Дробно-линейная функция

Дро́бно-лине́йная фу́нкция — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются линейные функции.

Равнобочная гипербола — простейший пример дробно-линейной функции

Эта статья о дробно-линейной функции; о дробно-линейном преобразовании см. Дробно-линейное преобразование.

Дробно-линейная функция, отображающая в общем случае многомерное числовое пространство в одномерное числовое, представляет собой важный частный случай:

• при $n=1$$n = 1$ как в вещественном, так и комплексном пространстве — рациональной функции, отображающей в общем случае одномерное числовое пространство само в себя с помощью многочленов одной переменной произвольной степени;
• при $n=1$$n = 1$ в комплексном пространстве — дробно-линейного преобразования, отображающего в общем случае многомерное комплексное пространство само в себя;
• при $n=1$$n = 1$ в комплексном и при $n=2$$n = 2$ в вещественном пространстве, инвертируя относительно окружностей, — преобразования Мёбиуса.

Формальное определениеПравить

Дробно-линейная функция — это числовая функция вида

${\mathbb{U}}^n\to <!--\; \to \; -->\mathbb{U}:w=L(u_1,u_2,\dots <!--\; \dots \; -->,u_n)=\frac{a_1{u}_1+a_2{u}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{u}_n+b}{c_1{u}_1+c_2{u}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+c_n{u}_n+d},$$\mathbb {U} ^{n}\to \mathbb {U} :w=L(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})={\frac {a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+\cdots +a_{n}u_{n}+b}{c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+\cdots +c_{n}u_{n}+d}},$ 

где $\mathbb{U}$$\mathbb {U}$  — комплексные ($\mathbb{Z}$$\mathbb {Z}$ ) или вещественные ($\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ ) числа, $u_1,u_2,\dots <!--\; \dots \; -->,u_n$$u_1, u_2, \dots, u_n$  — соответственно комплексные или вещественные переменные, $a_1,a_2,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n,$$a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},$  $c_1,c_2,\dots <!--\; \dots \; -->,c_n,$$c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},$  $b,d$$b,d$  — соответственно комплексные или вещественные коэффициенты,

$|c_1|+|c_2|+\cdots <!--\; \cdots \; -->+|c_n|+|d|>0$$|c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0$ .

Возможно обобщение на кватернионы.

Вырожденные случаи:

• если

$|c_1|=|c_2|=\cdots <!--\; \cdots \; -->=|c_n|=0,$$|c_{1}|=|c_{2}|=\dots =|c_{n}|=0,$ 

то дробно-линейная функция становится целой линейной функций;

• если ранг матрицы

$\left({\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&b\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&d\end{array}}\right)$ 

равен единице, то дробно-линейная функция вырождается в постоянную.

У собственно (невырожденной) дробно-линейной функции:

• $|c_1|+|c_2|+\cdots <!--\; \cdots \; -->+|c_n|>0;$$|c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|>0;$ 
• равен двум ранг матрицы

$\left({\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&b\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&d\end{array}}\right).$ 

Вещественная дробно-линейная функцияПравить

Вещественная дробно-линейная функция — это числовая функция вида

${\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}:y=L(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=\frac{a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{x}_n+b}{c_1{x}_1+c_2{x}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+c_n{x}_n+d},$$\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} :y=L(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots +c_{n}x_{n}+d}},$ 

где $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  — вещественные числа, $x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n$$x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$  — вещественные переменные, $a_1,a_2,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n,$$a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},$  $c_1,c_2,\dots <!--\; \dots \; -->,c_n,$$c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},$  $b,d$$b,d$  — вещественные коэффициенты,

$|c_1|+|c_2|+\cdots <!--\; \cdots \; -->+|c_n|+|d|>0$$|c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0$ .

