Диполь (электродинамика)

Дипо́ль (фр. dipôle, от греч. di(s) «дважды» + polos «ось», «полюс», буквально — «дву(х)полюсность») — идеализированная система, служащая для приближённого описания поля, создаваемого более сложными системами зарядов, а также для приближенного описания действия внешнего слоя поля на такие системы.

Магнитное поле Земли примерно совпадает с полем диполя. Однако «N» и «S» (северный и южный) полюса отмечены «географически», то есть противоположно принятому обозначению для полюсов магнитного диполя.

Типичный и стандартный пример диполя — два заряда, равные по величине и противоположные по знаку, находящиеся друг от друга на расстоянии, очень малом по сравнению с расстоянием до точки наблюдения. Поле такой системы полностью описывается дипольным приближением при стремлении расстояния между зарядами к нулю при сохранении произведения величины заряда на расстояние между зарядами — постоянным (или стремящимся к конечному пределу; эта константа или этот предел будет дипольным моментом такой системы).

Эквипотенциальные поверхности электрического диполя

Силовые линии электрического диполя

Дипольное приближение, выполнение которого обычно подразумевается, когда говорится о поле диполя, основано на разложении потенциалов поля в ряд по степеням радиус-вектора, характеризующего положение зарядов-источников, и отбрасывании всех членов выше первого порядка.
Полученные функции будут эффективно описывать поле в случае, если:

1. размеры создающей или излучающей поле системы (области, содержащей заряды) малы по сравнению с рассматриваемыми расстояниями, так что отношение характерного размера системы к длине радиус-вектора является малой величиной и имеет смысл рассмотрение лишь первых членов разложения потенциалов в ряд;
2. член первого порядка в разложении не равен 0, в противном случае нужно использовать приближение более высокой мультипольности;
3. в уравнениях рассматриваются градиенты потенциалов не выше первого порядка.

Дипольный момент системыПравить

Электрический дипольПравить

Электрический диполь — идеализированная электронейтральная система, состоящая из точечных и равных по абсолютной величине положительного и отрицательного электрических зарядов.

Другими словами, электрический диполь представляет собой совокупность двух равных по абсолютной величине разноимённых точечных зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга.

Произведение вектора $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{l},$$\vec l,$  проведённого от отрицательного заряда к положительному, на абсолютную величину зарядов $q,$$q\,,$  называется дипольным моментом: $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{d}=q\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{l}.$$\vec d=q\vec l.$ 

Во внешнем электрическом поле $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E}$$\vec E$  на электрический диполь действует момент сил $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{d}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E},$${\vec d}\times{\vec E},$  который стремится повернуть его так, чтобы дипольный момент развернулся вдоль направления поля.

Потенциальная энергия электрического диполя в (постоянном) электрическом поле равна $-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{d}.$$-{\vec E}\cdot{\vec d}.$  (В случае неоднородного поля это означает зависимость не только от момента диполя — его величины и направления, но и от места, точки нахождения диполя).

Вдали от электрического диполя напряжённость его электрического поля убывает с расстоянием $R$$R$  как $R^{-<!--\; -\; -->3},$$R^{-3},$  то есть быстрее, чем у точечного заряда ($E\sim <!--\; \sim \; -->R^{-<!--\; -\; -->2}$$E \sim R^{-2}$ ).

Дипольное приближение для электростатического поля нейтральной системыПравить

Любая в целом электронейтральная система, содержащая электрические заряды, в некотором приближении (то есть собственно в дипольном приближении) может рассматриваться как электрический диполь с моментом $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{d}=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{q}_i{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_i,$$\vec d = \sum_i q_i {\vec r}_i,$  где $q_i$$q_{i}$  — заряд $i$$i$ -го элемента, ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_i$${\vec r}_i$  — его радиус-вектор. При этом дипольное приближение будет корректным, если расстояние, на котором изучается электрическое поле системы, велико по сравнению с её характерными размерами.

В точечном приближении, поле, создаваемое диполем в точке с радиус-вектором $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}$${\vec {r}}$  даётся следующим соотношением:

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E}=\frac{1}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0}\frac{3\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{d})-<!--\; -\; -->r^2\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{d}}{r^5}$${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {3{\vec {r}}({\vec {r}},{\vec {d}})-{r^{2}}{\vec {d}}}{r^{5}}}$ 

Дипольное приближение для электростатического поля не-нейтральной системыПравить

Не электрически нейтральная система очевидным образом может быть представлена как сумма (суперпозиция) электрически нейтральной системы и точечного заряда. Для этого достаточно поместить куда-то внутрь системы точечный заряд, противоположный ее суммарному заряду, и в ту же точку еще один точечный заряд, равный ее суммарному заряду. После чего рассматривать первый заряд вместе с остальной системой (ее дипольный момент будет очевидно равен дипольному моменту, вычисленному по формуле, приведенной выше, если за начало координат взять положение добавленного точечного заряда: тогда сам добавленный заряд не войдет в выражение). Второй же точечный заряд даст кулоновское поле.

