Индуктивная размерность

Индуктивная размерность — тип определения размерности топологического пространства, основанный на наблюдении, что сферы в Евклидовом пространстве имеют размерность на единицу меньше.

Существует два варианта определения индуктивной размерности, так называемые большая и малая индуктивные размерности; для пространства $X$$X$ они обычно обозначаются $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}X$$\mathrm {Ind} \,X$ и $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}X$$\mathrm {ind} \,X$ соответственно. В большинстве топологических пространств встречающихся в приложениях обе размерности совпадают, и они также равны размерности Лебега.

ОпределениеПравить

По определению размерность пустого множества считается равной $-<!--\; -\; -->1$$-1$ ; то есть

$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}=-<!--\; -\; -->1$$\mathrm {ind} \,\varnothing =\mathrm {Ind} \,\varnothing =-1$ 

$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}X$$\mathrm {ind} \,X$  — малая индуктивная размерность топологического пространства $X$$X$ , определяется как наименьшее число $n$$n$  такое, что для любой точки $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$  и любой её открытой окрестности $U$$U$ , существует открытое множество $W$$W$ , что $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}W\le <!--\; \le \; -->n-<!--\; -\; -->1$$\mathrm {ind} \,\partial W\leq n-1$ , то есть малая индуктивная размерность границы $W$$W$  не превосходит $n-<!--\; -\; -->1$$n-1$  и

$x\in <!--\; \in \; -->W\subset <!--\; \subset \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{W}\subset <!--\; \subset \; -->U,$$x\in W\subset {\bar {W}}\subset U,$ 

где $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{W}$${\bar {W}}$  обозначает замыкание $W$$W$ .

$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}X$$\mathrm {Ind} \,X$  — большая индуктивная размерность определяется похожим способом: как наименьшее число $n$$n$  такое, что для любого замкнутого множества $K\subset <!--\; \subset \; -->X$$K\subset X$  и любой его открытой окрестности $U$$U$ , существует открытое множество $W$$W$ , что $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}W\le <!--\; \le \; -->n-<!--\; -\; -->1$$\mathrm {Ind} \,\partial W\leq n-1$  и

$K\subset <!--\; \subset \; -->W\subset <!--\; \subset \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{W}\subset <!--\; \subset \; -->U.$$K\subset W\subset {\bar {W}}\subset U.$ 

ЗамечанияПравить

• Размерность Лебега является ещё одним вариантом определения размерности топологического пространства; термин «топологическая размерность» обычно используется именно для размерности Лебега, для пространства $X$$X$  она обывно обозначаются $\dim <!--\; \; -->X$$\dim X$ .

СвойстваПравить

• $\dim <!--\; \; -->X=0$$\dim X=0$  тогда и только тогда, когда $\mathrm{Ind}<!--\; \; -->X=0.$$\operatorname {Ind} X=0.$ 
• (Теорема Урысона) для нормального пространства $X$$X$  со счётной базой, выполняется равенство

  $\dim <!--\; \; -->X=\mathrm{Ind}<!--\; \; -->X=\mathrm{ind}<!--\; \; -->X.$$\dim X=\operatorname {Ind} X=\operatorname {ind} X.$ 

Иначе говоря, у сепарабельных и метризуемых пространств, обе индуктивные размерности совпадают с размерностью Лебега.

• Для метризуемых пространств $X$$X$  выполнено следующее (Мирослав Катетов)

  $\dim <!--\; \; -->X=\mathrm{Ind}<!--\; \; -->X\ge <!--\; \ge \; -->\mathrm{ind}<!--\; \; -->X.$$\dim X=\operatorname {Ind} X\geq \operatorname {ind} X.$ 

• Если пространство $X$$X$  компактно и хаусдорфово то (П. С. Александров)

  $\mathrm{Ind}<!--\; \; -->X\ge <!--\; \ge \; -->\mathrm{ind}<!--\; \; -->X\ge <!--\; \ge \; -->\dim <!--\; \; -->X.$$\operatorname {Ind} X\geq \operatorname {ind} X\geq \dim X.$ 

  • Оба эти неравенства могут быть строгими (В. В. Филиппов)

• Сепарабельное метрическое пространство $X$$X$  удовлетворяет неравенству $\mathrm{Ind}<!--\; \; -->X\le <!--\; \le \; -->n$$\operatorname {Ind} X\leq n$  тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого подпространства $A$$A$  пространства $X$$X$ , каждое непрерывное отображение $f:A\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{S}}^n$$f:A\to \mathbb {S} ^{n}$  допускает непрерывное продолжение $F:X\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{S}}^n$$F:X\to \mathbb {S} ^{n}$ .

ЛитератураПравить

• Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973
• Crilly, Tony, 2005, «Paul Urysohn and Karl Menger: papers on dimension theory» in Grattan-Guinness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 844-55.
• R. Engelking, Theory of Dimensions. Finite and Infinite, Heldermann Verlag (1995), ISBN 3-88538-010-2.

ISBN

1

3-88538-010-2

• V. V. Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory, appearing in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I, (1993) A. V. Arkhangel’skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178-4.

ISBN

1

3-540-18178-4

• V. V. Filippov, On the inductive dimension of the product of bicompacta, Soviet. Math. Dokl., 13 (1972), N° 1, 250—254.
• A. R. Pears, Dimension theory of general spaces, Cambridge University Press (1975).