Дифракция на N щелях

Дифракция на N щелях — это частная задача оптики, где рассматривается дифракция на нескольких щелях в непроницаемом экране.

Дифракция на двух щелях красного лазера

Дифракция на двух и пяти щелях

Распространение волны через щель шириною в длину волны.

Распространение волны через щель, превосходящую шириною длину волны в шесть раз.

Численное приближение дифракционной картины для щели шириной в четыре длины волны с падающей плоской волной. Видны центральный луч, нули, изменение фазы на $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$.

График и вид дифракции на одной щели.

Рассмотрим сначала математическое представление принципа Гюйгенса:

$\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}={\int <!--\; \int \; -->}_{slit}\frac{i}{r\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->ikr}dslit$$\Psi =\int _{slit}{\frac {i}{r\lambda }}\Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,dslit$

Рассмотрим N щелей в экране с равными ширинами (a, $\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$, 0) и расстояниями d между ними вдоль оси x′. Расстояние r от первой щели задаётся формулой:

$r=z{\left(1+\frac{{\left(x-<!--\; -\; -->x^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\right)}^2+y^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}2}}{z^2}\right)}^{\frac{1}{2}}$$r=z\left(1+{\frac {\left(x-x^{\prime }\right)^{2}+y^{{\prime 2}}}{z^{2}}}\right)^{{\frac {1}{2}}}$

Для обобщения на N щелей, заметим, что z и y остаются постоянными, когда x′ сдвигается на

$x_{j=0\cdots <!--\; \cdots \; -->n-<!--\; -\; -->1}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}=x_0^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}-<!--\; -\; -->jd$$x_{j=0\cdots n-1}^{\prime }=x_{0}^{\prime }-jd$

Таким образом,

$r_j=z{\left(1+\frac{{\left(x-<!--\; -\; -->x^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}-<!--\; -\; -->jd\right)}^2+y^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}2}}{z^2}\right)}^{\frac{1}{2}}$$r_{j}=z\left(1+{\frac {\left(x-x^{\prime }-jd\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}$

и сумма по всем N вкладам в амплитуду:

$\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}=\underset{j=0}{\overset{N-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}C{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}{e}^{\frac{ikx\left(x^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}-<!--\; -\; -->jd\right)}{z}}{e}^{\frac{-<!--\; -\; -->ik{\left(x^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}-<!--\; -\; -->jd\right)}^2}{2z}}d{x}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$$\Psi =\sum _{j=0}^{N-1}C\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{\frac {ikx\left(x^{\prime }-jd\right)}{z}}e^{\frac {-ik\left(x^{\prime }-jd\right)^{2}}{2z}}\,dx^{\prime }$

Замечая, что величина $\frac{k{\left(x^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}-<!--\; -\; -->jd\right)}^2}{z}$${\frac {k\left(x^{\prime }-jd\right)^{2}}{z}}$ мала при рассмотрении дифракции Фраунгофера, и $e^{\frac{-<!--\; -\; -->ik{\left(x^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}-<!--\; -\; -->jd\right)}^2}{2z}}\approx <!--\; \approx \; -->1$$e^{\frac {-ik\left(x^{\prime }-jd\right)^{2}}{2z}}\approx 1$, получим:

$\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}$$\Psi$	$=C\underset{j=0}{\overset{N-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}{e}^{\frac{ikx\left(x^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}-<!--\; -\; -->jd\right)}{z}}d{x}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$$=C\sum _{j=0}^{N-1}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{\frac {ikx\left(x^{\prime }-jd\right)}{z}}\,dx^{\prime }$
	$=C\underset{j=0}{\overset{N-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\left(e^{\frac{ikax}{2z}-<!--\; -\; -->\frac{ijkxd}{z}}-<!--\; -\; -->e^{\frac{-<!--\; -\; -->ikax}{2z}-<!--\; -\; -->\frac{ijkxd}{z}}\right)}{\frac{2ikax}{2z}}$$=C\sum _{j=0}^{N-1}{\frac {\left(e^{{\frac {ikax}{2z}}-{\frac {ijkxd}{z}}}-e^{{\frac {-ikax}{2z}}-{\frac {ijkxd}{z}}}\right)}{\frac {2ikax}{2z}}}$
	$=C\underset{j=0}{\overset{N-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{e}^{\frac{ijkxd}{z}}\frac{\left(e^{\frac{ikax}{2z}}-<!--\; -\; -->e^{\frac{-<!--\; -\; -->ikax}{2z}}\right)}{\frac{2ikax}{2z}}$$=C\sum _{j=0}^{N-1}e^{\frac {ijkxd}{z}}{\frac {\left(e^{\frac {ikax}{2z}}-e^{\frac {-ikax}{2z}}\right)}{\frac {2ikax}{2z}}}$
	$=C\frac{\sin <!--\; \; -->\frac{ka\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}}{\frac{ka\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}}\underset{j=1}{\overset{N-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{e}^{ijkd\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$$=C{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\sum _{j=1}^{N-1}e^{ijkd\sin \theta }$

