Евклидово поле

Эта статья — об упорядоченных полях. О евклидовых кольцах см. Евклидово кольцо; о  евклидовой геометрии см. Евклидова геометрия.

Евклидово поле — упорядоченное поле, в котором каждый положительный элемент является квадратом.

СвойстваПравить

• Каждое евклидово поле является упорядоченным пифагорейским полем^[en], но обратное неверно.
• Если E — конечное расширение поля F, и E — евклидово поле, то и F — евклидово поле. Это следует из теоремы Диллера — Дресса^[en].

ПримерыПравить

• Поле $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  вещественных чисел — евклидово поле.
• Поле $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$  рациональных чисел не является евклидовым полем.
• Поле вещественных алгебраических чисел $\mathbb{R}\cap <!--\; \cap \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathbb{Q}}$$\mathbb {R} \cap \mathbb {\overline {Q}}$  является евклидовым полем.
• Поле гиперреальных чисел является евклидовым полем.

СсылкиПравить

• Euclidean field (англ.) на сайте PlanetMath.
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2.
• Martin, George E. (1998). Geometric Constructions. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98276-0.