Икосаэдральное число

Икосаэдра́льное число́ — разновидность многогранных фигурных чисел, связанная с икосаэдром. Общая формула для $n$$n$-го по порядку икосаэдрального числа $I_n$$I_{n}$:

$I_n=\frac{n(5n^2-<!--\; -\; -->5n+2)}{2}$$I_{n}={\frac {n(5n^{2}-5n+2)}{2}}$

Первые из икосаэдральных чисел (последовательность A006564 в OEIS):

$1,12,48,124,255,456,742,1128,1629,2260\dots <!--\; \dots \; -->$$1,12,48,124,255,456,742,1128,1629,2260\dots$

Рекуррентная формула:

$I_n=I_{n-<!--\; -\; -->1}+\frac{15n^2-<!--\; -\; -->25n+12}{2};I_1=1$$I_{n}=I_{n-1}+{\frac {15n^{2}-25n+12}{2}};\quad I_{1}=1$

Производящая функция последовательности:

${\frac {x(1+8x+6x^{2})}{(1-x)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}x^{n};\quad |x|<1$

Связь с тетраэдральными числами ${\mathbb{T}}_n$$\mathbb {T} _{n}$:

$I_n={\mathbb{T}}_n+8{\mathbb{T}}_{n-<!--\; -\; -->1}+6{\mathbb{T}}_{n-<!--\; -\; -->2}$$I_{n}=\mathbb {T} _{n}+8\mathbb {T} _{n-1}+6\mathbb {T} _{n-2}$

Из общей формулы видно, что икосаэдральное число всегда составное (делится на $n$$n$).

ЛитератураПравить

• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.