Теперь используем следующее равенство:

$\underset{j=0}{\overset{N-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{e}^{xj}=\frac{1-<!--\; -\; -->e^{Nx}}{1-<!--\; -\; -->e^x}.$$\sum _{j=0}^{N-1}e^{xj}={\frac {1-e^{Nx}}{1-e^{x}}}.$

Подставляя в наше уравнение, приходим к выражению:

$\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}$$\Psi$	$=C\frac{\sin <!--\; \; -->\frac{ka\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}}{\frac{ka\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}}\left(\frac{1-<!--\; -\; -->e^{iNkd\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}{1-<!--\; -\; -->e^{ikd\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}\right)$$=C{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\left({\frac {1-e^{iNkd\sin \theta }}{1-e^{ikd\sin \theta }}}\right)$
	$=C\frac{\sin <!--\; \; -->\frac{ka\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}}{\frac{ka\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}}\left(\frac{e^{-<!--\; -\; -->iNkd\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}}-<!--\; -\; -->e^{iNkd\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}}}{e^{-<!--\; -\; -->ikd\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}}-<!--\; -\; -->e^{ikd\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}}}\right)\left(\frac{e^{iNkd\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}}}{e^{ikd\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}}}\right)$$=C{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\left({\frac {e^{-iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{e^{-ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}}\right)\left({\frac {e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}}\right)$
	$=C\frac{\sin <!--\; \; -->\frac{ka\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}}{\frac{ka\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}}\frac{\frac{e^{-<!--\; -\; -->iNkd\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}}-<!--\; -\; -->e^{iNkd\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}}}{2i}}{\frac{e^{-<!--\; -\; -->ikd\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}}-<!--\; -\; -->e^{ikd\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}}}{2i}}\left(e^{i(N-<!--\; -\; -->1)kd\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}}\right)$$=C{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {\frac {e^{-iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{2i}}{\frac {e^{-ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{2i}}}\left(e^{i(N-1)kd{\frac {\sin \theta }{2}}}\right)$
	$=C\frac{\sin <!--\; \; -->\left(\frac{ka\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}\right)}{\frac{ka\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}}\frac{\sin <!--\; \; -->\left(\frac{Nkd\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}\right)}{\sin <!--\; \; -->\left(\frac{kd\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}\right)}{e}^{i\left(N-<!--\; -\; -->1\right)kd\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}}$$=C{\frac {\sin \left({\frac {ka\sin \theta }{2}}\right)}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {\sin \left({\frac {Nkd\sin \theta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {kd\sin \theta }{2}}\right)}}e^{i\left(N-1\right)kd{\frac {\sin \theta }{2}}}$

поставим k в виде $\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$${\frac {2\pi }{\lambda }}$ и представляя все неосциллирующие постоянные как $I_0$$I_0$, как в дифракции на одной щели. Помня $⟨<!--\; ⟨\; -->e^{ix}|e^{ix}⟩<!--\; ⟩\; -->=e^0=1$$\langle e^{ix}{\Big |}e^{ix}\rangle \ =e^{0}=1$, получим для интенсивности света ответ:

$I\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)=I_0{\left[\mathrm{sinc}<!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}a}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)\right]}^2\cdot <!--\; \cdot \; -->{\left[\frac{\sin <!--\; \; -->\left(\frac{N\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}d}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)}{\sin <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}d}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)}\right]}^2$$I\left(\theta \right)=I_{0}\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi a}{\lambda }}\sin \theta \right)\right]^{2}\cdot \left[{\frac {\sin \left({\frac {N\pi d}{\lambda }}\sin \theta \right)}{\sin \left({\frac {\pi d}{\lambda }}\sin \theta \right)}}\right]^{2}$