Квадратная решётка

Квадратные решётки
Вертикальный квадрат Simple	Диагональный квадрат Centered

Квадратная решётка — это вид решётки в двумерном евклидовом пространстве. Решётка является двумерной версией целочисленной решётки и обозначается Z²^[1]. Решётка является одной из пяти типов двумерных решёток, классифицированных по группам симметрии^[2], Группа симметрии решётки в обозначениях IUC — p4m^[3], в нотации Коксетера^[en] — [4,4]^[4], а в орбифолдной нотации^[en] — *442^[5].

Вертикальная квадратная мозаика. Вершины всех квадратов вместе с их центрами образует квадратную решётку. Центры квадратов одного цвета образуют диагональную решётку, которая в √2 раза больше решётки вертикальных квадратов.

Две ориентации решётки наиболее популярны. Обычно квадраты решётки размещаются так, что стороны квадрата вертикальны и горизонтальны (будем называть это вертикальной решёткой), либо стороны квадратов расположены под углом 45 градусов по отношению к осям. В последнем случае решётку иногда называют центрированной квадратной решёткой^[6].

СимметрияПравить

Симметрия квадратной решётки — это группа обоев p4m. Орнамент с этой решёткой симметрии переноса не может иметь более высокую степень симметрии, чем сама решётка, но может иметь меньшую степень. Вертикальную квадратную решётку можно рассматривать как диагональную решётку с размером сетки в √2 раза больше и центры этой решётки находятся в центре квадратов. Соответственно, после добавления центров квадратов в квадраты вертикальной решётки мы получаем решётку в √2 раза меньшую исходной решётки. Орнамент с 4-кратной вращательной симметрией имеет квадратную решётку 4-кратных центров вращения, которая в √2 раза мельче и расположена диагонально по отношению к исходной решётке симметрии переноса.

По отношению осей отражения существует три возможных ситуации:

Отсутствие симметрии. Это группа обоев p4.
В четырёх направлениях. Это группа обоев p4m.
В двух перпендикулярных направлениях. Это группа обоев p4g. Точки пересечения осей отражения образуют квадратную решётку, которая по размерам и по направлениям совпадает с квадратной решёткой центров вращения.

p4, [4,4]⁺, (442)	p4g, [4,4⁺], (4*2)	p4m, [4,4], (*442)

Группа обоев p4, с расположением внутри примитивной ячейки 2- и 4-кратных центров вращения (верно и для p4g и p4m). Фундаментальная область показана жёлтым цветом.	Группа обоев p4g. Есть оси отражения в двух направлениях, не проходящие через 4-кратные центры вращения.	Группа обоев p4m. Есть оси отражения в четырёх направлениях, проходящие через 4-кратные центры вращения. В двух направлениях оси отражения ориентированы так же и с той же плотностью, что и для p4g, но сдвинуты. В двух направлениях они в √2 плотнее.