Дивизор (алгебраическая геометрия)

В алгебраической геометрии дивизоры являются обобщением подмногообразий некоторого алгебраического многообразия коразмерности 1. Существуют два различных таких обобщения — дивизоры Вейля и дивизоры Картье (названы в честь Андре Вейля и Пьера Картье), эти понятия эквивалентны в случае многообразий (или схем) без особенностей.

Дивизоры ВейляПравить

ОпределениеПравить

Дивизор Вейля на алгебраическом многообразии $X$$X$  (или, более общо, на нётеровой схеме) — это конечная линейная комбинация $\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{n}_i[Z_i]$${\sum _{i}n_{i}[Z_{i}]}$ , где $[Z_i]$$[Z_{i}]$  — неприводимые замкнутые подмножества $X$$X$ , а $n_i$$n_{i}$  — целые коэффициенты. Очевидно, что дивизоры Вейля образуют абелеву группу относительно сложения; эту группу обозначают $\mathrm{W}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{l}X$${\mathrm {Weil}}\,X$ . Дивизор вида $[Z]$$[Z]$  называется простым, а дивизор, для которого все коэффициенты $n_i$$n_{i}$  неотрицательны — эффективным.

Группа классов дивизоровПравить

Предположим, что схема $X$$X$  является целой, отделимой, и регулярной в коразмерности 1 (в частности, эти свойства выполняются для гладких алгебраических многообразий). Регулярность в коразмерности 1 означает, что локальное кольцо общей точки любого неприводимого замкнутого подмножества коразмерности 1 регулярно (и нётерово, так как является локализацией нётерова кольца), а следовательно, является кольцом дискретного нормирования. Любая рациональная функция на $X$$X$  (элемент поля частных кольца регулярных функций $K[X]$$K[X]$ ) имеет некоторую норму в этом кольце. Если норма рациональной функции больше нуля для некоторого неприводимого подмножества $Y$$Y$ , то говорят, что рациональная функция имеет ноль на $Y$$Y$ , а если меньше нуля — имеет полюс. Из нётеровости схемы выводится, что норма рациональной функции не равна нулю лишь для конечного числа неприводимых подмножеств, таким образом каждой рациональной функции сопоставляется дивизор, обозначаемый $(f)$$(f)$ . Дивизоры, которые можно получить таким образом, называют главными.

Поскольку $(fg)=(f)+(g)$$(fg)=(f)+(g)$ , главные дивизоры образуют подгруппу в $\mathrm{W}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{l}X$${\mathrm {Weil}}\,X$ . Факторгруппа по подгруппе главных дивизоров называется группой классов дивизоров и обозначается $\mathrm{C}\mathrm{l}X$${\mathrm {Cl}}\,X$ . Группа классов дивизоров сама по себе является интересным инвариантом схемы (тривиальность группы классов аффинной схемы $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A$${\mathrm {Spec}}A$  является критерием факториальности кольца $A$$A$  при условии, что $A$$A$  нётерово и целозамкнуто), а также, в некоторых случаях, позволяет классифицировать все одномерные расслоения над данной схемой.

Дивизоры Вейля и линейные расслоенияПравить

Пусть $\mathcal{L}$${\mathcal L}$  — линейное расслоение над (целой, нётеровой, регулярной в коразмерности 1) схемой $X$$X$ ; ему соответствует пучок сечений, локально изоморфный кольцу регулярных функций на $X$$X$ . Используя эти изоморфизмы, любому рациональному сечению $s$$s$  данного пучка (то есть сечению над некоторым открытым плотным подмножеством) можно сопоставить дивизор его нулей и полюсов, обозначаемый $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}s$${\mathrm {div}}\,s$ . Два различных рациональных сечения отличаются умножением на рациональную функцию, поэтому это сопоставление определяет корректно заданное отображение из группы Пикара^[en] в группу классов дивизоров: $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}:\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}X\to <!--\; \to \; -->\mathrm{C}\mathrm{l}X$${\mathrm {div}}:{\mathrm {Pic}}\,X\to {\mathrm {Cl}}\,X$ . Можно проверить также, что это отображение является гомоморфизмом (тензорному произведению расслоений соответствует сумма дивизоров), в случае нормальности схемы оно инъективно, а в случае локальной факториальности схемы — сюръективно. В частности, все эти условия выполняются для гладких алгебраических многообразий, что даёт классификацию линейных расслоений над ними с точностью до изоморфизма. Например, все одномерные расслоения над аффинной локально факториальной схемой тривиальны, так как тривиальна её группа классов дивизоров.

