Изохорный процесс

Изохо́рный, или изохори́ческий проце́сс (от др.-греч. ἴσος — «равный» и χώρος — «место») — термодинамический изопроцесс, который происходит при постоянном объёме. Для осуществления изохорного процесса в газе или жидкости достаточно нагревать или охлаждать вещество в сосуде неизменного объёма.

При изохорическом процессе давление идеального газа прямо пропорционально его температуре (см. Закон Шарля). В реальных газах закон Шарля выполняется приближённо.

На графиках в координатах состояния ($P-<!--\; -\; -->V,P-<!--\; -\; -->T,V-<!--\; -\; -->T$$P-V,\ P-T,\ V-T$) изображается линиями, которые называются изохоры. Для идеального газа они являются прямыми во всех диаграммах, которые связывают параметры: $T$$T$ (температура), $V$$V$ (объем) и $P$$P$ (давление).

ИсторияПравить

 

Иллюстрация зависимости давления от температуры при постоянном объёме

Наиболее часто первые исследования изохорного процесса связывают с Гийомом Амонтоном. В своей работе «Парижские мемуары» в 1702 году он описал поведение газа в фиксированном объёме внутри так называемого «воздушного термометра». Жидкость в нём находится в равновесии под воздействием давления газа в резервуаре и атмосферным давлением. При нагревании давление в резервуаре увеличивается, и жидкость вытесняется в выступающую трубку. Зависимость между температурой и давлением была установлена в виде:

$\frac{p_1}{p_2}=\frac{1+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{t}_1}{1+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{t}_2}.$${\frac {p_{1}}{p_{2}}}={\frac {1+\alpha t_{1}}{1+\alpha t_{2}}}.$ 

В 1801 году Джон Дальтон в двух своих эссе опубликовал эксперимент, в котором установил, что все газы и пары, исследованные им при постоянном давлении, одинаково расширяются при изменении температуры, если начальная и конечная температура одинакова. Данный закон получил название закона Гей-Люссака, так как Гей-Люссак вскоре провёл самостоятельные эксперименты и подтвердил одинаковое расширение различных газов, причём получив практически тот же самый коэффициент, что и Дальтон. Впоследствии он же объединил свой закон с законом Бойля — Мариотта, что позволило описывать в том числе и изохорный процесс.

Термодинамика процессаПравить

 

График изохорного процесса на диаграмме в координатах $P,V$$P,\ V$ 

 

Графики изопроцессов в идеальном газе

Из определения работы следует, что элементарная работа при термодинамическом процессе равна:

$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}A=PdV.$$\delta A=PdV.$ 

Чтобы определить полную работу процесса проинтегрируем данное выражение:

$A=\underset{V_1}{\overset{V_1}{\int <!--\; \int \; -->}}PdV,$$A=\int \limits _{V_{1}}^{V_{1}}PdV,$ 

но, поскольку объём неизменен, то есть $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}V=0$$\Delta V=0$ , то такой интеграл равен нулю. Поэтому при изохорном процессе газ работы не совершает:

$A=0.$$A=0.$ 

Это же можно показать на графике изохорного процесса. С математической точки зрения, работа процесса равна площади такого графика. Но график изохорного процесса является прямой перпендикулярной к оси объёма. Таким образом, площадь под ним равна нулю.

Изменение внутренней энергии идеального газа можно найти по формуле:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}U=\frac{i}{2}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}R\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}T,$$\Delta U={\frac {i}{2}}\nu R\Delta T,$ 

где $i$$i$  — число степеней свободы, которое зависит от количества атомов в молекуле газа (3 — для одноатомной (например, неон), 5 — для двухатомной (например, кислород) и 6 — для трёхатомной и более (например, молекула углекислого газа)).

Из определения и формулы теплоёмкости формулу для внутренней энергии можно переписать в виде:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}U=\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}{c}_v^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}T,$$\Delta U=\nu \ c_{v}^{\mu }\ \Delta T,$ 

где $c_v^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$c_{v}^{{\mu }}$  — молярная теплоёмкость при постоянном объёме.

Используя первое начало термодинамики можно найти количество теплоты при термодинамическом процессе:

$Q=\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}U+A.$$Q=\Delta U+A.$ 

Но при изохорном процессе газ не выполняет работу. То есть, имеет место равенство:

$Q=\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}U=\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}{c}_v^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}T,$$Q=\Delta U=\nu \ c_{v}^{\mu }\ \Delta T,$ 

таким образом, вся теплота, которую получает газ, идёт на изменение его внутренней энергии.