То есть, вдалеке от такой системы электростатическое поле, создаваемое ею, в дипольном приближении будет суммой (суперпозицией) кулоновского поля, создаваемого зарядом этой системы $Q=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{q}_i,$$Q=\sum _{i}q_{i},$  условно помещенного в некоторую точку внутри системы зарядов, и поля диполя с моментом $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{d}=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{q}_i{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_i,$$\vec d = \sum_i q_i {\vec r}_i,$ , где радиус-векторы берутся от положения заряда $Q.$$Q.$  Нетрудно показать при этом и что такое поле в дипольном приближении не зависит от произвольно (но обязательно внутри системы зарядов или очень близко к ней) выбранного положения точечного заряда $Q,$$Q,$  поскольку поправка в нужном порядке будет компенсироваться изменением вычисленного дипольного момента (ведь перемещение положения заряда $Q$$Q$  на некоторое $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{D}$${\vec D}$  эквивалентно наложению диполя с моментом $Q\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{D}$$Q{\vec {D}}$ ).

Магнитный дипольПравить

Магнитный диполь — аналог электрического, который можно представить себе как систему двух «магнитных зарядов» — магнитных монополей. Эта аналогия условна, так как магнитные заряды не обнаружены. В качестве модели магнитного диполя можно рассматривать небольшую (по сравнению с расстояниями, на которых излучается генерируемое диполем магнитное поле) плоскую замкнутую проводящую рамку площади $S,$$S\,,$  по которой течёт ток $I.$$I\,.$  При этом магнитным моментом диполя (в системе СГСМ) называют величину $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=IS\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n},$${\vec \mu} = I S {\vec n},$  где $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}$${\vec n}$  — единичный вектор, направленный перпендикулярно плоскости рамки в том направлении, при наблюдении в котором ток в рамке представляется текущим по часовой стрелке.

Выражения для вращающего момента $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}$$\vec M$ , действующего со стороны магнитного поля на магнитный диполь, и потенциальной энергии постоянного магнитного $U$$U$ диполя в магнитном поле, аналогичны соответствующим формулам для взаимодействия электрического диполя с электрическим полем, только входят туда магнитный момент $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{m}$$\vec m$  и вектор магнитной индукции $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B}$${\vec {B}}$ :

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{m}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B},$${\vec {M}}={\vec {m}}\times {\vec {B}},$ 

$U=-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{m}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B}.$$U = - \vec m \cdot \vec B.$ 

Поле колеблющегося диполяПравить

В этом разделе рассматривается поле, создаваемое точечным электрическим диполем $\mathbf{d}(t),$$\mathbf{d}(t),$  находящимся в заданной точке пространства.

Поле на близких расстояниях (ближняя зона)Править

Поле точечного диполя, колеблющегося в вакууме, имеет вид

$\mathbf{E}=\frac{3\mathbf{n}(\mathbf{n},\mathbf{d})-<!--\; -\; -->\mathbf{d}}{R^3}+\frac{3\mathbf{n}(\mathbf{n},\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathbf{d}})-<!--\; -\; -->\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathbf{d}}}{c{R}^2}+\frac{\mathbf{n}(\mathbf{n},\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{\mathbf{d}})-<!--\; -\; -->\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{\mathbf{d}}}{c^{2}R}$$\mathbf{E} = \frac{3 \mathbf{n} (\mathbf{n}, \mathbf{d})-\mathbf{d}}{R^3} + \frac{3 \mathbf{n} (\mathbf{n}, \dot{\mathbf{d}}) - \dot{\mathbf{d}}}{c R^2} + \frac{ \mathbf{n} (\mathbf{n}, \ddot{\mathbf{d}}) - \ddot{\mathbf{d}}}{c^2 R}$ 

$\mathbf{B}=\left[\frac{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathbf{d}}}{c{R}^2}+\frac{\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{\mathbf{d}}}{R{c}^2},\mathbf{n}\right]=\left[\mathbf{n},\mathbf{E}+\frac{\mathbf{d}}{R^3}\right],$$\mathbf {B} =\left[{\frac {\dot {\mathbf {d} }}{cR^{2}}}+{\frac {\ddot {\mathbf {d} }}{Rc^{2}}},\mathbf {n} \right]=\left[\mathbf {n} ,\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {d} }{R^{3}}}\right],$ 

где $\mathbf{n}=\frac{\mathbf{R}}{R}$$\mathbf{n} = \frac{\mathbf{R}}{R}$  — единичный вектор в рассматриваемом направлении, $c$$c$  — скорость света.

