Закон Рэлея — Джинса

Зако́н Рэле́я — Джинса — закон, определяющий вид объёмной спектральной плотности энергии излучения $u(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},T)$$u(\omega , T)$ и испускательной способности $I(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},T)$$I(\omega ,T)$ абсолютно чёрного тела, который получили Рэлей и Джинс в рамках классической статистики (теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы и представлений об электромагнитном поле как о бесконечномерной динамической системе).

Правильно описывал низкочастотную часть спектра, при средних частотах приводил к резкому расхождению с экспериментом, а при высоких — к абсурдному результату (см. ниже), указывавшему на неприменимость представлений классической физики в данной задаче.

Вывод формулыПравить

Вывод основывается на законе о равнораспределении энергии по степеням свободы: на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, складываемая из двух частей $kT$$kT$ . Одну половинку вносит электрическая составляющая волны, а вторую — магнитная. Само по себе, равновесное излучение в полости, можно представить как систему стоячих волн. Количество стоячих волн в трехмерном пространстве дается выражением:

$\mathrm{d}{n}_{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}=\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2\mathrm{d}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2{v}^3}$$\mathrm {d} n_{\omega }={\frac {\omega ^{2}\mathrm {d} \omega }{2\pi ^{2}v^{3}}}$ .

 

Зависимость испускательной способности абсолютно чёрного тела от длины волны для разных температур (выделены цветом) и её вид, исходя из классических рассуждений Релея и Джинса (черный цвет)

В нашем случае скорость $v$$v$  следует положить равной $c$$c$ , более того, в одном направлении могут двигаться две электромагнитные волны с одной частотой, но со взаимно перпендикулярными поляризациями, тогда выписанное выражение вдобавок следует помножить на два:

$\mathrm{d}{n}_{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}=\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2\mathrm{d}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2{c}^3}$$\mathrm {d} n_{\omega }={\frac {\omega ^{2}\mathrm {d} \omega }{\pi ^{2}c^{3}}}$ .

Рэлей и Джинс каждому колебанию приписали энергию $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}=kT$$\overline {\varepsilon}=kT$ . Помножив на $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$$\overline {\varepsilon}$ , получим плотность энергии, которая приходится на интервал частот $\mathrm{d}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\mathrm{d} \omega$ :

$u(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},T)\mathrm{d}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}\mathrm{d}{n}_{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}=kT\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2{c}^3}\mathrm{d}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$u(\omega,T) \mathrm{d} \omega = \overline {\varepsilon} \mathrm{d}n_{\omega}= kT \frac{\omega^2 }{\pi^2 c^3} \mathrm{d} \omega$ ,

тогда:

$u(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},T)=kT\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2{c}^3}$$u(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}$ .

Можно перейти от аргумента «частота $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$ » к аргументу «длина волны $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ » ($\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}c/\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\omega =2\pi c/\lambda$ ):

$u(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},T)=u(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},T)|\frac{d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{d\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}|=kT\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2{c}^3}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}c}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2}=\frac{8\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}kT}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^4}$$u(\lambda ,T)=u(\omega ,T)|{\frac {d\omega }{d\lambda }}|=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\cdot {\frac {2\pi c}{\lambda ^{2}}}={\frac {8\pi kT}{\lambda ^{4}}}$ .

Также можно перейти от аргумента «частота $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$ » к аргументу «частота $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$ » в герцах ($\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\omega =2\pi \nu$ ):

$u(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->},T)=u(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},T)|\frac{d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{d\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}|=kT\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2{c}^3}\cdot <!--\; \cdot \; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}=\frac{8\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{2}kT}{c^3}$$u(\nu ,T)=u(\omega ,T)|{\frac {d\omega }{d\nu }}|=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\cdot 2\pi ={\frac {8\pi \nu ^{2}kT}{c^{3}}}$ .

Нередко для акцентуации, какой аргумент имеется в виду, символ $u$$u$  снабжают значком: $u_{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$$u_{\omega }$ , $u_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$u_{\nu }$  или $u_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$$u_{\lambda }$ .

Зная связь испускательной способности абсолютно чёрного тела $I(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},T)$$I(\omega ,T)$  с равновесной плотностью энергии теплового излучения $I(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},T)=\frac{c}{4}u(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},T)$$I(\omega ,T)={\frac {c}{4}}u(\omega ,T)$ , для $I(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},T)$$I(\omega ,T)$  находим:

$I(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},T)=kT\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}{4{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2{c}^2}$$I(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{4\pi ^{2}c^{2}}}$ .

Выражения для $u(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},T)$$u(\omega ,T)$  и $I(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},T)$$I(\omega ,T)$  называют формулой Рэлея — Джинса.

Ультрафиолетовая катастрофаПравить

Основная статья: Ультрафиолетовая катастрофа

Формулы для $u(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},T)$$u(\omega ,T)$  и $I(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},T)$$I(\omega ,T)$  удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными лишь для больших длин волн, на более коротких волнах согласие с экспериментом резко расходится. Более того, интегрирование $u(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},T)$$u(\omega ,T)$  по $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  в пределах от 0 до $\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$  для равновесной плотности энергии $u(T)$$u(T)$  дает бесконечно большое значение. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, очевидно, входит в противоречие с экспериментом: равновесие между излучением и излучающим телом должно устанавливаться при конечных значениях $u(T)$$u(T)$ . Логично предположить, что несогласие с экспериментом вызвано некими закономерностями, которые несовместимы с классической физикой. Эти закономерности были определены Максом Планком: в 1900 году ему удалось найти вид функции $u(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},T)$$u(\omega , T)$ , соответствующий опытным данным, в дальнейшем называемой формулой Планка.