Додекаэдральное число

Додекаэдра́льное число́ — разновидность многогранных фигурных чисел, связанная с додекаэдром . Общая формула для $n$$n$-го по порядку додекаэдрального числа $D_n$$D_{n}$:

$D_n=n\frac{(3n-<!--\; -\; -->1)(3n-<!--\; -\; -->2)}{2}$$D_{n}=n{\frac {(3n-1)(3n-2)}{2}}$

Первые из додекаэдральных чисел (последовательность A006566 в OEIS):

$1,20,84,220,455,816,1330,2024,2925,4060\dots <!--\; \dots \; -->$$1,20,84,220,455,816,1330,2024,2925,4060\dots$

Рекуррентная формула:

$D_n=D_{n-<!--\; -\; -->1}+\frac{27n^2-<!--\; -\; -->45n+20}{2};D_1=1$$D_{n}=D_{n-1}+{\frac {27n^{2}-45n+20}{2}};\quad D_{1}=1$

Производящая функция последовательности:

${\frac {x(1+16x+10x^{2})}{(x-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}x^{n};\quad |x|<1$

Связь с тетраэдральными числами ${\mathbb{T}}_n$$\mathbb {T} _{n}$:

$D_n={\mathbb{T}}_n+16{\mathbb{T}}_{n-<!--\; -\; -->1}+10{\mathbb{T}}_{n-<!--\; -\; -->2}(n>2)$$D_{n}=\mathbb {T} _{n}+16\mathbb {T} _{n-1}+10\mathbb {T} _{n-2}\quad (n>2)$

Из общей формулы видно, что додекаэдральное число всегда составное (делится на $n$$n$).

ЛитератураПравить

• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.