы, которую находят с помощью метода диаграмм Фейнмана.

Диаграммы Фейнмана, лишённые «петель», называются древесными диаграммами, которые описывают процессы взаимодействия низшего порядка; диаграммы, содержащие n петель, называются n-петлевыми диаграммами, которые описывают вклады более высокого порядка или радиационные поправки во взаимодействие. Линии, конечные точки которых являются вершинами, можно рассматривать как распространение виртуальных частиц.

РенормализацияПравить

Основная статья: Перенормировка

Правила Фейнмана можно использовать для прямой оценки древовидных диаграмм. Однако наивное вычисление петлевых диаграмм, подобных показанной выше, приведёт к расходящимся интегралам по импульсам, то есть почти все члены в пертурбативном разложении бесконечны. Процедура перенормировки — это систематический процесс удаления таких бесконечностей.

Параметры, входящие в лагранжиан, такие как масса m и константа связи λ, не имеют физического смысла — m, λ и напряжённость поля ϕ не являются экспериментально измеряемыми величинами и упоминаются здесь как голая масса, голая константа связи, и голое поле. Физическая масса и константа связи измеряются в некотором процессе взаимодействия и обычно отличаются от голых величин. При вычислении физических величин в этом процессе взаимодействия ограничивают область интегрирования расходящихся интегралов по импульсам до значения ниже некоторого порогового значения импульса Λ, чтобы получить выражения для физических величин, а затем перейти к пределу Λ → ∞. Это пример регуляризации — класса методов для устранения особенностей в КТП, где Λ — параметр регуляризации.

Подход, проиллюстрированный выше, называется голой теорией возмущений, поскольку в расчётах используются только голые величины, такие как масса и константа связи. Другой подход, называемый перенормированной теорией возмущений, заключается в использовании физически значимых величин с самого начала. В случае теории ϕ⁴ сначала переопределяется напряжённость поля:

$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}=Z^{1/2}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_r,$$\phi =Z^{1/2}\phi _{r}\,,$ 

где ϕ — голое поле, ϕ_r — перенормированное поле, а Z — постоянная, которую необходимо определить. Плотность лагранжиана имеет вид:

$\mathcal{L}=\frac{1}{2}({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_r)({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_r)-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}{m}_r^2{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_r^2-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_r}{4!}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_r^4+\frac{1}{2}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_Z({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_r)({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_r)-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_m{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_r^2-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}{4!}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_r^4,$${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}m_{r}^{2}\phi _{r}^{2}-{\frac {\lambda _{r}}{4!}}\phi _{r}^{4}+{\frac {1}{2}}\delta _{Z}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}\delta _{m}\phi _{r}^{2}-{\frac {\delta _{\lambda }}{4!}}\phi _{r}^{4},$ 

где m_r и λ_r — экспериментально измеряемые перенормированная масса и константа связи, соответственно, и

${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_Z=Z-<!--\; -\; -->1,{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_m=m^{2}Z-<!--\; -\; -->m_r^2,{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{Z}^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_r$$\delta _{Z}=Z-1,\quad \delta _{m}=m^{2}Z-m_{r}^{2},\quad \delta _{\lambda }=\lambda Z^{2}-\lambda _{r}$ 

— константы, которые предстоит определить. Первые три члена представляют собой ϕ⁴ записанную в терминах перенормированных величин, в то время как последние три члена называются «контрчлены». Поскольку лагранжиан теперь содержит больше слагаемых, диаграммы Фейнмана должны включать дополнительные элементы, каждый со своими собственными правилами Фейнмана. Процедура описывается следующим образом. Сначала выбирается метод регуляризации (например, введённый выше ограничивающую регуляризацию^[en] или размерную регуляризацию). Вычисляются диаграммы Фейнмана, в которых расходящиеся члены будут зависеть от параметра регуляризации Λ. Затем определяют δ_Z, δ_m и δ_λ, чтобы диаграммы Фейнмана для контрчленов в точности сокращали расходящиеся члены в нормальных диаграммах Фейнмана, когда берётся предел Λ → ∞. Таким образом получаются конечные величины.

Исключить все бесконечности для получения конечного результата можно только в перенормируемых теориях, тогда как в неперенормируемых теориях бесконечности нельзя удалить путём переопределения небольшого числа параметров. Стандартная модель элементарных частиц является ренормализуемой КТП, в то время как квантовая гравитация не является ренормализуемой.