Энтропия при изохорном процессеПравить

Поскольку в системе при изохорном процессе происходит теплообмен с внешней средой, то происходит изменение энтропии. Из определения энтропии следует:

$dS=\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}Q}{T},$$dS={\delta Q \over T},$ 

где $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}Q$${\textstyle \delta Q}$  — элементарное количество теплоты.

Выше была выведена формула для определения количества теплоты. Если её переписать в дифференциальном виде:

$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}Q=\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}{c}_v^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}dT,$${\textstyle \delta Q=\nu \ c_{v}^{\mu }\ dT,}$ 

где $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$  — количество вещества,

$c_v^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$${\textstyle c_{v}^{\mu }}$  — молярная теплоемкость при постоянном объёме.

Микроскопическое изменение энтропии при изохорном процессе можно определить по формуле:

$dS=\frac{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}{c}_v^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}dT}{T}dy/dxdy/dx.$${\textstyle dS={\nu \ c_{v}^{\mu }\ dT \over T}dy/dx\ dy/dx.}$ 

Или, если проинтегрировать последнее выражение, полное изменение энтропии в этом процессе:

$\underset{S_1}{\overset{S_2}{\int <!--\; \int \; -->}}dS=\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\underset{T_1}{\overset{T_2}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{c_v^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}dT}{T}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}S=\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\underset{T_1}{\overset{T_2}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{c_v^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}dT}{T}.$${\textstyle \int \limits _{S_{1}}^{S_{2}}dS=\nu \int \limits _{T_{1}}^{T_{2}}{c_{v}^{\mu }\ dT \over T}\Rightarrow \Delta S=\nu \int \limits _{T_{1}}^{T_{2}}{c_{v}^{\mu }\ dT \over T}.}$ 

В данном случае выносить выражение молярной теплоемкости при постоянном объёме за знак интеграла нельзя, поскольку она является функцией, которая зависит от температуры.

Практическое применение теории изохорного процессаПравить

 

$p-<!--\; -\; -->V$$p-V$  диаграмма цикла Отто

Основные статьи: Цикл Отто, Цикл Стирлинга и Адиабатический процесс

При идеальном цикле Отто, который приближённо воспроизведён в бензиновом двигателе внутреннего сгорания, такты 2—3 и 4—1 являются изохорными процессами.

Работа, совершаемая на выходе двигателя, равна разности работ, которую произведёт газ над поршнем во время третьего такта (то есть рабочего хода), и работы, которую затрачивает поршень на сжатие газа во время второго такта. Так как в двигателе, работающем по циклу Отто используется система принудительного зажигания смеси, то происходит сжатие газа в 7—12 раз.

 

Анимация классического двигателя Стирлинга с конфигурацией бета-типа, при которой рабочий и вытеснительный поршни скомпонованы в одном цилиндре

В цикле Стирлинга также присутствуют два изохорных такта. Для его осуществления в двигателе Стирлинга добавлен регенератор. Газ, проходя через наполнитель в одну сторону, отдаёт тепло от рабочего тела к регенератору, а при движении в другую сторону отдаёт его обратно рабочему тему. Идеальный цикл Стирлинга достигает обратимости и тех же величин КПД что и цикл Карно. Изохорный процесс - также процесс, протекающий в автоклавах и пьезометрах

См. такжеПравить

• Молекулярно-кинетическая теория
• Изотермический процесс
• Изобарный процесс

ПримечанияПравить

Список литературыПравить

1. Кириллин В. А., Сычёв В. В., Шейндлин А. Е. Техническая термодинамика: учебник для вузов. — М.: Издательство МЭИ, 2008. — 496 с. Архивная копия от 24 ноября 2011 на Wayback Machine
2. Крестовников А. Н., Вигдорович В. Н. Химическая термодинамика. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Металлургия, 1973. — 256 с.
3. Кудрявцев П. С. История физики. — М.: Гос. учебно-педагог. изд-во, 1956. — Т. 1. От античной физики до Менделеева. — 564 с. — 25 000 экз.
4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2005. — 616 с. — («Теоретическая физика», том V). — ISBN 5-9221-0054-8.
5. Савельев И. В. Курс общей физики:Молекулярная физика и термодинамика. — М.: Астрель, 2001. — Т. 3. — 208 с. — 7000 экз. — ISBN 5-17-004585-9.
6. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1975. — Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. — 519 с.
7. J. Dalton. 2 // Memoirs of the Literary and Philosophical Society of Manchester. — 1802. — Т. 5. — 701 с.
8. Alejandro Romanelli. Alternative thermodynamic cycle for the Stirling machine. — Montevideo, Uruguay: Instituto de F´ısica, Facultad de Ingenier´ıa Universidad de la Rep´ublica, 2017.