Игра Пенни

Игра Пенни — нетранзитивный парадокс, найденный Уолтером Пенни^[fr].

ОписаниеПравить

Описание парадокса впервые было опубликовано в октябре 1969 года в журнале «Journal of Recreational Mathematics». Суть этого парадокса сводится к следующему: пусть А и Б играют в такую игру — сначала А выбирает произвольную двоичную последовательность (например, из нулей и единиц) длины 3 и показывает её игроку Б. Затем Б делает то же самое. Далее игроки строят случайную двоичную последовательность, в которой появление 0 и 1 равновероятно (например, бросают монету, считая выпадение орла за 1 и решки за 0). Выигрывает тот игрок, чья последовательность встретится раньше в этой случайной последовательности. Например, пусть игрок А выбрал тройку 001, а игрок Б — тройку 100. Пусть при 5-кратном бросании монеты получилась случайная последовательность 10100. Последние 3 цифры в ней — 100 — совпадают с тройкой, выбранной игроком Б, а тройка А не встретилась, поэтому после 5-го бросания монеты игрок Б выигрывает. Парадокс заключается в том, что для любой тройки игрока А найдётся такая тройка, которая выигрывает у неё с вероятностью, большей 1/2. То есть нет «самой сильной» тройки, для любой тройки найдётся более «сильная», которая выигрывает у неё с вероятностью, большей половины. Шансы на выигрыш у игрока Б в худшем случае равны 2/3. Если от троек перейти к четвёркам исходов, то шансы игрока Б на выигрыш станут ещё выше.

Мартин Гарднер по этому поводу пишет:

Ситуация эта малоизвестна, и большинство математиков просто не могут поверить в неё, когда слышат об открытии Пенни. Это — заведомо самое красивое надувательство (если надувательство может быть красивым), рассчитанное на простака.

— Гарднер Мартин. «Путешествие во времени»

В следующей таблице приведены вероятности выигрыша игрока Б с тройками исходов.

А Б	000	001	010	011	100	101	110	111
000		1/2	2/5	2/5	1/8	5/12	3/10	1/2
001	1/2		2/3	2/3	1/4	5/8	1/2	7/10
010	3/5	1/3		1/2	1/2	1/2	3/8	7/12
011	3/5	1/3	1/2		1/2	1/2	3/4	7/8
100	7/8	3/4	1/2	1/2		1/2	1/3	3/5
101	7/12	3/8	1/2	1/2	1/2		1/3	3/5
110	7/10	1/2	5/8	1/4	2/3	2/3		1/2
111	1/2	3/10	5/12	1/8	2/5	2/5	1/2

Чтобы найти выигрышную тройку, в верхней строке таблицы найдите тройку игрока А, а в её столбце ищите максимальное число. В строке с этим числом в левом столбце будет стоять тройка игрока Б, которая выигрывает против заданной тройки игрока А с максимальной вероятностью. Например, пусть игрок А выбрал тройку 000. В 1-м столбце таблицы ищем наибольшее число, это 7/8. В левом столбце строки с числом 7/8 читаем тройку игрока Б 100, которая выигрывает против тройки 000 с вероятностью 7/8. Действительно: если при бросании монеты последовательность не начинается на 000, то, когда эта тройка впервые появится в случайной последовательности, ей будет предшествовать 1, а это значит, что тройка 100 встретилась раньше, и игрок Б выиграл. Тройка 000 выигрывает против тройки 100, только если 000 встретится в самом начале случайной последовательности, а вероятность этого равна 1/8.

Оптимальная стратегия для первого игрока (для любой длины последовательности не менее 4) была найдена венгерским математиком и криптографом Яношем Чириком.

См. такжеПравить

• Парадокс

СсылкиПравить

• Сергей Мельников. Прыжок через козла // Наука и жизнь. — 1997. — Вып. 5. — С. 62-64. В этом рассказе студенты мехмата ДГУ (ныне ДНУ — Днепропетровский национальный университет) получают зачёт по физкультуре, используя данный парадокс У. Пенни.
• Daniel Felix. Optimal Penney Ante Strategy via Correlation Polynomial Identities // The electronic journal of combinatorics. — 2006. — Вып. 13.
• Walter Penney. Problem 95: Penney-Ante // Journal of Recreational Mathematics. — 1974. — С. 321.
• Raymond S. Nickerson. Penney Ante: Counterintuitive Probabilities in Coin Tossing // The UMAP Journal. — 2007. — Вып. 4. — С. 503–532. Архивировано 4 марта 2016 года.
• J. M. Cargal. Chapter 35. Mixed Chains // Discrete Mathematics for Neophytes: Number Theory, Probability, Algorithms, and Other Stuff. — 1988.
• Roland Backhouse. First-past-the-post Games
• Певзнер П. Лучшее пари для простаков // Квант. — 1987. — № 5. — С. 4—15.