В квантовой электродинамике при расчёте поправок к кулоновскому взаимодействию при учёте древесной (беспетлевой) и однопетлевой диаграмм возникает модифицированный кулоновский потенциал вида

$\frac{e_0^2}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}r}\left(1-<!--\; -\; -->\frac{e_0^2}{6{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}\ln <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}{m}\right)+\text{конечные члены},$${\frac {e_{0}^{2}}{4\pi r}}\left(1-{\frac {e_{0}^{2}}{6\pi ^{2}}}\ln {\frac {\Lambda }{m}}\right)+{\text{конечные члены}}\,,$ 

где $e_0$$e_{0}$  — голый заряд, $r$$r$  — расстояние до заряда, $m$$m$  — масса электрона, $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$$\Lambda$  — параметр отвечающий за ультрафиолетовое обрезание, который ограничивает импульсы частиц при расчёте амплитуды рассеяния. Несмотря на то, что математически это выражение расходится, но для того, чтобы эта поправка сравнялась по величине с главным членом нужна масса $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$$\Lambda$  ~ 10²⁵⁰ г., что по величине превышает массу Вселенной. Голый заряд не наблюдаем сам по себе, поскольку окружён заряженными виртуальными частицами и они экранируют этот заряд. В реальности на больших расстояниях наблюдается другой физический заряд $e_{\text{физ}}$$e_{\text{физ}}$ , который можно посчитать более точно с учётом многопетельных диаграмм

$e_{\text{физ}}^2\approx <!--\; \approx \; -->\frac{e_0^2}{1+\frac{e_0^2}{6{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}\ln <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}{m}}.$$e_{\text{физ}}^{2}\approx {\frac {e_{0}^{2}}{1+{\frac {e_{0}^{2}}{6\pi ^{2}}}\ln {\frac {\Lambda }{m}}}}\,.$ 

Это выражение оказывается конечным при любом значении $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}.$$\Lambda \,.$  Если его переписать в виде

$e_0^2\approx <!--\; \approx \; -->\frac{e_{\text{физ}}^2}{1-<!--\; -\; -->\frac{e_{\text{физ}}^2}{6{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}\ln <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}{m}},$$e_{0}^{2}\approx {\frac {e_{\text{физ}}^{2}}{1-{\frac {e_{\text{физ}}^{2}}{6\pi ^{2}}}\ln {\frac {\Lambda }{m}}}}\,,$ 

то можно заметить, что при некотором значении $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$$\Lambda$  (полюс Ландау) голый заряд становится бесконечным.

Ренормализационная группаПравить

Основная статья: Ренормализационная группа

Ренормализационная группа, разработанная Кеннетом Уилсоном, представляет собой математический аппарат, используемый для изучения изменений физических параметров (коэффициентов в лагранжиане), когда система рассматривается на различных масштабах. Способ, в котором каждый параметр изменяется в зависимости от масштаба описывается её β-функцией. Корреляционные функции, которые лежат в основе количественных предсказаний, изменяются в зависимости от масштаба в соответствии с уравнением ренормгруппы.

Например, константа связи в КЭД, а именно элементарный заряд e, имеет следующую β-функцию:

$\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(e)\equiv <!--\; \equiv \; -->\frac{1}{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}\frac{de}{d\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}=\frac{e^3}{12{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}+O(e^5),$$\beta (e)\equiv {\frac {1}{\Lambda }}{\frac {de}{d\Lambda }}={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}+O(e^{5}),$ 

где Λ — масштаб энергии, в котором выполняется измерение e. Это дифференциальное уравнение означает, что наблюдаемый элементарный заряд увеличивается с увеличением масштаба. Перенормированная константа связи, которая изменяется в зависимости от масштаба энергии, также называется бегущей константой связи.

Константа связи g в квантовой хромодинамике, неабелевой калибровочной теории, основанной на группе симметрии SU(3), обладает следующей β-функцией:

$\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(g)\equiv <!--\; \equiv \; -->\frac{1}{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}\frac{dg}{d\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}=\frac{g^3}{16{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}\left(-<!--\; -\; -->11+\frac{2}{3}{N}_f\right)+O(g^5),$$\beta (g)\equiv {\frac {1}{\Lambda }}{\frac {dg}{d\Lambda }}={\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}\left(-11+{\frac {2}{3}}N_{f}\right)+O(g^{5}),$ 

где N_f — количество ароматов кварка. В случае, когда N_f ≤ 16 (для Стандартной модели N_f = 6), константа связи g уменьшается с увеличением масштаба энергии. Следовательно, в то время как сильное взаимодействие является сильным при низких энергиях, оно становится очень слабым при высоких энергиях — явление, известное как асимптотическая свобода.

