Задача Архимеда о быках

Задача Архимеда о быках — трактат Архимеда (287—212 годы до н. э.). Античный учёный ставит математическую задачу, полное решение которой было найдено лишь в XX веке с использованием компьютерной техники.

ИзданиеПравить

«Задачу о быках» обнаружил Готхольд Эфраим Лессинг в греческой рукописи, состоящей из стихотворения в 44 строки, в библиотеке герцога Августа в Вольфенбюттеле в Германии. Текст задачи был опубликован в издании «Beiträge zur Geschichte und Litteratur» в Брауншвейге в 1773 году. Авторство Архимеда у антиковедов не вызывает сомнений, так как и по стилю, и по характеру трактат соответствует математическим эпиграммам той эпохи. Задача о быках авторства Архимеда упоминается в одном из античных схолиев к диалогу Платона «Хармид, или О благоразумии»^[1]^[2].

Суть задачиПравить

Архимед предлагает читателю найти количество быков бога Солнца Гелиоса при следующих условиях:

у Гелиоса имелось четыре стада, каждое из которых отличалось по цвету^{[к 1]}
количество белых быков было равным $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $=\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)$ тёмных + рыжим быкам^{[к 2]}
тёмных быков $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $=\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\right)$ пёстрых + рыжим быкам^{[к 3]}
пёстрых быков $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $=\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\right)$ белых + рыжим быкам^{[к 4]}
белых коров $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)$ тёмного стада^{[к 5]}
тёмных коров $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $=\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\right)$ пёстрого стада^{[к 6]}
пёстрых коров $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}\right)$ рыжего стада^{[к 7]}
рыжих коров $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $=\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\right)$ белого стада^{[к 8]}

После этого Архимед предлагает найти количество быков и коров разного цвета, указывая, что тот у кого это получится не является невеждой^[11].

Вторая часть задачи включает дополнительные условия:

количество белых и тёмных быков — квадратное число
количество пёстрых и рыжих быков — треугольное число

Тот, кто сможет при этих условиях определить число голов скота в стадах Гелиоса, по мнению Архимеда, является мудрецом^[12].

РешениеПравить

Решение первой части задачи сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Если обозначить количество быков соответствующего цвета символами Б, Т, П и Р, а коров — б, т, п и р, то первые уравнения можно отобразить следующим образом^[1]:

Б $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $=\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)$ Т + Р → 6Б = 5Т + 6Р
Т $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $=\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\right)$ П + Р → 20Т = 9П + 20Р
П $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $=\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\right)$ Б + Р → 42П = 13Б + 42Р

Последовательно решая все семь уравнений будут получены следующие значения:

Б — 10 366 482
Т — 7 460 514
П — 7 358 060
Р — 4 149 387
б — 7 206 360
т — 4 893 246
п — 3 515 820
р — 5 439 213

Общее количество голов скота у Гелиоса таким образом составляло 50 389 082^[13].

Вторая часть задачи, то есть поиск решения, которое удовлетворяло бы условиям первой и второй части, сводится к уравнению Пелля. Её решение было опубликовано в 1880 году^[14]. Общее количество быков приближённо равно $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $7.76\times 10^{206544}$ . Чтобы записать все 206 545 цифр необходимо 660 страниц с 2500 знаков на каждой. Впервые точное числовое значение решения задачи о быках было распечатано в 1965 году с использованием компьютерной техники^[15].

ПримечанияПравить

Комментарии

↑ Их в четырёх стадах много когда-то паслось.
Цветом стада различались: блистало одно млечно-белым,
Тёмной морской волны стада другого был цвет,
Рыжим третие было. Последнее пёстрым^[3]
↑ Белых число быков в точности было равно
Тёмных быков половине и трети и полностью рыжим;^[4]
↑ Тёмных число быков четверти было равно
Пёстрых с прибавленной пятой и также полностью рыжим;^[5]
↑ Пёстрой же шерсти быков так созерцай число:
Части шестой и седьмой от стада быков серебристых;
Также и рыжим всем ты их число поравняй^[6]
↑ В тех же стадах коров было столько: число белошёрстых
В точности было равно тёмного стада всего
Части четвёртой и третьей, коль сложишь ты обе их вместе:^[7]
↑ Тёмных число же коров части четвёртой опять
Пёстрого стада равнялось, коль пятую долю добавишь^[8]
↑ Те же, чья пёстрая шерсть, равночисленным множеством были
Рыжего стада частям пятой и с нею шестой^[9]
↑ Рыжих коров же считалось количество равным полтрети
Белого стада всего с частию взятой седьмой^[10]

Источники

↑ ¹ ² Веселовский, 1962, с. 373.
↑ Щетников Задача о быках, 2004, с. 36—40.
↑ Веселовский, 1962, с. 372, строки 4—7.
↑ Веселовский, 1962, с. 372, строки 9—10.
↑ Веселовский, 1962, с. 372, строки 11—12.
↑ Веселовский, 1962, с. 372, строки 14—16.
↑ Веселовский, 1962, с. 372, строки 17—19.
↑ Веселовский, 1962, с. 372, строки 20—21.
↑ Веселовский, 1962, с. 372, строки 23—24.
↑ Веселовский, 1962, с. 372, строки 25—26.
↑ Веселовский, 1962, с. 372, строки 30.
↑ Веселовский, 1962, с. 373, строки 43—44.
↑ Lenstra, 2002, p. 187.
↑ Krumbiegel, 1880.
↑ Harold Alkema and Kenneth McLaughlin. Unbundling Computing at The University of Waterloo (неопр.). University of Waterloo (2007). Дата обращения: 5 апреля 2011. Архивировано 4 апреля 2011 года. (includes pictures)

