Интеграл Римана — Стилтьеса

Интеграл Ри́мана — Сти́лтьеса — обобщение определённого интеграла, предложенное в 1894 году Т. И. Стилтьесом. Вместо предела обычных интегральных сумм

$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}f({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i)(x_i-<!--\; -\; -->x_{i-<!--\; -\; -->1})$$\sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})}$

рассматривается предел сумм вида

$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}f({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i)(j(x_i)-<!--\; -\; -->j(x_{i-<!--\; -\; -->1})),$$\sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})(j(x_{i})-j(x_{i-1}))},$

где интегрирующая функция $j(x)$$j(x)$ есть функция с ограниченным изменением (ограниченной вариацией). Если $j(x)$$j(x)$ непрерывно дифференцируема, то интеграл Стилтьеса выражается через интеграл Римана:

$\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dj(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)j^{\prime }(x)dx$$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dj(x)=\int \limits _{a}^{b}f(x)j'(x)\,dx$ (если последний существует).

ПримененияПравить

Интеграл Римана — Стилтьеса имеет многочисленные применения в анализе. Например, всякий линейный непрерывный функционал в пространстве непрерывных на отрезке числовой оси функций может быть записан в форме интеграла Римана — Стилтьеса, всякая абсолютно монотонная при $x<0$  функция может быть представлена в виде суммы константы и интеграла Римана — Стилтьеса, всякая аналитическая функция в круге $|z|<1$  с неотрицательной вещественной частью может быть записана в виде суммы комплексного числа и интеграла Римана — Стилтьеса.

ЛитератураПравить

• Рудин, У. Основы математического анализа . — М.: Мир, 1976.
• Шилов, Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.