Конформные теории поля (КТП) — это специальные КТП, допускающие конформную симметрию^[en]. Они нечувствительны к изменениям масштаба, так как все их константы связи имеют исчезающе малую β-функцию. Однако обратное неверно — исчезновение всех β-функций не означает конформной симметрии теории. Примеры включают теорию струн и N = 4 суперсимметричную теорию Янга — Миллса.

Согласно представлению Уилсона, каждая КТП в основе ограничена по энергии Λ, то есть что теория больше не справедлива при энергиях выше чем Λ, и все степени свободы выше шкалы Λ не должны учитываться. Например, граница может быть обратной величиной к атомному расстоянию в конденсированной среде, а в физике элементарных частиц она может быть связана с фундаментальной «зернистостью» пространства-времени, вызванной квантовыми флуктуациями гравитации. Масштаб границы в теориях взаимодействия частиц лежит далеко за пределами текущих экспериментов. Даже если теория была бы очень сложной на этом масштабе, до тех пор, пока её связи достаточно слабы, она должна описываться при низких энергиях с помощью перенормируемой эффективной теории поля^[en]. Разница между перенормируемой и неперенормируемой теориями является то, что первые нечувствительны к деталям взаимодействий при высоких энергиях, в то время как последние не зависят от них. Согласно этой точке зрения, неперенормируемые теории следует рассматривать как низкоэнергетические эффективные теории какой-то более фундаментальной теории. Неспособность избежать ограничения Λ из расчётов в такой теории просто указывает на то, что новые физические явления появляются в масштабах больше Λ, где необходима новая теория.

Аксиоматическая квантовая теория поляПравить

Основная статья: Аксиоматическая квантовая теория поля

Из-за проблем с расходимостями возникла потребность создания математически строгой КТП. Этот подход получил название аксиоматической квантовой теория поля, когда в основе лежит набор аксиом, обобщающих набор экспериментальных фактов, а вся последующая теория строится строгим математическим образом. Среди аксиом должны быть аксиома релятивистской инвариантности, аксиома локальности или причинности, аксиома спектральности (о положительной энергии всех частиц). Различаются разными аксиоматические подходы выбором исходных физических величин. Предложенный в 1955 году Н. Н. Боголюбовым подход в качестве основного физического объекта использовала матрицу рассеяния. В подходе А. С. Уайтмена (1956) рассматривал взаимодействующее квантованное поле в качестве такого объекта. Наиболее общий алгебраический подход (Р. Хааг, X. Араки, Д. Кастлер) использует набор всех возможных наблюдаемых.

Нелокальная квантовая теория поляПравить

Основная статья: Нелокальная квантовая теория поля

Рассматриваемая квантовая теория поля локальна, то есть значения поля и координаты частиц можно указать точно и описать их взаимодествие в этой точке. Это приводит к расхождимостям, при малых расстояниях, что впоследствии устраняются в рамках теории перенормировок. Если же предположить существование некоторой фундаментальной длины, которая ограничивает наше знание о координатах, то можно построить нелокальную квантовую теорию поля. Взаимодействия рассматриваемых квантовых полей происходят не в точке, а в области пространства. Это предположение позволяет избежать ультрафиолетовых расходимостей.

Квантовая теория поля в искривлённом пространстве-времениПравить

Основная статья: Квантовая теория поля в искривлённом пространстве-времени

Квантовая теория поля в искривленном пространства-времени является расширением квантовой теории поля из пространства- времени Минковского в общее искривленное пространство-время . Эта теория рассматривает пространство-время как фиксированный классический фон, давая при этом квантово-механическое описание материи и энергии, распространяющихся через это пространство-время. Общее предсказание этой теории состоит в том, что частицы могут создаваться гравитационными полями, зависящими от времени (рождение мультигравитонных пар), или независимыми от времени гравитационными полями, которые содержат горизонты. Наиболее известным примером последнего является явление излучения Хокинга, которое излучается чёрными дырами. Последнее можно понимать как проявление эффекта Унру, когда ускоряющийся наблюдатель наблюдает излучение абсолютно чёрного тела. Другие предсказания квантовых полей в искривленных пространствах включают например, излучение, испускаемое частицей, движущейся по геодезической. Это позволяет учесть некоторые существенные гравитационные эффекты, хотя и не является последовательной теорией квантовой гравитации. Квантовая теория поля в искривлённом пространстве-времени справедлива в области, где искривление пространства-времени мало по сравнению с планковскими масштабами.

