Евклидово отношение

Евклидово отношение — бинарное отношение $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $R$ $R$ на множестве $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $X$ $X$ , для которого из нахождения элемента $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x\in X$ $x\in X$ в отношении с двумя элементами $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $y,z\in X$ $y,z\in X$ (в том числе могут совпадать с $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x$ $x$ ) следует, что эти два элемента $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $y, z$ $y,z$ тоже находятся в отношении $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $R$ $R$ друг друга.

Формально, бинарное отношение $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $R$ $R$ евклидово, если $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\forall x,y,z\in X(xRy\land xRz\Rightarrow yRz)$ $\forall x,y,z\in X(xRy\land xRz\Rightarrow yRz)$ .

Название отношение получило по аналогии с первой аксиомой из «Начал» Евклида: равные одному и тому же равны и между собой.

Связь с другими свойствами отношенийПравить

Евклидово отношение не обязательно транзитивно, а транзитивное отношение не обязательно евклидово.
Рефлексивное симметричное отношение является евклидовым тогда и только тогда, когда оно транзитивно.