ЛитератураПравить

Архимед. Сочинения (рус.) / Перевод, вступительная статья и комментарии И. Н. Веселовского. Перевод арабских текстов Б. А. Розенфельда. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. — 640 с. — 4000 экз.
Щетников А. И. Задача Архимеда о быках, алгоритм Евклида и уравнение Пелля // Математика в высшем образовании. — 2004. — № 2. — С. 27—40.
B. Krumbiegel, A. Amthor. Das Problema Bovinum des Archimedes // Historisch-literarische Abteilung der Zeitschrift für Mathematik und Physik. — 1880. — Т. 25. — С. 121–136, 153–171.
Lenstra H. W. Jr. Solving the Pell Equation (англ.) // Notices of the American Mathematical Society. — 2002. — Vol. 49, no. 2. — P. 182—192.
Dörrie, Heinrich. Archimedes' Problema Bovinum // 100 Great Problems of Elementary Mathematics (англ.). — Dover Publications, 1965. — P. 3—7.
Williams, H. C.; German, R. A.; Zarnke, C. R. Solution of the Cattle Problem of Archimedes (англ.) // Mathematics of Computation (англ.) (рус. : journal. — American Mathematical Society, 1965. — Vol. 19, no. 92. — P. pp. 671–674. — doi:10.2307/2003954. — JSTOR 2003954.
Vardi, I. Archimedes' Cattle Problem (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — Mathematical Association of America, 1998. — Vol. 105, no. 4. — P. pp. 305–319. — doi:10.2307/2589706.
Benson, G. Archimedes the Poet: Generic Innovation and Mathematical Fantasy in the Cattle Problem (англ.) // Arethusa : journal. — Johns Hopkins University Press, 2014. — Vol. 47, no. 2. — P. pp. 169–196. — doi:10.1353/are.2014.0008.

СсылкиПравить

Bell, A. H. (1895), The «Cattle Problem». By Archimedies 251 B. C., The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) . — Т. 2 (5): 140–141, DOI 10.2307/2968125

[4] Их в четырёх стадах много когда-то паслось.
Цветом стада различались: блистало одно млечно-белым,
Тёмной морской волны стада другого был цвет,
Рыжим третие было. Последнее пёстрым^[3]

[6] Белых число быков в точности было равно
Тёмных быков половине и трети и полностью рыжим;^[4]

[8] Тёмных число быков четверти было равно
Пёстрых с прибавленной пятой и также полностью рыжим;^[5]

[10] Пёстрой же шерсти быков так созерцай число:
Части шестой и седьмой от стада быков серебристых;
Также и рыжим всем ты их число поравняй^[6]

[12] В тех же стадах коров было столько: число белошёрстых
В точности было равно тёмного стада всего
Части четвёртой и третьей, коль сложишь ты обе их вместе:^[7]

[14] Тёмных число же коров части четвёртой опять
Пёстрого стада равнялось, коль пятую долю добавишь^[8]

[16] Те же, чья пёстрая шерсть, равночисленным множеством были
Рыжего стада частям пятой и с нею шестой^[9]

[18] Рыжих коров же считалось количество равным полтрети
Белого стада всего с частию взятой седьмой^[10]

[_ca25d78174b0887e-1] ¹ ² Веселовский, 1962, с. 373.

[_a8c663fa33700dae-2] Щетников Задача о быках, 2004, с. 36—40.

[_8d0f19e3f3fce2e6-3] Веселовский, 1962, с. 372, строки 4—7.

[_ad98d9b0d0b150db-5] Веселовский, 1962, с. 372, строки 9—10.

[_22ab01e3d520a562-7] Веселовский, 1962, с. 372, строки 11—12.

[_683cdb97d3a33f95-9] Веселовский, 1962, с. 372, строки 14—16.

[_58d330d91cd69b7b-11] Веселовский, 1962, с. 372, строки 17—19.

[_4a088c66c2896864-13] Веселовский, 1962, с. 372, строки 20—21.

[_7a80bee2629c4134-15] Веселовский, 1962, с. 372, строки 23—24.

[_f17f83af543190cc-17] Веселовский, 1962, с. 372, строки 25—26.

[_c5110f36fd826d90-19] Веселовский, 1962, с. 372, строки 30.

[_8e4f6e9ebfb93e01-20] Веселовский, 1962, с. 373, строки 43—44.

[_11ae1ceb861094d4-21] Lenstra, 2002, p. 187.

[_f6a97aa75304b56d-22] Krumbiegel, 1880.

[23] Harold Alkema and Kenneth McLaughlin. Unbundling Computing at The University of Waterloo (неопр.). University of Waterloo (2007). Дата обращения: 5 апреля 2011. Архивировано 4 апреля 2011 года. (includes pictures)

[1]

[2]

[к 1]

[к 2]

[к 3]

[к 4]

[к 5]

[к 6]

[к 7]

[к 8]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]