Топологическая квантовая теория поляПравить

Корреляционные функции и физические предсказания КТП зависят от метрики пространства-времени g_μν. Для специального класса КТП, называемыми топологическими квантовыми теориями поля^[en] (ТКТП), все корреляционные функции не зависят от непрерывных изменений в метрике пространства-времени. КТП в искривлённом пространстве-времени обычно изменяются в соответствии с геометрией (локальной структурой) пространства-времени, в то время как ТКТП инвариантны относительно диффеоморфизмов пространства-времени, но чувствительны к топологии (глобальной структуре) пространства-времени. Это означает, что все результаты вычислений ТКТП являются топологическими инвариантами основного пространства-времени. Теория Черна — Саймонса является примером ТКТП и использовалась для построения моделей квантовой гравитации. Применения ТКТП включают дробный квантовый эффект Холла и топологические квантовые компьютеры^[en]. Траектория мировой линии для частиц с дробным зарядом (известных как энионы) может формировать связную конфигурацию в пространстве-времени, которая связывает брейдинг-статистику энионов в физике с инвариантами связей в математике. Топологические квантовые теории поля (ТКТП), применимые к передовым исследованиям топологических квантовых материй, включают калибровочные теории Черна — Саймонса — Виттена в пространственно-временных измерениях 2 + 1, другие новые экзотические ТКТП в пространственно-временных измерениях 3 + 1 и за их пределами.

Другие теорииПравить

 

Диаграмма рассеяния электрона и позитрона. Пример трёхуровневой диаграммы Фейнмана в КЭД. Она описывает аннигиляцию электрона и позитрона, создание фотона вне массовой оболочки, а затем распад на новую пару электрона и позитрона. Время бежит слева направо. Стрелки, указывающие вперёд во времени, представляют распространение позитронов, а стрелки, указывающие назад во времени, представляют распространение электронов. Волнистая линия представляет распространение фотона. Каждая вершина в диаграммах КЭД Фейнмана должна иметь входящую и исходящую фермионную (позитронную/электронную) ветвь, а также фотонную ветвь.

Процедуры квантования и перенормировки, описанные в предыдущих разделах, выполняются для свободной теории поля и ϕ⁴ теории^[en] (четырёхкратного взаимодействия) действительного скалярного поля. Аналогичный процесс можно проделать для других типов полей, включая комплексное скалярное поле, векторное поле и поле Дирака, а также для других типов взаимодействующих членов, включая электромагнитное взаимодействие и взаимодействие Юкавы.

Например, квантовая электродинамика содержит поле Дирака ψ представляющее электронное поле, и векторное поле A^μ представляющее электромагнитное поле (фотонное поле). Несмотря на свое название, квантовое электромагнитное «поле» на самом деле соответствует классическому электромагнитному четырёхпотенциалу, а не классическим электрическим и магнитным полям. Полная плотность лагранжиана КЭД равна:

$\mathcal{L}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(i{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}-<!--\; -\; -->m)\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{1}{4}{F}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{F}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}-<!--\; -\; -->e\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}{A}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}},$${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu },$ 

где γ^μ — матрицы Дирака, $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}={\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{†<!--\; †\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^0$${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ , $F_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}={\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{A}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{A}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$  — напряжённость электромагнитного поля. Параметрами в этой теории являются масса (голого) электрона m и (голого) элементарного заряда e. Первое и второе слагаемые в плотности лагранжиана соответствуют свободному полю Дирака и свободному векторному полю соответственно. Последний член описывает взаимодействие между электронным и фотонным полями, которое рассматривается как возмущение в теории без взаимодействия.

СуперсимметрияПравить

Основная статья: Суперсимметрия

Все экспериментально известные симметрии в природе связывают бозоны с бозонами, а фермионы с фермионами. Теоретики выдвинули гипотезу о существовании типа симметрии, называемой суперсимметрией, которая связывает бозоны и фермионы.

