Интегральное уравнение Гаммерштейна

Интегральное уравнение Гаммерштейна — нелинейное интегральное уравнение вида: $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)={\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}K(t,s)\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(s,\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(s))ds+f(t)$$\phi (t)=\int _{a}^{b}K(t,s)\Psi (s,\phi (s))ds+f(t)$. Здесь $K(t,s),\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(s,z),t(t)$$K(t,s),\Psi (s,z),t(t)$ - известные функции, $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)$$\phi (t)$ - искомая функция.

Теорема существования решенияПравить

Уравнение Гаммерштейна $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)={\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}K(t,s)F(s,\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(s))ds$$\phi (t)=\int _{a}^{b}K(t,s)F(s,\phi (s))ds$  имеет по крайней мере одно решение, если выполняются следующие условия:

1. для линейного интегрального уравнения с ядром $K(t,s)$$K(t, s)$  справедливы теоремы Фредгольма и итерированное ядро $K_2(t,s)$$K_{2}(t,s)$  непрерывно;
2. ядро $K(t,s)$$K(t, s)$  симметрично, то есть $K(t,s)=K(s,t)$$K(t,s)=K(s,t)$ ;
3. ядро $K(t,s)$$K(t, s)$  положительно определённое, то есть все его характеристические числа положительны;
4. функция $K(t,s)$$K(t, s)$  удовлетворяет условию $\mid <!--\; \mid \; -->K(t,s)\mid <!--\; \mid \; -->⩽<!--\; ⩽\; -->C_1\mid <!--\; \mid \; -->z\mid <!--\; \mid \; -->+C_2$$\mid K(t,s)\mid \leqslant C_{1}\mid z\mid +C_{2}$ , где

$C_1,C_2$$C_{1},C_{2}$  - положительные постоянные, $C_{1}<\lambda _{1}$ , ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1$$\lambda _{1}$  - наименьшее характеристическое число ядра $K(t,s)$$K(t, s)$ ;

Теоремы единственности решенияПравить

• Уравнение Гаммерштейна $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)={\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}K(t,s)F(s,\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(s))ds$$\phi (t)=\int _{a}^{b}K(t,s)F(s,\phi (s))ds$  имеет самое большее одно решение, если для любого фиксированного $s\in <!--\; \in \; -->\left[a,b\right]$$s\in \left[a,b\right]$  функция $F(s,z)$$F(s,z)$  является неубывающей функцией $z$$z$ .

• Уравнение Гаммерштейна $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)={\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}K(t,s)F(s,\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(s))ds$$\phi (t)=\int _{a}^{b}K(t,s)F(s,\phi (s))ds$  имеет самое большее одно решение, если функция $F(s,z)$$F(s,z)$  равномерно удовлетворяет условию Липшица $\mid F(s,z_{2})-F(s,z_{1})\mid <\alpha \mid z_{2}-z_{1}\mid$ , где $0<\alpha <\lambda _{1}$ 

ЛитератураПравить

• Краснов М. Л. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1975. — 304 с.