Итерация (математика)

Итерация (от лат. iteratio «повторение») — результат повторного применения какой-либо математической операции. Так, если $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $y=f(x)=f_{1}(x)$ $y=f(x)=f_{1}(x)$ есть некоторая функция от $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x$ $x$ (отображающая область определения в себя), то функции $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f_{2}(x)=f[f_{1}(x)],f_{3}(x)=f[f_{2}(x)],\ldots ,f_{n}(x)=f[f_{n-1}(x)]$ $f_{2}(x)=f[f_{1}(x)],f_{3}(x)=f[f_{2}(x)],\ldots ,f_{n}(x)=f[f_{n-1}(x)]$ называются соответственно второй, третьей,..., n-й итерациями функции $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f(x)$ $f(x)$ . Например, полагая $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f(x)=x^{a}$ $f(x)=x^{a}$ , получают $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f_{2}(x)=(x^{a})^{a}=x^{a^{2}},f_{3}(x)=(x^{a^{2}})^{a}=x^{a^{3}},\ldots ,f_{n}(x)=(x^{a^{n-1}})^{a}=x^{a^{n}}$ $f_{2}(x)=(x^{a})^{a}=x^{a^{2}},f_{3}(x)=(x^{a^{2}})^{a}=x^{a^{3}},\ldots ,f_{n}(x)=(x^{a^{n-1}})^{a}=x^{a^{n}}$ . Индекс n называют показателем итерации, а переход от функции $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f(x)$ $f(x)$ к $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f_{2}(x),f_{3}(x),\ldots$ $f_{2}(x),f_{3}(x),\ldots$ — итерированием. Итерации появляются при решении различного рода уравнений и систем уравнений итерационными методами (например метод итерации), которые играют важную роль в теории интегральных уравнений. Итеративные методы играют важную роль в теории игр и математическом программировании.

ЛитератураПравить

Итерация // Исландия — Канцеляризмы [Электронный ресурс]. — 2008. — С. 228. — (Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов ; 2004—2017, т. 12). — ISBN 978-5-85270-343-9.
Итерация // Казахстан. Национальная энциклопедия (рус.). — Алматы: Қазақ энциклопедиясы, 2005. — Т. II. — ISBN 9965-9746-3-2. (CC BY-SA 3.0)
Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырский П. И. Вычислительные методы. М., 1976–1977. Т. 1–2;
Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. 3-е изд. СПб., 2002.
Беленький В. З., Волконский В. А., Иванков С. А. Итеративные методы в теории игр и программировании. - М., Наука, 1974. - 238 c.

При написании этой статьи использовался материал из издания «Казахстан. Национальная энциклопедия» (1998—2007), предоставленного редакцией «Қазақ энциклопедиясы» по лицензии Creative Commons BY-SA 3.0 Unported.