Спектральная плотность излучения

Спектра́льная пло́тность излуче́ния — термин в фотометрии и теории электромагнитных волн, под которым, в зависимости от контекста, может пониматься одна из следующих физических величин:

• спектральная объёмная плотность энергии излучения, то есть характеристика области пространства, в которой наличествует электромагнитное излучение. Такая величина рассчитывается как

$u_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=⟨<!--\; ⟨\; -->\frac{dW}{dVd\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}⟩<!--\; ⟩\; -->$$u_{\nu }=\langle {\frac {dW}{dV~d\nu }}\rangle \quad$ (вариант: $u_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}=⟨<!--\; ⟨\; -->\frac{dW}{dVd\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}⟩<!--\; ⟩\; -->$$u_{\lambda }=\langle {\frac {dW}{dV~d\lambda }}\rangle$),

где $W$$W$ — энергия, $V$$V$ — объём, $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}/2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\nu =\omega /2\pi$ — частота (Гц) и $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ — длина волны излучения;

• спектральная поверхностная плотность мощности излучения (также: спектральная излучательная или испускательная способность), то есть характеристика излучающей поверхности рассматриваемого тела. Эта величина определяется как

$I_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=⟨<!--\; ⟨\; -->\frac{dP}{dSd\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}⟩<!--\; ⟩\; -->$$I_{\nu }=\langle {\frac {dP}{dS~d\nu }}\rangle \quad$ (вариант: $I_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}=⟨<!--\; ⟨\; -->\frac{dP}{dSd\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}⟩<!--\; ⟩\; -->$$I_{\lambda }=\langle {\frac {dP}{dS~d\lambda }}\rangle$),

где $P$$P$ — мощность, а $S$$S$ — площадь излучателя.

Усреднение производится по большому промежутку времени. Упомянутые величины $u$$u$ и $I$$I$ связаны соотношением $u=4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/c\cdot <!--\; \cdot \; -->I$$u=4\pi /c\cdot I$, где $c$$c$ — скорость света. Ниже для определённости рассматривается $I$$I$. Общепринятых буквенных обозначений для обсуждаемых величин нет, однако принято вводить дополнительный значок, указывающий на аргумент, по которому берётся интервал и от которого зависит спектральная плотность: $I_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})$$I_{\nu }(\nu )$ или $I_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$I_{\lambda }(\lambda )$.

Спектрограммы двух источников света: слева — лампа накаливания, справа — флюоресцентная лампа. По горизонтали отложена длина волны $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ в нм (видимый диапазон; соответствующие цвета показаны). Чёрный график — спектральная плотность излучения $I_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$I_{\lambda }(\lambda )$.

Смотря по тому, частота или же длина волны выбрана в качестве аргумента, спектральная плотность излучения $I$$I$ в СИ будет измеряться в (Вт/м²)/Гц или в (Вт/м²)/м. Аналогично для $u$$u$: в (Дж/м³)/Гц или в (Дж/м³)/м.

Поскольку частота и длина волны связаны как $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}=c$$\lambda \nu =c$, переход от $I_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})$$I_{\nu }(\nu )$ к $I_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$I_{\lambda }(\lambda )$ осуществляется через

$I_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=I_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\left(\frac{c}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{c}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2}$$I_{\lambda }(\lambda )=I_{\nu }\left({\frac {c}{\lambda }}\right)\cdot {\frac {c}{\lambda ^{2}}}$.

Обычно (см. примеры на рисунке) энергия излучения неравномерно распределена по волнам различных длин. Поэтому спектральная плотность излучения сложным образом зависит от выбранного аргумента (в данном примере — длины волны).

Для некоторых типов источников излучения их спектральная плотность известна из фундаментальных принципов. Так, для абсолютно чёрного тела

$I_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}h{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^3}{c^2}\frac{1}{e^{h\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}/kT}-<!--\; -\; -->1},I_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}h{c}^2}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^5}\frac{1}{e^{hc/\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}kT}-<!--\; -\; -->1}$$I_{\nu }={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /kT}-1}},\qquad I_{\lambda }={2\pi h{c^{2}} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}$,

где $T$$T$ — температура, а $h$$h$ — постоянная Планка. Спектр лампы накаливания (левая часть рисунка) в видимой области достаточно хорошо описывается этими формулами.

Полная интенсивность излучения (без слова «спектральная») получается путём интегрирования $I$$I$ по выбранному аргументу.

ИсточникиПравить

• Спектральная плотность излучения в классической электродинамике — А. И. Ахиезер, Н. Ф. Шульга, ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ В МОНОКРИСТАЛЛАХ, пункт «Спектральная плотность излучения в классической электродинамике».