Интеграл Курцвейля — Хенстока

Интеграл Курцвейля — Хенстока — обобщение интеграла Римана, позволяет полностью решить задачу о восстановлении дифференцируемой функции по её производной. Ни интеграл Римана (в том числе и несобственный), ни интеграл Лебега не дают решения этой задачи в общем случае.

ИсторияПравить

Первое определение интеграла, позволяющего решить задачу в общем случае, было дано Арно Данжуа в 1912 году. Он совершил попытку определить интеграл, позволивший бы интегрировать, например, производную функции $f(x)=x^2\cos <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{x^2}\right)$$f(x)=x^{2}\cos \left({\frac {\pi }{x^{2}}}\right)$ , доопределенной нулем в нуле. Функция $f^{\prime }(x)$$\displaystyle f'(x)$  определена и конечна во всех точках, но не интегрируема по Лебегу в окрестности нуля. В попытке создания общей теории Данжуа использовал трансфинитную индукцию по возможным типам особенностей, которые сделали определение довольно сложным. Чуть позже Николай Лузин упростил определение Данжуа, но даже и после упрощения это определение оставалось технически очень сложным. В 1914 году Оскаром Перроном дано другое определение интеграла, также позволяющее полностью решить задачу о восстановлении функции по её производной. Через 10 лет Павел Александров и Роберт Ломан установили тождественность интегралов Данжуа и Перрона.

В 1957 году чешский математик Ярослав Курцвейль предложил новое определение интеграла, также позволявшее полностью решить задачу о восстановлении функции по её производной. Его определение являлось модификацией определения интеграла Римана. Дальнейшая теория этого интеграла была разработана Ральфом Хенстоком, после его работ конструкция известна как интеграл Курцвейля — Хенстока. Этот интеграл также тождественен интегралам Данжуа и Перрона и тем самым, в одномерном случае, покрывает интеграл Лебега.

По причине простоты определения интеграла Хенстока — Курцвейля некоторые преподаватели выступают за то, чтобы ввести его в программу начального курса математического анализа, но пока эта идея частично реализована лишь на механико-математических факультетах Московского государственного университета и Саратовского государственного университета.

ОпределениеПравить

Для определения интеграла Курцвейля — Хенстока вводится несколько промежуточных понятий:

• калибровочная функция (масштаб)— произвольная функция $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}:<!--\; :\; -->[a,b]\to <!--\; \to \; -->(0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$\delta \colon [a,b]\to (0,\infty )$ ;
• отмеченное разбиение $P$$P$  отрезка $[a,b]$$[a,b]$  — конечный набор пар $({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k,[x_{k-<!--\; -\; -->1},x_k])$$\displaystyle (\xi _{k},[x_{k-1},x_{k}])$ , где $a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}=b$  и ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k\in <!--\; \in \; -->[x_{k-<!--\; -\; -->1},x_k]$$\xi _{k}\in [x_{k-1},x_{k}]$ ;
• отмеченное разбиение $P$$P$  называется $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$ -тонким (согласованным с $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$ ), если $\xi _{k}-\delta (\xi _{k})<x_{k-1}\leqslant \xi _{k}\leqslant x_{k}<\xi _{k}+\delta (\xi _{k})$  при всех $k$$k$  от $1$$1$  до $n$$n$ ;
• для отмеченного разбиения $P$$P$  и функции $f:<!--\; :\; -->[a,b]\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$  интегральной суммой называется выражение:

  $S(P,f)=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(x_k-<!--\; -\; -->x_{k-<!--\; -\; -->1})f({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k)$$S(P,f)=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})f(\xi _{k})$ .

Функция $f:<!--\; :\; -->[a,b]\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$  называется интегрируемой по Курцвейлю — Хенстоку на отрезке $[a,b]$$[a,b]$ , если существует число $I$$I$  (называемое интегралом Курцвейля — Хенстока от функции $f$$f$  на отрезке $[a,b]$$[a,b]$ ), обладающее следующим свойством: для любого $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  существует такая калибровочная функция ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$$\delta _{\varepsilon }$ , что для любого согласованного с ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$$\delta _{\varepsilon }$  отмеченного разбиения $P$$P$  имеет место неравенство $|S(P,f)-I|<\varepsilon$ .

Существование согласованных с $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$  отмеченных разбиений для данной калибровочной функции $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$  следует из теоремы Кузена (англ. Cousin's theorem).

Интеграл Римана является частным случаем интеграла Курцвейля — Хенстока, в его определении допускаются только постоянные калибровочные функции.

ЛитератураПравить

• Лукашенко Т. П., Скворцов В. А., Солодов А. П. Обобщенные интегралы 2010. 280 с. ISBN 978-5-397-00267-7

СсылкиПравить

• Несобственный интеграл Римана и интеграл Хенстока в $R^n$$R^{n}$ , П. Мальдониa, В. А. Скворцов Матем. заметки, 2005, том 78, выпуск 2, страницы 251—258
• Обобщенные интегралы и ряды Фурье И. А. Виноградова, В. А. Скворцов Итоги науки. Сер. Математика. Мат. анал. 1970, 1971, страницы 65-107