Дифференциальное тождество Бьянки

Тензор Римана удовлетворяет следующему тождеству:

$(1){\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_i{R}_{rjk}^s+{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_j{R}_{rki}^s+{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_k{R}_{rij}^s=0,$$(1)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}+\nabla _{j}R_{\;rki}^{s}+\nabla _{k}R_{\;rij}^{s}=0,$

которое называется дифференциальным тождеством Бьянки (или вторым тождеством Бьянки) в дифференциальной геометрии.

Доказательство с использованием специальной системы координатПравить

Выберем на многообразии какую-то одну произвольную точку $P$$P$  и докажем равенство (1) в этой точке. Поскольку точка $P$$P$  произвольная, то отсюда будет следовать справедливость тождества (1) на всём многообразии.

В точке $P$$P$  мы можем выбрать такую специальную систему координат, что все символы Кристоффеля (но не их производные) превращаются в ноль в этой точке. Тогда для ковариантных производных в точке $P$$P$  имеем

$(2){\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_i{R}_{rjk}^s={\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_i{R}_{rjk}^s.$$(2)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\partial _{i}R_{\;rjk}^{s}.$ 

Поскольку

$(3)R_{rjk}^s={\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_j{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{kr}^s-<!--\; -\; -->{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_k{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{jr}^s+{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{jp}^s{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{kr}^p-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{kp}^s{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{jr}^p,$$(3)\qquad R_{\;rjk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{jr}^{s}+\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{kr}^{p}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{jr}^{p},$ 

то в точке $P$$P$  имеем

$(4){\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_i{R}_{rjk}^s={\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_i{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_j{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{kr}^s-<!--\; -\; -->{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_i{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_k{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{jr}^s.$$(4)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\partial _{i}\partial _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\partial _{i}\partial _{k}\Gamma _{jr}^{s}.$ 

Циклически переставляя в (4) индексы $ijk$$ijk$ , получим ещё два равенства:

$(5){\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_j{R}_{rki}^s={\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_j{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_k{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{ir}^s-<!--\; -\; -->{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_j{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_i{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{kr}^s,$$(5)\qquad \nabla _{j}R_{\;rki}^{s}=\partial _{j}\partial _{k}\Gamma _{ir}^{s}-\partial _{j}\partial _{i}\Gamma _{kr}^{s},$ 

$(6){\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_k{R}_{rij}^s={\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_k{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_i{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{jr}^s-<!--\; -\; -->{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_k{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_j{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{ir}^s.$$(6)\qquad \nabla _{k}R_{\;rij}^{s}=\partial _{k}\partial _{i}\Gamma _{jr}^{s}-\partial _{k}\partial _{j}\Gamma _{ir}^{s}.$ 

Легко видеть, что при сложении равенств (4), (5) и (6) в левой части уравнения получится левая часть выражения (1), а в правой, учтя коммутативность частных производных, все слагаемые взаимно уничтожаются, и мы получим ноль.

См. такжеПравить

• Алгебраическое тождество Бьянки