Функция одного переменногоПравить

 

Равнобочная гипербола как вещественная дробно-линейная функция $\frac{2x-<!--\; -\; -->1}{x+2}$${\frac {2x-1}{x+2}}$  с асимптотами $x=-<!--\; -\; -->2/1=2$$x=-2/1=2$  и $y=2/1=2$$y=2/1=2$ , $ad-<!--\; -\; -->bc=5>0$$ad-bc=5>0$ 

В простейшем случае $n=1$$n = 1$  и действительных

$x_1=x,$$x_{1}=x,$  $a_1=a,$$a_{1}=a,$  $b,$$b,$  $c_1=c,$$c_{1}=c,$  $d$$d$ 

график дробно-линейной функции — равнобочная гипербола с асимптотами

$x=-<!--\; -\; -->d/c$$x=-d/c$ 

и

$y=a/c,$$y=a/c,$ 

параллельными осям координат:.

Асимптоты гиперболыПравить

Пусть дробно-линейная функция одного переменного

$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$y={\frac {ax+b}{cx+d}}$ 

несократима, то есть $ad-<!--\; -\; -->bc\ne <!--\; \ne \; -->0$$ad-bc\neq 0$ , и не сводится к целой линейной функции, то есть $c\ne <!--\; \ne \; -->0$$c\neq 0$ . Выделим целую часть дроби и вынесем за скобки коэффициент при $x$$x$ :

$y=\frac{\frac{a}{c}x+\frac{b}{c}}{x+\frac{d}{c}}=\frac{\frac{a}{c}\left(x+\frac{d}{c}\right)+\left(\frac{b}{c}-<!--\; -\; -->\frac{ad}{c^2}\right)}{x+\frac{d}{c}}=$$y={\frac {{\frac {a}{c}}x+{\frac {b}{c}}}{x+{\frac {d}{c}}}}={\frac {{\frac {a}{c}}\left(x+{\frac {d}{c}}\right)+\left({\frac {b}{c}}-{\frac {ad}{c^{2}}}\right)}{x+{\frac {d}{c}}}}=$ 

$=\frac{a}{c}-<!--\; -\; -->\frac{ad-<!--\; -\; -->bc}{c^2(x+\frac{d}{c})}.$$={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})}}.$ 

Теперь ясно, что график функции $\frac{ax+b}{cx+d}$${\frac {ax+b}{cx+d}}$  получается из графика $\frac{1}{x}$${\frac {1}{x}}$  следующими элементарными преобразованиями:

• растяжением в $\left|\frac{ad-<!--\; -\; -->bc}{c^2}\right|$$\left|{\frac {ad-bc}{c^{2}}}\right|$  раз по оси $Oy$$Oy$ , причём в случае $ad-<!--\; -\; -->bc>0$$ad-bc>0$  с отражением относительно оси $Ox$$Ox$ ;
• перенесением параллельно оси $Ox$$Ox$  на $-<!--\; -\; -->\frac{d}{c}$$-{\frac {d}{c}}$ ;
• перенесением параллельно оси $Oy$$Oy$  на $\frac{a}{c}$${\frac {a}{c}}$ .

Таким образом, дробно-линейная функция одного переменного $\frac{ax+b}{cx+d}$${\frac {ax+b}{cx+d}}$  — это обыкновенная гипербола второго порядка, прямые $x=-<!--\; -\; -->\frac{d}{c}$$x=-{\frac {d}{c}}$  и $y=\frac{a}{c}$$y={\frac {a}{c}}$  — асимптоты гиперболы, взаимно перпендикулярные и параллельные осям координат, а точка пересечения асимптот $\left(-<!--\; -\; -->\frac{d}{c},\frac{a}{c}\right)$$\left(-{\frac {d}{c}},{\frac {a}{c}}\right)$ , не принадлежащая кривой, — её центр.