Стандартная модель подчиняется симметрии Пуанкаре, генераторами которой являются пространственно-временные трансляции P^μ и преобразования Лоренца J_μν. В дополнение к этим генераторам суперсимметрия в (3 + 1) -мерном пространстве включает дополнительные генераторы Q_α, называемые суперзарядами, которые сами преобразуются как фермионы Вейля. Группа симметрии, порождённой всеми этими генераторами известена как супергруппа Пуанкаре^[en]. В общем случае, может существовать более одного набора генераторов суперсимметрии, Q_α^I, I = 1, ..., N Q_α^I, I = 1, ..., N Q_α^I, I = 1, ..., N, которые порождают соответствующую суперсимметрию N = 1 N = 2 и так далее. Суперсимметрию также можно построить в других измерениях, в первую очередь в (1 + 1)-пространстве для её применения в теории суперструн.

Лагранжиан суперсимметричной теории должен быть инвариантным относительно действия супергруппы Пуанкаре. Примеры таких теорий включают в себя: минимальную суперсимметричную стандартную модель^[en] (МССМ), N = 4 суперсимметричную теорию Янга — Миллса и теорию суперструн. В суперсимметричной теории у каждого фермиона есть бозонный суперпартнёр и наоборот.

Если суперсимметрия превращается в локальную симметрию, то результирующая калибровочная теория является расширением общей теории относительности, называемой супергравитацией.

Суперсимметрия — потенциальное решение многих современных проблем физики. Например, проблема иерархии Стандартной модели — почему масса бозона Хиггса не корректируется радиационно (при перенормировке) до очень высокого масштаба, такого как масштаб великого объединения или масштаб Планка, может быть решена путём соотнесения поля Хиггса и его суперпартнера, хиггсино. Радиационные поправки, обусловленные петлями бозона Хиггса в диаграммах Фейнмана, компенсируются соответствующими петлями хиггсино. Суперсимметрия также предлагает ответы на великое объединение всех калибровочных констант связи в Стандартной модели, а также на природу тёмной материи.

Тем не менее, по состоянию на 2021 год, экспериментальных доказательств существования суперсимметричных частиц не найдено. Если бы суперсимметрия была истинной симметрией природы, то она должна нарушаться, и энергия нарушения симметрии должна быть больше энергии, достижимой в современных экспериментах.

Другое пространство-времяПравить

Теория ϕ⁴, КЭД, КХД, а также вся Стандартная модель предполагают (3 + 1)-мерное пространство Минковского (3 пространственных и 1 временное измерение) в качестве фона, на котором определяются все квантовые поля. Однако КТП априори не накладывает ограничений ни на количество измерений, ни на геометрию пространства-времени.

В физике конденсированного состояния КТП используется для описания (2 + 1)-мерных электронных газов. В физике высоких энергий, теории струн представляет собой тип (1 + 1)-мерной КТП, , в то же время теория Калуцы — Клейна использует гравитацинную силу в дополнительных измерениях, чтобы получить калибровочную теорию с более низкой размерностью.

В пространстве Минковского плоская метрика η_μν используется для поднятия и опускания индексов^[en] пространства-времени в лагранжиане, заданному по следующему правилу

$A_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{A}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}={\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{A}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{A}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}},{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}={\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->},$$A_{\mu }A^{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu },\quad \partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi ,$ 

где η^μν — обратная к η_μν удовлетворяющая соотношению η^μρη^ρν = δ^μ_ν. С другой стороны, для КТП в искривлённом пространстве-времени используется общая метрика (такая как метрика Шварцшильда, описывающая метрику чёрной дыры):

$A_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{A}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=g_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{A}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{A}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}},{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}=g^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->},$$A_{\mu }A^{\mu }=g_{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu },\quad \partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi =g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi ,$ 

где g^μν — величина, обратная к g_μν. Для реального скалярного поля плотность лагранжиана на общем пространственно-временном фоне равна

$\mathcal{L}=\sqrt{|g|}\left(\frac{1}{2}{g}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}{m}^2{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^2\right),$${\mathcal {L}}={\sqrt {|g|}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\phi \nabla _{\nu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right),$ 

где g = det(g_μν), а символ ∇_μ обозначает ковариантную производную. Лагранжиан КТП, а следовательно, и результаты его расчётов и физические предсказания, зависят от геометрии пространства-времени.

