Касательная прямая

Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Строгое определениеПравить

• Пусть функция $f:<!--\; :\; -->U(x_0)\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f\colon U(x_{0})\subset {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$  определена в некоторой окрестности точки $x_0\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$x_{0}\in {\mathbb {R}}$ , и дифференцируема в ней: $f\in <!--\; \in \; -->\mathcal{D}(x_0)$$f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ . Касательной прямой к графику функции $f$$f$  в точке $x_0$$x_{0}$  называется график линейной функции, задаваемый уравнением

  $y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-<!--\; -\; -->x_0),x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\in {\mathbb {R}}$ .

• Если функция $f$$f$  имеет в точке $x_0$$x_{0}$  бесконечную производную $f^{\prime }(x_0)=\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},$$f'(x_{0})=\pm \infty ,$  то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением

  $x=x_0.$$x=x_{0}.$ 

ЗамечаниеПравить

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку $(x_0,f(x_0))$$(x_{0},f(x_{0}))$ . Угол $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению

$\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=f^{\prime }(x_0)=k,$$\operatorname {tg}\,\alpha =f'(x_{0})=k,$ 

где $\mathrm{tg}$$\operatorname {tg}$  обозначает тангенс, а $\mathrm{k}$$\operatorname {k}$  — коэффициент наклона касательной. Производная в точке $x_0$$x_{0}$  равна угловому коэффициенту касательной к графику функции $y=f(x)$$y = f(x)$  в этой точке.

Касательная как предельное положение секущейПравить

 

Пусть $f:<!--\; :\; -->U(x_0)\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f\colon U(x_{0})\to \mathbb{R}$  и $x_1\in <!--\; \in \; -->U(x_0).$$x_{1}\in U(x_{0}).$  Тогда прямая линия, проходящая через точки $(x_0,f(x_0))$$(x_{0},f(x_{0}))$  и $(x_1,f(x_1))$$(x_{1},f(x_{1}))$  задаётся уравнением

$y=f(x_0)+\frac{f(x_1)-<!--\; -\; -->f(x_0)}{x_1-<!--\; -\; -->x_0}(x-<!--\; -\; -->x_0).$$y=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}).$ 

Эта прямая проходит через точку $(x_0,f(x_0))$$(x_{0},f(x_{0}))$  для любого $x_1\in <!--\; \in \; -->U(x_0),$$x_{1}\in U(x_{0}),$  и её угол наклона $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x_1)$$\alpha (x_{1})$  удовлетворяет уравнению

$\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x_1)=\frac{f(x_1)-<!--\; -\; -->f(x_0)}{x_1-<!--\; -\; -->x_0}.$$\operatorname {tg}\,\alpha (x_{1})={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}.$ 

В силу существования производной функции $f$$f$  в точке $x_0,$$x_0,$  переходя к пределу при $x_1\to <!--\; \to \; -->x_0,$$x_{1}\to x_{0},$  получаем, что существует предел

$\underset{x_1\to <!--\; \to \; -->x_0}{lim}\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x_1)=f^{\prime }(x_0),$$\lim \limits _{{x_{1}\to x_{0}}}\operatorname {tg}\,\alpha (x_{1})=f'(x_{0}),$ 

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\mathrm{arctg}{f}^{\prime }(x_0).$$\alpha =\operatorname {arctg}\,f'(x_{0}).$ 

Прямая, проходящая через точку $(x_0,f(x_0))$$(x_{0},f(x_{0}))$  и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий $\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=f^{\prime }(x_0),$$\operatorname {tg}\,\alpha =f'(x_{0}),$  задаётся уравнением касательной:

$y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-<!--\; -\; -->x_0).$$y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).$ 

Касательная к окружностиПравить

 

Отрезки касательных

Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

СвойстваПравить

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
3. Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с лучом, проведённым из центра окружности, является тангенсом угла между этим лучом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens — «касательная».

Вариации и обобщенияПравить

Односторонние полукасательныеПравить

• Если существует правая производная $f'_{+}(x_{0})<\infty ,$  то пра́вой полукаса́тельной к графику функции $f$$f$  в точке $x_0$$x_{0}$  называется луч

$y=f(x_0)+f_{+}^{\prime }(x_0)(x-<!--\; -\; -->x_0),x⩾<!--\; ⩾\; -->x_0.$$y=f(x_{0})+f'_{+}(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\geqslant x_{0}.$ 

• Если существует левая производная $f'_{-}(x_{0})<\infty ,$  то ле́вой полукаса́тельной к графику функции $f$$f$  в точке $x_0$$x_{0}$  называется луч

$y=f(x_0)+f_{-<!--\; -\; -->}^{\prime }(x_0)(x-<!--\; -\; -->x_0),x⩽<!--\; ⩽\; -->x_0.$$y=f(x_{0})+f'_{-}(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\leqslant x_{0}.$ 

• Если существует бесконечная правая производная $f_{+}^{\prime }(x_0)=+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}),$$f'_{+}(x_{0})=+\infty \;(-\infty ),$  то правой полукасательной к графику функции $f$$f$  в точке $x_0$$x_{0}$  называется луч

$x=x_0,y⩾<!--\; ⩾\; -->f(x_0)(y⩽<!--\; ⩽\; -->f(x_0)).$$x=x_{0},\;y\geqslant f(x_{0})\;(y\leqslant f(x_{0})).$ 

• Если существует бесконечная левая производная $f_{-<!--\; -\; -->}^{\prime }(x_0)=+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}),$$f'_{-}(x_{0})=+\infty \;(-\infty ),$  то левой полукасательной к графику функции $f$$f$  в точке $x_0$$x_{0}$  называется луч

$x=x_0,y⩽<!--\; ⩽\; -->f(x_0)(y⩾<!--\; ⩾\; -->f(x_0)).$$x=x_{0},\;y\leqslant f(x_{0})\;(y\geqslant f(x_{0})).$ 

См. такжеПравить

• Дифференцируемая функция
• Касательное пространство
• Нормаль, бинормаль
• Теорема о секущих

ЛитератураПравить

• Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.
• Касательная // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.