Инвариантная производная по времени

Инвариантная производная по времени — это производная по времени инерциальной системы. В самой инерциальной системе инвариантная производная по времени есть просто обычная производная по времени: $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}$${\frac {\partial }{\partial t}}$. В неинерциальной системе инвариантная производная по времени состоит из суммы обычной производной по времени $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}$${\frac {\partial }{\partial t}}$ и дополнительных слагаемых, связанных со скоростью $V^i$$V^i$ движения неинерциальной системы относительно инерциальной. Поле скоростей может быть неоднородным $V^i(x)$$V^{i}(x)$ и в общем случае зависеть от времени $V^i(x,t)$$V^{i}(x,t)$. Так, например, в неинерциальной системе, связанной с неравномерно вращающимся колесом, поле скоростей неоднородно в пространстве и во времени. Поскольку поле скоростей $V^i(x,t)$$V^{i}(x,t)$ есть относительная скорость движения координатных систем, которые не являются материальными объектами, то эта скорость по величине может превышать скорость света и даже быть бесконечной. Никакого противоречия со специальной теорией относительности (СТО) при этом, конечно же, не возникает. Например, поле скоростей неинерциальной системы, связанной с вращающимся колесом, на достаточно большом расстоянии от центра вращения по величине превышает скорость света и стремится к бесконечности при дальнейшем удалении от центра.

Обозначим посредством $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}$${\bar {x}}$ координаты в инерциальной системе, а $x(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x},t)$$x({\bar {x}},t)$ — координаты в неинерциальной. Тогда скорость движения неинерциальной системы относительно инерциальной есть

$V^i(x,t)=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^i(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x},t)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}$$V^{i}(x,t)={\frac {\partial x^{i}({\bar {x}},t)}{\partial t}}$

Инвариантная производная по времени от скаляра $F(x,t)$$F(x,t)$ в неинерциальной системе есть:

$D_{t}F(x,t)=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^i}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+V^i(x,t)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}F}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^i}$$D_{t}F(x,t)={\frac {\partial F}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial t}}={\frac {\partial F}{\partial t}}+V^{i}(x,t){\frac {\partial F}{\partial x^{i}}}$.

Инвариантная производная по времени от тензоров имеет дополнительные слагаемые, связанные с преобразованием их компонент при переходе из одной системы координат в другую $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}\to <!--\; \to \; -->x(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x},t)$${\bar {x}}\to x({\bar {x}},t)$. Так, например, для векторов и ковекторов имеем:

$A^i=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}^j}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}}^j$$A^{i}={\frac {\partial x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{j}}}{\bar {A}}^{j}$;

$A_i=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}^j}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^i}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}}_j$$A_{i}={\frac {\partial {\bar {x}}^{j}}{\partial x^{i}}}{\bar {A}}_{j}$.

Следовательно,

$D_t{A}^i=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{A}^i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+V^j\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{A}^i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^j}-<!--\; -\; -->A^j\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{V}^i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^j}$$D_{t}A^{i}={\frac {\partial A^{i}}{\partial t}}+V^{j}{\frac {\partial A^{i}}{\partial x^{j}}}-A^{j}{\frac {\partial V^{i}}{\partial x^{j}}}$;

$D_t{A}_i=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{A}_i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+V^j\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{A}_i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^j}+A_j\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{V}^j}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^i}$$D_{t}A_{i}={\frac {\partial A_{i}}{\partial t}}+V^{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{j}}}+A_{j}{\frac {\partial V^{j}}{\partial x^{i}}}$.

Аналогично вычисляются инвариантные производные по времени от тензоров высших рангов.

Важным свойством инвариантной производной по времени является то, что все производные по пространственным координатам $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^i}$${\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ в правых частях приведённых выше выражений можно заменить на ковариантные производные, согласованные с метрикой пространства $d{l}^2={\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{ij}d{x}^{i}d{x}^j$$dl^{2}=\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j}$, то есть

$D_t{A}^i={\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t{A}^i+V^j{A}_{;j}^i-<!--\; -\; -->A^j{V}_{;j}^i$$D_{t}A^{i}=\partial _{t}A^{i}+V^{j}A_{;j}^{i}-A^{j}V_{;j}^{i}$,

$D_t{A}_i={\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t{A}_i+V^j{A}_{i;j}+A_j{V}_{;i}^j$$D_{t}A_{i}=\partial _{t}A_{i}+V^{j}A_{i;j}+A_{j}V_{;i}^{j}$,

при этом слагаемые со связностями Кристоффеля взаимно сокращаются.

Рассмотренные выше «добавки» к обычным производным по времени являются Ли — вариациями (или, иначе, производными Ли) тензорных полей вдоль векторного поля $V^i$$V^i$, которые были изучены выдающимся норвежским математиком Софусом Ли (1842—1899).

Всем известные центробежное и кориолисово ускорения, появляющиеся во вращающейся неинерциальной системе, — дополнительные слагаемые в инвариантной производной по времени от вектора скорости движущейся материальной точки.

ЛитератураПравить

• Д. Е. Бурланков, Динамика пространства. Монография 2005 г. 179 стр.