Калибровка векторного потенциала

Калибро́вка ве́кторного потенциа́ла — наложение дополнительных условий, позволяющих однозначно вычислить векторный потенциал электромагнитного поля ($\mathbf{A}$$\mathbf {A}$) при решении тех или иных физических задач. Налагаемые условия являются искусственными и служат для упрощения математических выкладок. Наиболее широкое распространение получили калибровка Кулона и калибровка Лоренца, но существуют и применяются и другие калибровки.

Возможность и смысл калибровкиПравить

При введении векторного ($\mathbf{A}$$\mathbf {A}$ ) и скалярного ($\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ ) потенциалов электромагнитного поля возникает неоднозначность, не создающая никаких проблем фундаментального плана, но требующая разрешения для проведения расчётов в конкретных задачах. А именно, преобразования

$\mathbf{A}\to <!--\; \to \; -->\mathbf{A}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$${\mathbf {A}}\rightarrow {\mathbf {A}}+\nabla \psi$ ,

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}$$\varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$ ,

где $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r},t)$$\psi =\psi ({\vec {r}},t)$  — произвольная скалярная функция координат ($\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}$${\vec {r}}$ ) и времени ($t$$t$ ), не изменяют вида уравнений Максвелла, а значит, допустимы с физической точки зрения. Необходимо остановиться на каком-то выборе данной функции, причём он может быть сделан из соображений математического удобства. На практике осуществляется не фиксация функции $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$  (при предварительно введённых потенциалах), а наложение некоторого дополнительного условия на сами потенциалы.

Примеры калибровокПравить

Кулоновская калибровкаПравить

Кулоновская калибровка — выбор векторного потенциала магнитного поля (A) с дополнительным условием

$\mathrm{div}\mathbf{A}=0$$\operatorname {div} \,\mathbf {A} =0$ 

Эта калибровка применяется для рассмотрения нерелятивистских магнитостатических задач.

Калибровка ЛоренцаПравить

Калибровка Лоренца — выбор векторного потенциала электромагнитного поля с условием (в системе СИ)

$\mathrm{div}\mathbf{A}+\frac{1}{c}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=0$$\operatorname {div} \,\mathbf {A} +{1 \over c}{\partial \mathbf {\varphi } \over \partial t}=0$ , где $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  — электростатический потенциал.

Эта калибровка применяется для рассмотрения динамических задач. Калибровка Лоренца сохраняется при преобразованиях Лоренца и в ковариантной форме может быть записана как

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{A}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}=0$${\partial A_{\mu } \over \partial x_{\mu }}=0$ 

Калибровка ЛандауПравить

Калибровка Ландау — выбор векторного потенциала магнитного поля в виде $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{A}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})=Bx{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_y$${\vec {A}}({\vec {r}})=Bx{\vec {e}}_{y}$ , где $B$$B$  — магнитное поле, а ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_y$$\vec{e}_y$  — единичный орт по направлению оси y.

Используется для удобства при решении уравнения Шрёдингера в магнитном поле, поскольку позволяет разделить переменные в декартовой системе координат и получить так называемые уровни Ландау.

Симметричная калибровкаПравить

Симметричная калибровка — выбор векторного потенциала магнитного поля в виде $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{A}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})=\frac{1}{2}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}$${\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {1}{2}}{\vec {B}}\times {\vec {r}}$ , где $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B}$${\vec {B}}$  — вектор магнитного поля, а $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}$${\vec {r}}$  — радиус-вектор.

Калибровка ЛондоновПравить

Калибровка Лондонов — выбор векторного потенциала магнитного поля таким образом, чтобы выполнялись условия

$\mathrm{div}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{A}=0$$\operatorname {div} \,{\vec {A}}=0$ 

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{A}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}=0$${\vec {A}}\cdot {\vec {n}}=0$ , где $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}$${\vec {n}}$  -- вектор нормали к поверхности сверхпроводника.

В этой калибровке упрощается запись уравнения Лондонов для линейной электродинамики сверхпроводников.

Калибровка ВейляПравить

Калибровка Вейля — выбор векторного потенциала магнитного поля таким образом, чтобы выполнялись условие

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=0$$\varphi =0$ 

Другие названия — калибровка Гамильтона

$A_4=0$$A_{4}=0$ 

Калибровка ПуанкареПравить

Калибровка Пуанкаре (мультиполярная калибровка) — выбор векторного потенциала магнитного поля таким образом, чтобы выполнялись условие

$\mathbf{r}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{A}=0$$\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} =0$ 

Калибровка Фока — ШвингераПравить

Калибровка Фока — Швингера — выбор векторного потенциала магнитного поля таким образом, чтобы выполнялись условие

$\mathbf{r}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{A}+t\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=0$$\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} +t\cdot \varphi =0$ ,

или

$x^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{A}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=0$$x^{\mu }A_{\mu }=0$ 

Калибровка ДиракаПравить

$A_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{A}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=k^2$$A_{\mu }A^{\mu }=k^{2}$ 

См. такжеПравить

• Калибровочная инвариантность
• Калибровочные преобразования