Пертурбативные и непертурбативные методыПравить

Используя теорию возмущений, общий эффект малого члена взаимодействия можно аппроксимировать разложением в ряд по числу виртуальных частиц, участвующих во взаимодействии. Каждый член в расширении можно понимать как один из возможных способов взаимодействия (физических) частиц друг с другом через виртуальные частицы, визуально выраженный с помощью диаграммы Фейнмана. Электромагнитная сила между двумя электронами в КЭД представлена (в первом порядке теории возмущений) распространением виртуального фотона. Аналогичным образом бозоны W и Z переносят слабое взаимодействие, а глюоны переносят сильное взаимодействие. Интерпретация взаимодействия как суммы промежуточных состояний, включающих обмен различными виртуальными частицами, имеет смысл только в рамках теории возмущений. Напротив, непертурбативные методы в КТП рассматривают взаимодействующий лагранжиан как единое целое без какого-либо разложения в ряд. Вместо частиц, несущих взаимодействия, эти методы породили такие концепции, как монополь 'т Хофта — Полякова^[en], доменная стенка, трубка потока^[en] и инстантон. Примеры КТП, которые полностью разрешимы непертурбативно, включают минимальные модели^[en] конформной теории поля и модель Тирринга^[en].

Математическое обоснованиеПравить

Несмотря на ошеломляющий успех в физике элементарных частиц и физике конденсированного состояния, самой КТП не хватает формальной математической основы. Например, согласно теореме Хаага^[en], не существует чётко определённого представления взаимодействия для КТП, что означает, что теория возмущений КТП, лежащая в основе всего метода диаграмм Фейнмана, в корне не определена.

Однако пертурбативная квантовая теория поля, которая требует только вычисления величин как формальных степенных рядов без каких-либо требований сходимости, может быть подвергнута строгой математической трактовке. В частности, монография Кевина Костелло^[en] «Перенормировка и эффективная теория поля» (англ. Renormalization and Effective Field Theory) обеспечивает строгую формулировку пертурбативной перенормировки, которая сочетает в себе подходы теории эффективного поля Каданова, Вильсона и Полчинского, а также подход Баталина — Вилковиского^[en] к квантованию калибровочных теорий. Более того, пертурбативные методы интегралов по траекториям, обычно понимаемые как формальные вычислительные методы, вдохновлённые конечномерной теорией интегрирования могут получить надёжную математическую интерпретацию на основе их конечномерных аналогов.

С 1950-х годов физики-теоретики и математики пытались сформулировать КТП в виде набора аксиом, чтобы математически строгим образом установить существование конкретных моделей релятивистских КТП и изучить их свойства. Это направление исследований называется конструктивной квантовой теорией поля^[en], подразделом математической физики, которое привело к таким результатам, как теорема CPT, теорема спин-статистики и теорема Голдстоуна, а также к математически строгим конструкциям многих КТП с взаимодействием в двух и трёх измерениях пространства-времени, например, двумерных скалярных теорий поля с произвольными полиномиальными взаимодействиями, трёхмерных скалярных теорий поля с взаимодействием четвёртой степени и так далее.

По сравнению с обычной КТП, топологическая квантовая теория поля^[en] и конформная теория поля корректно обосновывается математически — обе могут быть классифицированы в рамках представлений кобордизмов.

Алгебраическая квантовая теория поля^[en] — это ещё один подход к аксиоматизации КТП, в котором фундаментальными объектами являются локальные операторы и алгебраические отношения между ними. Аксиоматические системы, следующие этому подходу, включают аксиомы Вайтмана^[en] и аксиомы Хаага — Кастлера^[en]. Один из способов построить теории, удовлетворяющих аксиомам Вайтмана является использование аксиом Остервальдера — Шредера^[en], которые дают необходимые и достаточные условия для теории в реальном времени, для вывода из теории с мнимым временем с помощью аналитического продолжения (поворота Вика).

Существование теории Янга — Миллса и щели в спектре масс^[en] — одна из проблем, связанных с Премией тысячелетия, касается чётко определённого существования теорий Янга — Миллса, изложенных вышеупомянутыми аксиомами.

См. такжеПравить

• Теория всего
• Квантовополевая теория возмущений в статистической физике

ПримечанияПравить

Комментарии

Источники

Видеолекции по КТППравить

• Видео Лекции: Квантовая электродинамика (профессор Фадин В. С., 2013 г.) на YouTube
• Видео Лекции: Теория электрослабых взаимодействий (профессор Черняк В. Л., 2013 г.) на YouTube
• Видео Лекции: Теория сильных взаимодействий (профессор Фадин В. С., 2014 г.) на YouTube
• Видео Лекции: Суперсимметрия в квантовой теории поля. Спецкурс проф. Черняка В. Л. (2013 г.) на YouTube