Этим выражениям можно придать несколько другую форму, если ввести вектор Герца

$\mathbf{Z}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{R}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{d}\left(t-<!--\; -\; -->\frac{R}{c}\right).$$\mathbf{Z} = - \frac{1}{R} \cdot \mathbf{d}\left(t-\frac{R}{c}\right).$ 

Напомним, что диполь покоится в начале координат, так что $\mathbf{d}$$\mathbf{d}$  является функцией одной переменной. Тогда

$\mathbf{E}=-<!--\; -\; -->\mathrm{rot}\mathrm{rot}\mathbf{Z},$$\mathbf{E} = - \operatorname{rot}\,\operatorname{rot}\,\mathbf{Z},$ 

$\mathbf{B}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{c}\mathrm{rot}\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathbf{Z}}.$$\mathbf{B} = - \frac{1}{c}\operatorname{rot}\,\dot{\mathbf{Z}}.$ 

При этом потенциалы поля можно выбрать в виде

$\mathbf{A}=-<!--\; -\; -->\frac{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathbf{Z}}}{c},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}=\mathrm{div}\mathbf{Z}.$$\mathbf{A} = - \frac{\dot{\mathbf{Z}}}{c}, ~~ \phi = \operatorname{div}\,\mathbf{Z}.$ 

Указанные формулы можно применять всегда, когда применимо дипольное приближение.

Дипольное излучение (излучение в волновой зоне или дальней зоне)Править

Приведённые формулы существенно упрощаются, если размеры системы много меньше длины излучаемой волны, то есть скорости зарядов много меньше c, а поле рассматривается на расстояниях много больших, чем длина волны. Такую область поля называют волновой зоной. Распространяющуюся волну можно в этой области считать практически плоской. Из всех членов в выражениях для $\mathbf{E}$$\mathbf {E}$  и $\mathbf{B}$$\mathbf {B}$  существенными оказываются только члены, содержащие вторые производные от $\mathbf{d},$$\mathbf{d},$  так как

$\frac{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathbf{d}}}{c}\approx <!--\; \approx \; -->\frac{d}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}},$$\frac{\dot{\mathbf{d}}}{c} \approx \frac{d}{\lambda},$ 

$\frac{\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{\mathbf{d}}}{c^2}\approx <!--\; \approx \; -->\frac{d}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2}.$$\frac{\ddot{\mathbf{d}}}{c^2} \approx \frac{d}{\lambda^2}.$ 

Выражения для полей в системе СГС принимают вид

$\mathbf{H}=\frac{1}{c^{2}R}[\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{\mathbf{d}},\mathbf{n}],\mathbf{H}=[\mathbf{n},\mathbf{E}],$${\mathbf {H}}={\frac {1}{c^{2}R}}[{\ddot {{\mathbf {d}}}},{\mathbf {n}}],~~{\mathbf {H}}=[{\mathbf {n}},{\mathbf {E}}],$ 

$\mathbf{E}=\frac{1}{c^{2}R}\left[[\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{\mathbf{d}},\mathbf{n}],\mathbf{n}\right],\mathbf{E}=[\mathbf{B},\mathbf{n}].$$\mathbf{E} = \frac{1}{c^2 R}\left[ [\ddot{\mathbf{d}},\mathbf{n}] , \mathbf{n} \right], ~~ \mathbf{E} = [\mathbf{B} , \mathbf{n}].$ 

В плоской волне интенсивность излучения в телесный угол $d\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$d\Omega$  равна

$dI=c\frac{H^2}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{R}^{2}d\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},$$dI=c{\frac {H^{2}}{4\pi }}R^{2}d\Omega ,$ 

поэтому для дипольного излучения

$dI=\frac{1}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{c}^3}[\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{\mathbf{d}},\mathbf{n}{]}^{2}d\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=\frac{{\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{\mathbf{d}}}^2}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{c}^3}{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}d\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}.$$dI={\frac {1}{4\pi c^{3}}}[{\ddot {\mathbf {d} }},\mathbf {n} ]^{2}d\Omega ={\frac {{\ddot {\mathbf {d} }}^{2}}{4\pi c^{3}}}\sin ^{2}{\theta }d\Omega .$ 

где $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$  — угол между векторами $\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{\mathbf{d}}$$\ddot{\mathbf{d}}$  и $\mathbf{n}.$$\mathbf{n}.$  Найдём полную излучаемую энергию. Учитывая, что $d\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},$$d\Omega =2\pi \,\sin {\theta }\,d\theta ,$  проинтегрируем выражение по $d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$d\theta$  от $0$$0$  до $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}.$$\pi.$  Полное излучение равно

$I=\frac{2}{3c^3}{\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{\mathbf{d}}}^2.$$I = \frac{2}{3 c^3} {\ddot{\mathbf{d}}}^2.$ 

Укажем спектральный состав излучения. Он получается заменой вектора $\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{\mathbf{d}}$$\ddot{\mathbf{d}}$  на его Фурье-компоненту и одновременным умножением выражения на 2. Таким образом,

$d{\mathcal{E}}_{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}=\frac{4{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^4}{3c^3}{\left|{\mathbf{d}}_{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}\right|}^2\frac{d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}.$$d \mathcal{E}_\omega = \frac{4 \omega^4}{3 c^3} \left| \mathbf{d}_\omega \right|^2 \frac{d\omega}{2\pi}.$ 

См. такжеПравить

• Мультиполь
• Квадруполь
• Октуполь
• Дипольный момент
• Магнитный дипольный момент
• Диполярная система координат

ЛитератураПравить

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
• Ахманов С. А., Никитин С. Ю., «Физическая оптика», 2004.