Интерполирование с кратными узлами

Интерполирование с кратными узлами — задача о построении многочлена минимальной степени, принимающего в некоторых точках (узлах интерполяции) заданные значения, а также заданные значения производных до некоторого порядка.

Показывается, что существует единственный многочлен $P_n(x)$$\ P_n(x)$ степени $n$$\ n$, удовлетворяющий условиям:

$P_n^{(k)}(x_i)=f_{i,k},i=1,\cdots <!--\; \cdots \; -->,m;k=0,\cdots <!--\; \cdots \; -->,n_i-<!--\; -\; -->1$$P_{n}^{(k)}(x_{i})=f_{i,k},i=1,\cdots ,m;k=0,\cdots ,n_{i}-1$, где $n_1+n_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+n_m=n+1$$n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{m}=n+1$.

Этот многочлен называют многочленом с кратными узлами, или многочленом Эрмита. В общем виде:

$P_n(x)=\underset{i=1}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{k=0}{\overset{n_i-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{l}_{i,k}(x)f_{i,k}$$P_{n}(x)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{k=0}^{n_{i}-1}l_{i,k}(x)f_{i,k}$, $m$$\ m$ — количество узлов и $n_i$$\ n_{i}$ — кратность узла $x_i$$\ x_{i}$.

Шарль Эрмит показал, что

$l_{i,k}(x)=\left[\frac{1}{k!}\frac{\underset{j=1}{\overset{m}{\prod <!--\; \prod \; -->}}(x-<!--\; -\; -->x_j{)}^{n_j}}{(x-<!--\; -\; -->x_i{)}^{n_i}}\right]\underset{s=0}{\overset{n_i-<!--\; -\; -->k-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_s^i(x-<!--\; -\; -->x_i{)}^{k+s}$$l_{i,k}(x)=\left[{\frac {1}{k!}}{\frac {\prod _{j=1}^{m}(x-x_{j})^{n_{j}}}{(x-x_{i})^{n_{i}}}}\right]\sum _{s=0}^{n_{i}-k-1}c_{s}^{i}(x-x_{i})^{k+s}$, где $c_s^i$$\ c_{s}^{i}$ — коэффициенты ряда Тейлора для функции $\frac{(x-<!--\; -\; -->x_i{)}^{n_i}}{\underset{j=1}{\overset{m}{\prod <!--\; \prod \; -->}}(x-<!--\; -\; -->x_j{)}^{n_j}}=\underset{s=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_s^i(x-<!--\; -\; -->x_i{)}^s$${\frac {(x-x_{i})^{n_{i}}}{\prod _{j=1}^{m}(x-x_{j})^{n_{j}}}}=\sum _{s=0}^{\infty }c_{s}^{i}(x-x_{i})^{s}$.

Частные случаиПравить

• Если все $n_i$$\ n_{i}$  равны единице, то интерполяционный многочлен Эрмита совпадает с интерполяционным многочленом Лагранжа.
• Если количество узлов интерполяции равно единице, то интерполяционный многочлен Эрмита совпадает с многочленом Тейлора.
• Если количество узлов интерполяции равно двум и в каждом задано значение функции и значение её производной — имеем задачу о построении кубического сплайна.

См. такжеПравить

• Интерполяционный многочлен Лагранжа
• Интерполяционный многочлен Ньютона
• Интерполяционный тригонометрический многочлен
• Интерполяция сплайнами

ЛитератураПравить

• Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973.