Задача Римана о распаде произвольного разрыва

Задача Римана о распаде произвольного разрыва — задача о построении аналитического решения нестационарных уравнений механики сплошных сред, в применении к распаду произвольного разрыва. Полностью решена в ограниченном круге частных случаев — для уравнений газовой динамики идеального газа и некоторых более точных приближений (т. н. газ с двучленным уравнением состояния) и уравнений теории мелкой воды. Решение для уравнений магнитной газовой динамики построимо, по всей видимости, вплоть до необходимости численного решения одного достаточно сложного обыкновенного дифференциального уравнения.

ПостановкаПравить

Решается одномерная задача о распаде разрыва — то есть полагается, что до начального момента времени $t=0$$t=0$  две области пространства с различными значениями термодинамических параметров (для газовой динамики это плотность, скорость и давление газа) были разделены тонкой перегородкой, а в начальный момент времени перегородку убирают. Требуется построить решение (то есть зависимость всех термодинамических параметров от времени и координаты) при произвольных начальных значениях переменных.

Решение задачи о распаде произвольного разрыва состоит в определении газодинамического течения, возникающего при $t>0$$t>0$ . Другими словами, речь идет о решении задачи Коши для уравнений газовой динамики, в которой начальные условия заданы в виде описанного выше произвольного разрыва.

РешениеПравить

 

Решение задачи Римана для идеального изначально покоящего газа с показателем адиабаты $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=5/3$$\gamma =5/3$  и относительным скачком давления и плотности ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_L/{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_R=P_L/P_R=10$$\rho _{L}/\rho _{R}=P_{L}/P_{R}=10$ . По оси абсцисс отложена автомодельная переменная (безразмерная координата), по оси ординат — давление, плотность и скорость в относительных единицах. Слева направо: покоящийся газ, волна разрежения, контактный разрыв, ударная волна, покоящийся газ.

Оказывается, что для систем уравнений, записываемых в дивергентной форме, решение будет автомодельным.

Решение ищется в виде набора элементарных волн, определяющегося структурой системы уравнений. В частности, для газовой динамики это: ударная волна, волна разрежения, контактный разрыв. Приведём решение в явном виде для частного случая покоящегося идеального газа с показателем адиабаты $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$ . Пусть в начальный момент давление $P$$P$ , плотность $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  и скорость $v$$v$  имеют вид:

	$x<0$	$x>0$$x>0$
$v(x)$$v(x)$	$0$$0$	$0$$0$
$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(x)$$\rho (x)$	${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_L$$\rho _{L}$	${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_R$$\rho _{R}$
$P(x)$$P(x)$	$P_L$$P_{L}$	$P_R$$P_{R}$

и $P_L>P_R$$P_{L}>P_{R}$  — волна идёт направо. Тогда в произвольный момент времени $t$$t$  решение имеет вид

	$x<-c_{L}t$	$-c_{L}t<x<(v_{2}-c_{2})t$	$(v_{2}-c_{2})t<x<v_{2}t$	$v_{2}t<x<Dt$	$x>Dt$$x>Dt$
	Невозмущённое вещество	Волна разрежения	Область между фронтом волны разрежения и контактным разрывом	Область между контактным разрывом и фронтом ударной волны	Невозмущённое вещество
$v(x)$$v(x)$	$0$$0$	$v_2\frac{x+c_{L}t}{(v_2-<!--\; -\; -->c_2+c_L)t}$$\displaystyle v_{2}{\frac {x+c_{L}t}{(v_{2}-c_{2}+c_{L})t}}$	$v_2$$v_{2}$	$v_2$$v_{2}$	$0$$0$
$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(x)$$\rho (x)$	${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_L$$\rho _{L}$	${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_L{\left(1-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->1}{2}\frac{v(x)}{c_L}\right)}^{\frac{2}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->1}}$$\displaystyle \rho _{L}\left(1-{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {v(x)}{c_{L}}}\right)^{\frac {2}{\gamma -1}}$	${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2$$\rho _{2}$	${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1$$\rho _{1}$	${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_R$$\rho _{R}$
$P(x)$$P(x)$	$P_L$$P_{L}$	$P_L{\left(1-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->1}{2}\frac{v(x)}{c_L}\right)}^{\frac{2\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->1}}$$\displaystyle P_{L}\left(1-{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {v(x)}{c_{L}}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}$	$P_2$$P_2$	$P_2$$P_2$	$P_R$$P_{R}$

Здесь $c_L=\sqrt{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}{P}_L/{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_L}$$c_{L}={\sqrt {\gamma P_{L}/\rho _{L}}}$  — скорость звука в невозмущенной среде слева, $v_2$$v_{2}$ , $P_2$$P_2$ , ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2$$\rho _{2}$ , $c_2=\sqrt{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}{P}_2/{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2}$$c_{2}={\sqrt {\gamma P_{2}/\rho _{2}}}$  — параметры газа и скорость звука между фронтом ударной волны и контактным разрывом, $v_2$$v_{2}$ , $P_2$$P_2$ , ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1$$\rho _{1}$  — параметры газа между контактным разрывом и ударной волной, $D$$D$  — скорость ударной волны. Эти пять параметров определяются из нелинейной системы уравнений, отвечающих законам сохранения энергии, массы и импульса:

${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_R\frac{D}{D-<!--\; -\; -->v_2}$$\displaystyle \rho _{1}=\rho _{R}{\frac {D}{D-v_{2}}}$ 

$D=\frac{P_2-<!--\; -\; -->P_R}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_R{v}_2}$$\displaystyle D={\frac {P_{2}-P_{R}}{\rho _{R}v_{2}}}$ 

$P_2=P_R\frac{(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}+1){\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1-<!--\; -\; -->(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->1){\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_R}{(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}+1){\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_R-<!--\; -\; -->(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->1){\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1}$$\displaystyle P_{2}=P_{R}{\frac {(\gamma +1)\rho _{1}-(\gamma -1)\rho _{R}}{(\gamma +1)\rho _{R}-(\gamma -1)\rho _{1}}}$ 

$\frac{P_L}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_L^{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}}=\frac{P_2}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2^{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}}$$\displaystyle {\frac {P_{L}}{\rho _{L}^{\gamma }}}={\frac {P_{2}}{\rho _{2}^{\gamma }}}$ 

$v_2=\frac{2}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->1}\left(c_L-<!--\; -\; -->c_2\right)=\frac{2c_L}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->1}\left(1-<!--\; -\; -->{\left(\frac{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_L}\right)}^{\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->1}{2}}\right)$$\displaystyle v_{2}={\frac {2}{\gamma -1}}\left(c_{L}-c_{2}\right)={\frac {2c_{L}}{\gamma -1}}\left(1-\left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{L}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{2}}\right)$ 

Первые три уравнения здесь соответствуют соотношениям Гюгонио для идеального газа, четвёртое и пятое — соотношениям в волне разрежения.

ПрименениеПравить

Решение задачи Римана находит применение в численных методах при решении нестационарных задач с большими разрывами. Именно на решении (точном или приближенном) задачи Римана о распаде разрыва основывается метод Годунова решения систем нестационарных уравнений механики сплошной среды.