Также очевидно, что дробно-линейная функция одного переменного $\frac{ax+b}{cx+d}$${\frac {ax+b}{cx+d}}$ :

• «теряет смысл», то есть не имеет никакого значения, перестаёт «существовать» в точке $x=-<!--\; -\; -->\frac{d}{c}$$x=-{\frac {d}{c}}$ ;
• на интервалах $\left(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},-<!--\; -\; -->\frac{d}{c}\right)$$\left(-\infty ,-{\frac {d}{c}}\right)$  и $\left(-<!--\; -\; -->\frac{d}{c},+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\right)$$\left(-{\frac {d}{c}},+\infty \right)$  функция везде возрастает при $ad-<!--\; -\; -->bc>0$$ad-bc>0$  и везде убывает при $ad-bc<0$ ;
• при неограниченном увеличении $|x|$$|x|$  значения функции неограниченно приближаются к $\frac{a}{c}$${\frac {a}{c}}$ , что видно также из преобразования

$\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{a+\frac{b}{x}}{c+\frac{d}{x}}.$${\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {a+{\frac {b}{x}}}{c+{\frac {d}{x}}}}.$ 

Производная

${\left(\frac{a}{c}-<!--\; -\; -->\frac{ad-<!--\; -\; -->bc}{c^2(x+\frac{d}{c})}\right)}^{\prime }=\frac{ad-<!--\; -\; -->bc}{c^2(x+\frac{d}{c}{)}^2}.$$\left({\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})}}\right)'={\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})^{2}}}.$ 

Неопределённый интеграл:

$\int <!--\; \int \; -->\left(\frac{a}{c}-<!--\; -\; -->\frac{ad-<!--\; -\; -->bc}{c^2(x+\frac{d}{c})}\right)dx=\frac{a}{c}x-<!--\; -\; -->\frac{ad-<!--\; -\; -->bc}{c^2}\ln <!--\; \; -->\left|x+\frac{d}{c}\right|+C.$$\int \left({\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})}}\right)dx={\frac {a}{c}}x-{\frac {ad-bc}{c^{2}}}\ln \left|x+{\frac {d}{c}}\right|+C.$ 

Каноническое уравнение гиперболыПравить

Сначала приведём функцию

$y=\frac{a}{c}-<!--\; -\; -->\frac{ad-<!--\; -\; -->bc}{c^2(x+\frac{d}{c})}$$y={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})}}$ 

преобразованиями координат к виду

$y^{\prime }=\frac{m}{x^{\prime }}.$$y'={\frac {m}{x'}}.$ 

Для этого сделаем следующие замены:

$x^{\prime }=x+\frac{d}{c},$$x'=x+{\frac {d}{c}},$  $y^{\prime }=y-<!--\; -\; -->\frac{a}{c},$$y'=y-{\frac {a}{c}},$  $m=-<!--\; -\; -->\frac{ad-<!--\; -\; -->bc}{c^2},$$m=-{\frac {ad-bc}{c^{2}}},$ 

получим требуемый вид функции.

Теперь повернём координатные оси на угол ${45}^{\circ <!--\; \circ \; -->},$$45^{\circ },$  сделав замену координат

$x^{\prime }=x^{″}\cos <!--\; \; -->({45}^{\circ <!--\; \circ \; -->})-<!--\; -\; -->y^{″}\sin <!--\; \; -->({45}^{\circ <!--\; \circ \; -->})=\frac{x^{″}-<!--\; -\; -->y^{″}}{\sqrt{2}},$$x'=x''\cos(45^{\circ })-y''\sin(45^{\circ })={\frac {x''-y''}{\sqrt {2}}},$ 

$y^{\prime }=x^{″}\sin <!--\; \; -->({45}^{\circ <!--\; \circ \; -->})+y^{″}\cos <!--\; \; -->({45}^{\circ <!--\; \circ \; -->})=\frac{x^{″}+y^{″}}{\sqrt{2}},$$y'=x''\sin(45^{\circ })+y''\cos(45^{\circ })={\frac {x''+y''}{\sqrt {2}}},$ 

получим в новых координатах:

$x^{\prime }{y}^{\prime }=m,$$x'y'=m,$  $\frac{x^{″}-<!--\; -\; -->y^{″}}{\sqrt{2}}\frac{x^{″}+y^{″}}{\sqrt{2}}=m,$${\frac {x''-y''}{\sqrt {2}}}{\frac {x''+y''}{\sqrt {2}}}=m,$ 

$\frac{x^{″2}}{2m}-<!--\; -\; -->\frac{y^{″2}}{2m}=1.$${\frac {x''^{2}}{2m}}-{\frac {y''^{2}}{2m}}=1.$ 

Последнее уравнение есть каноническое уравнение равносторонней гиперболы с полуосями $a=b=\sqrt{2|m|}.$$a=b={\sqrt {2|m|}}.$ 

Функция двух переменныхПравить

 

Гиперболический параболоид

В случае $n=2$$n = 2$  и действительных $x_1,$$x_{1},$  $x_2,$$x_{2},$  $a_1,$$a_{1},$  $a_2,$$a_{2},$  $b,$$b,$  $c_1,$$c_{1},$  $c_2,$$c_{2},$  $d$$d$  график дробно-линейной функции

$y=\frac{a_1{x}_1+a_2{x}_2+b}{c_1{x}_1+c_2{x}_2+d}$$y={\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+d}}$ 

представляет собой гиперболический параболоид.

Комплексная дробно-линейная функцияПравить

Основная статья: Дробно-линейное преобразование

Комплексная дробно-линейная функция — это числовая функция вида

${\mathbb{C}}^n\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}:w=L(z_1,z_2,\dots <!--\; \dots \; -->,z_n)=\frac{a_1{z}_1+a_2{z}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{z}_n+b}{c_1{z}_1+c_2{z}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+c_n{z}_n+d},$$\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})={\frac {a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+\cdots +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d}},$ 

где $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$  — комплексные числа, $z_1,z_2,\dots <!--\; \dots \; -->,z_n$$z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}$  — комплексные переменные, $a_1,a_2,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n,$$a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},$  $c_1,c_2,\dots <!--\; \dots \; -->,c_n,$$c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},$  $b,d$$b,d$  — комплексные коэффициенты,

$|c_1|+|c_2|+\cdots <!--\; \cdots \; -->+|c_n|+|d|>0$$|c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0$ .

При $n=1$$n = 1$  комплексная дробно-линейная функция

$\mathbb{C}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}:w=L(z)=\frac{az+b}{cz+d}$$\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$  —

аналитическая функция одной комплексной переменной всюду в расширенной комплексной плоскости $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup <!--\; \cup \; -->\{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\}$${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ , за исключением точки $z=-<!--\; -\; -->d/c$$z=-d/c$ , в которой комплексная дробно-линейная функция имеет простой полюс.

При $n⩾<!--\; ⩾\; -->1$$n\geqslant 1$  комплексная дробно-линейная функция

${\mathbb{C}}^n\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}:w=L(z_1,z_2,\dots <!--\; \dots \; -->,z_n)=\frac{a_1{z}_1+a_2{z}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{z}_n+b}{c_1{z}_1+c_2{z}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+c_n{z}_n+d},$$\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})={\frac {a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+\cdots +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d}},$  —

мероморфная функция в пространстве ${\mathbb{C}}^n$${\mathbb C}^{n}$  комплексных переменных $z_1,z_2,\dots <!--\; \dots \; -->,z_n$$z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}$ , имеющая полярное множество

$\{z\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^n;c_1{z}_1+c_2{z}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+c_n{z}_n+d=0\}$$\{z\in \mathbb {C} ^{n};c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d=0\}$ .

ЛитератураПравить

• Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебн. пособие. 13-е изд., стереот. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 238 с., ил. ISBN 5-9221-0252-4.
• Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил.
• Энциклопедия элементарной математики. Книга третья. Функции и пределы (основы анализа) / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. М., Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. 559 с., ил.
• Alan F. Beardon. The geometry of discrete groups. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1983. 337 p., 93 ill.