Задача Буземана — Петти

Задача Буземана — Петти — вопрос выпуклой геометрии, сформулированный Буземаном и Петти в 1956 году.

Правда ли, что симметричное выпуклое тело с бо́льшими центральными сечениями гиперплоскостями имеет бо́льший объём?

Ответ положительный в размерностях $\le <!--\; \le \; -->4$$\leq 4$, и отрицательный в размерностях $\ge <!--\; \ge \; -->5$$\ge 5$.

Задача знаменита тем, что в размерности $4$$4$, был дан сначала (неправильный) отрицательный ответ, a через несколько лет положительный. При этом обе статьи были опубликованы одним и тем же автором в одном из самых престижных математических журналов, Annals of Mathematics.

ФормулировкаПравить

Пусть $K_1$$K_1$  и $K_2$$K_{2}$  — выпуклые тела в $n$$n$ -мерном евклидовом пространстве с общим центром симметрии такие, что

${\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}}_{n-<!--\; -\; -->1}(K_1\cap <!--\; \cap \; -->A)\le <!--\; \le \; -->{\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}}_{n-<!--\; -\; -->1}(K_2\cap <!--\; \cap \; -->A)$$\mathrm {Vol} _{n-1}\,(K_{1}\cap A)\leq \mathrm {Vol} _{n-1}\,(K_{2}\cap A)$ 

для каждой гиперплоскости $A$$A$ , проходящей через центр симметрии. Верно ли, что

${\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}}_n{K}_1\le <!--\; \le \; -->{\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}}_n{K}_2?$$\mathrm {Vol} _{n}\,K_{1}\leq \mathrm {Vol} _{n}\,K_{2}\ ?$ 

ИсторияПравить

• В размерности 2 задача тривиальна, ответ положительный.
• 1956 Буземан и Петти показали, что ответ будет положительным, если первое тело является шаром.
• 1975 Лармен и Роджерс^[en] построили контрпример в размерностях $\ge <!--\; \ge \; -->12$$\geq 12$ .
• 1986, Кит Болл доказал, что взяв куб как первое тело и подходящий шар как второе, получаем контрпример в размерностях $\ge <!--\; \ge \; -->10$$\geq 10$ .
• 1988, Лютвак показал что ответ на задачу в данной размерности положителен тогда и только тогда, когда все симметричные выпуклые тела в этой размерности являются телами сечений.
• Джиэннопулос и Бурген независимо построили контрпримеры в размерностях $\ge <!--\; \ge \; -->7$$\geq 7$ .
• Пэпэдимитракис и Гарднер независимо построили контрпримеры в размерностях 5 и 6.
• 1994 Гарднер дал положительный ответ в размерности $3$$3$ .
• 1994 Гаоюн Чжан опубликовал работу (в Annals of Mathematics), в которой в частности утверждал, что в размерности $4$$4$  ответ отрицательный.
• 1997 Александр Колдобский опроверг утверждение Гаоюн Чжана.
• 1999 После изучения, результатов Колдобского, Чжан быстро доказал, что на самом деле в размерности $4$$4$  ответ утвердительный. Эта более поздняя работа была также опубликована в Annals of Mathematics.

Вариации и обобщенияПравить

• Теорема единственности Минковского утверждает, что если два симметричных выпуклых тела имеют равновеликие сечения любой гиперплоскостью, проходящий через их общий центр, то эти два тела равны.
• Задача Шепарда — аналогичная задача, в которой вместо сечений, рассматриваются проекции на все возможные гиперплоскости.

СсылкиПравить

• Ball, Keith (1988), Some remarks on the geometry of convex sets, Geometric aspects of functional analysis (1986/87), vol. 1317, Lecture Notes in Math., Berlin, New York: Springer-Verlag, с. 224–231, ISBN 978-3-540-19353-1, DOI 10.1007/BFb0081743 
• Busemann, Herbert & Petty, Clinton Myers (1956), Problems on convex bodies, Mathematica Scandinavica Т. 4: 88–94, ISSN 0025-5521, <http://www.mscand.dk/article/download/10457/8478> 
• Gardner, Richard J. (1994), A positive answer to the Busemann-Petty problem in three dimensions, Annals of Mathematics. Second Series Т. 140 (2): 435–447, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/2118606 
• Gardner, Richard J.; Koldobsky, A. & Schlumprecht, T. (1999), An analytic solution to the Busemann-Petty problem on sections of convex bodies, Annals of Mathematics. Second Series Т. 149 (2): 691–703, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/120978 
• Koldobsky, Alexander (1998a), Intersection bodies, positive definite distributions, and the Busemann-Petty problem, American Journal of Mathematics Т. 120 (4): 827–840, ISSN 0002-9327, doi:10.1353/ajm.1998.0030, <http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v120/120.4koldobsky.pdf> 
• Koldobsky, Alexander (1998b), Intersection bodies in R⁴, Advances in Mathematics Т. 136 (1): 1–14, ISSN 0001-8708, DOI 10.1006/aima.1998.1718 
• Koldobsky, Alexander (2005), Fourier analysis in convex geometry, vol. 116, Mathematical Surveys and Monographs, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3787-0, <https://books.google.com/books?id=UU25A67LVe0C> 
• Larman, D. G. & Rogers, C. A. (1975), The existence of a centrally symmetric convex body with central sections that are unexpectedly small, Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics Т. 22 (2): 164–175, ISSN 0025-5793, DOI 10.1112/S0025579300006033 
• Lutwak, Erwin (1988), Intersection bodies and dual mixed volumes, Advances in Mathematics Т. 71 (2): 232–261, ISSN 0001-8708, DOI 10.1016/0001-8708(88)90077-1 
• Zhang, Gao Yong (1994), Intersection bodies and the Busemann-Petty inequalities in R⁴, Annals of Mathematics. Second Series Т. 140 (2): 331–346, The result in this paper is wrong; see the author's 1999 correction., ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/2118603 
• Zhang, Gaoyong (1999), A positive solution to the Busemann-Petty problem in R⁴, Annals of Mathematics. Second Series Т. 149 (2): 535–543, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/120974