Отрезок

Эта статья — о понятии в геометрии и математическом анализе. О насильно отрезанных от крестьянских наделов землях см. Отрезки (земля).

Отре́зком называются два близких понятия: в геометрии и математическом анализе.

Отрезок AB (выделен красным)

Отрезок в геометрии Править

В евклидовом пространстве отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. Точнее: это множество, состоящее из двух различных точек данной прямой (которые называются концами отрезка) и всех точек, лежащих между ними (которые называются его внутренними точками). Отрезок, концами которого являются точки $A$$A$  и $B$$B$ , обозначается символом $AB$$AB$ . Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают $AB$$AB$  или $|AB|$$|AB|$ .

Направленный отрезок Править

Основная статья: Вектор (математика)

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки $AB$$AB$  и $BA$$BA$  представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным, или вектором. Например, направленные отрезки $AB$$AB$  и $BA$$BA$  не совпадают. Отдельного обозначения для направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление, обычно указывается особо.

Это приводит к понятию свободного вектора — класса всех возможных векторов, отличающихся друг от друга только параллельным переносом, которые принимаются равными.

Отрезок числовой прямой Править

Основная статья: Промежуток (математика)

Отрезок числовой (координатной) прямой (иначе числовой отрезок, сегмент) — множество вещественных чисел $\{x\}$$\{x\}$ , удовлетворяющих неравенству $a\le <!--\; \le \; -->x\le <!--\; \le \; -->b$$a\leq x\leq b$ , где заранее заданные вещественные числа $a$$a$  и $b$$b$  $(a<b)$  называются концами (граничными точками) отрезка. В противоположность им, остальные числа $x$$x$ , удовлетворяющие неравенству $a<x<b$ , называются внутренними точками отрезка.

Отрезок обычно обозначается $[a,b]$$[a,b]$ :

$[a,b]=\{x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}\mid <!--\; \mid \; -->a\le <!--\; \le \; -->x\le <!--\; \le \; -->b\}$$[a,b]=\{x\in {\mathbb {R}}\mid a\leq x\leq b\}$ .

Любой отрезок, по определению, заведомо включён в множество вещественных чисел. Отрезок является замкнутым промежутком.

Число $|a-<!--\; -\; -->b|=b-<!--\; -\; -->a$$|a-b|=b-a$  называется длиной числового отрезка $[a,b]$$[a,b]$ .

Стягивающаяся система сегментов Править

Система сегментов — это бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой $\{[a,b]|a,b\in \mathbb{R} \land a<b\}$ .

Система сегментов обозначается $\{[a_n,b_n]{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\{[a_{n},b_{n}]\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ . Подразумевается, что каждому натуральному числу $n$$n$  поставлен в соответствие отрезок $[a_n,b_n]$$[a_{n},b_{n}]$ .

Система сегментов $\{[a_n,b_n]{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\{[a_{n},b_{n}]\}_{{n=1}}^{{\infty }}$  называется стягивающейся, если

• каждый следующий отрезок содержится в предыдущем;

  $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}:<!--\; :\; -->[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq <!--\; \subseteq \; -->[a_n,b_n]$$\forall n\in \mathbb{N} \colon [a_{{n+1}},b_{{n+1}}]\subseteq [a_{n},b_{n}]$ 

• соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.

  $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}(b_n-<!--\; -\; -->a_n)=0$$\lim _{{n\to \infty }}(b_{n}-a_{n})=0$ 

У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы.

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\{[a_n,b_n]{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}!c\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n\in <!--\; \in \; -->N:<!--\; :\; -->c\in <!--\; \in \; -->[a_n,b_n],$$\forall \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }~\exists !c\in \mathbb {R} ~\forall n\in N\colon c\in [a_{n},b_{n}],$  где $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}$$\forall$  — квантор всеобщности.

Этот факт следует из свойств монотонной ограниченной последовательности.

См. также Править

• Интервал
• Промежуток
• Алгоритмы построения отрезка
• Прямая