Задача Бюффона о бросании иглы

Задача Бюффона о бросании иглы — один из первых примеров применения метода Монте-Карло и рассмотрения понятия геометрической вероятности^[en]. Задача была сформулирована Бюффоном в 1777 году. Оказалось, что эта задача сделала возможным определение числа π вероятностными методами.

Суть задачиПравить

Суть метода была в бросании иглы длиной $L$$L$  на плоскость, расчерченную параллельными прямыми, расположенными на расстоянии $r$$r$  друг от друга (см. Рис. 1).

 

Рисунок 1. Метод Бюффона

Вероятность (как видно из дальнейшего контекста, речь идёт не о вероятности, а о математическом ожидании количества пересечений за один опыт; вероятностью это становится лишь при условии, что $r>L$$r>L$ ) того, что отрезок пересечет прямую, связана с числом Пи:

$p=\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\underset{0}{\overset{l\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{1}{r\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}dAd\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$p=\int \limits _{{0}}^{{\pi }}\int \limits _{{0}}^{{l\sin {\theta }}}{\frac {1}{r\pi }}dAd\theta$ , где

• $A$$A$  — расстояние от начала иглы до ближайшей к ней прямой;
• $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$  — угол иглы относительно прямых.

При условии, что $r>L$$r>L$  получается решение: $p=\frac{2L}{r\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$$p={\frac {2L}{r\pi \,}}$ . Таким образом, подсчитав долю отрезков, пересекающих прямые, можно приближенно определить число Пи. При увеличении количества попыток точность получаемого результата будет увеличиваться.

В 1864 году капитан Фокс, выздоравливая после ранения, чтобы как-то занять себя, реализовал эксперимент по бросанию иглы. Результаты представлены в следующей таблице:

	Число бросаний	Число пересечений	Длина иглы	Расстояние между прямыми	Вращение	Значение Пи	Ошибка
Первая попытка	500	236	3	4	отсутствует	3.1780	−0.03640734
Вторая попытка	530	253	3	4	присутствует	3.1423	−0.00070734
Третья попытка	590	939	5	2	присутствует	3.1416	+0.00000734

Комментарии:

• Вращение плоскости применялось (и как показывают результаты — успешно) для того, чтобы уменьшить систематическую ошибку.
• В третьей попытке длина иглы была больше расстояния между линиями, что позволило не увеличивая числа бросаний эффективно увеличить число событий и повысить точность.

Вариации и обобщенияПравить

• Задача о макаронине Бюффона — вариант задачи для кривых.

• Формула Крофтона

ЛитератураПравить

• Федотов Н. Г. Методы стохастической геометрии в распознавании образов. — М.: Радио и связь, 1990. — 142 с.