Иррациональная последовательность

В математике последовательность целых положительных чисел^[en] a_n называется иррациональной последовательностью, если она обладает свойством, что для любой последовательности x_n положительных целых чисел сумма последовательности

$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{a_n{x}_n}$$\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}x_{n}}}$

существует и является иррациональным числом. Задача описания иррациональных последовательностей поставлена Палом Эрдёшем и Эрнстом Страусом^[en], которые первоначально называли свойство быть иррациональной последовательностью «Свойством P».

ПримерыПравить

Степени двойки^[en] $2^{2^n}$$2^{{2^{n}}}$  образуют иррациональную последовательность. Тем не менее, хотя последовательность Сильвестра

2, 3, 7, 43, 1807, 3 263 443, …

(в которой каждый член на единицу больше произведения всех предыдущих членов) также растёт со скоростью двойной экспоненты^[en], она не образует иррациональную последовательность. Если положить $x_n=1$$x_{n}=1$ , получим

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{43}+\cdots <!--\; \cdots \; -->=1,$${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{43}}+\cdots =1,$ 

которая сходится к рациональному числу. Подобным же образом факториалы $n!$$n!$  не образуют иррациональную последовательность, поскольку последовательность $x_n=n+2$$x_{n}=n+2$  приводит к последовательности с рациональной суммой

$\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{(n+2)n!}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{30}+\frac{1}{144}+\cdots <!--\; \cdots \; -->=1$$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)n!}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{144}}+\cdots =1$ .

Скорость ростаПравить

Любая последовательность a_n, которая растёт со скоростью, такой что

$\underset{n}{lim sup}\frac{\log <!--\; \; -->\log <!--\; \; -->a_n}{n}>\log <!--\; \; -->2$$\limsup _{n}{\frac {\log \log a_{n}}{n}}>\log 2$ 

является иррациональной последовательностью. Сюда входят последовательности, которые растут быстрее двойной экспоненты, как и некоторые двойные экспоненциальные последовательности растущие быстрее, чем степень степени двух.

Любая иррациональная последовательность должна расти достаточно быстро, так что

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{a}_n^{1/n}=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}.$$\lim _{{n\to \infty }}a_{n}^{{1/n}}=\infty .$ 

Однако не известно, существует ли такая последовательность, в которой НОД любой пары множителей равен 1 (в отличие от степени степени двух) и для которой

$\lim _{n\to \infty }a_{n}^{1/2^{n}}<\infty$ .

Связанные свойстваПравить

По аналогии с иррациональными последовательностями, Ханчл (Hančl 1996) определил трансцендентные последовательности как последовательности целых чисел a_n, такие, что для любой последовательности x_n положительных целых чисел сумма последовательности

$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{a_n{x}_n}$$\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}x_{n}}}$ 

существует и является трансцендентным числом.