Дивизоры КартьеПравить

Для работы с произвольными схемами, имеющими особенности, часто оказывается более удобным другое обобщение понятия подмногообразия коразмерности 1. Пусть $U_i$$U_{i}$  — некоторое покрытие схемы $X$$X$  аффинными схемами, а $f_i$$f_{i}$  — семейство рациональных функций на соответствующих $U_i$$U_{i}$  (в данном случае под рациональной функцией подразумевается элемент полного кольца частных). Если эти функции согласованы, в том смысле что $f_i$$f_{i}$  и $f_j$$f_{j}$  на $U_i\cap <!--\; \cap \; -->U_j$$U_{i}\cap U_{j}$  отличаются умножением на обратимую регулярную функцию, то данное семейство задаёт дивизор Картье.

Более точно, пусть $K(U)$$K(U)$  — полное кольцо частных кольца регулярных функций ${\mathcal{O}}_X(U)$${\mathcal O}_{X}(U)$  (где $U$$U$  — произвольное аффинное открытое подмножество). Так как аффинные подмножества образуют базу топологии $X$$X$ , все $K(U)$$K(U)$  однозначно определяют предпучок на $X$$X$ , соответствующий ему пучок обозначается ${\mathcal{K}}_X^{\ast <!--\; \ast \; -->}$${\mathcal K}_{X}^{*}$ . Дивизором Картье называется глобальное сечение факторпучка ${\mathcal{K}}_X^{\ast <!--\; \ast \; -->}/{\mathcal{O}}_X^{\ast <!--\; \ast \; -->}$${\mathcal K}_{X}^{*}/{\mathcal O}_{X}^{*}$ , где ${\mathcal{O}}_X^{\ast <!--\; \ast \; -->}$${\mathcal O}_{X}^{*}$  — пучок обратимых регулярных функций. Имеется точная последовательность $0\to <!--\; \to \; -->{\mathcal{O}}_X^{\ast <!--\; \ast \; -->}\to <!--\; \to \; -->{\mathcal{K}}_X^{\ast <!--\; \ast \; -->}\to <!--\; \to \; -->{\mathcal{K}}_X^{\ast <!--\; \ast \; -->}/{\mathcal{O}}_X^{\ast <!--\; \ast \; -->}\to <!--\; \to \; -->0$$0\to {\mathcal O}_{X}^{*}\to {\mathcal K}_{X}^{*}\to {\mathcal K}_{X}^{*}/{\mathcal O}_{X}^{*}\to 0$ , применив к ней точный слева функтор глобальных сечений, получим точную последовательность $0\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(X,{\mathcal{O}}_X^{\ast <!--\; \ast \; -->})\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(X,{\mathcal{K}}_X^{\ast <!--\; \ast \; -->})\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(X,{\mathcal{K}}_X^{\ast <!--\; \ast \; -->}/{\mathcal{O}}_X^{\ast <!--\; \ast \; -->})\to <!--\; \to \; -->H^1(X,{\mathcal{O}}_X^{\ast <!--\; \ast \; -->})$$0\to \Gamma (X,{\mathcal O}_{X}^{*})\to \Gamma (X,{\mathcal K}_{X}^{*})\to \Gamma (X,{\mathcal K}_{X}^{*}/{\mathcal O}_{X}^{*})\to H^{1}(X,{\mathcal O}_{X}^{*})$ . Дивизоры Картье, лежащие в образе отображения из $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(X,{\mathcal{K}}_X^{\ast <!--\; \ast \; -->})$$\Gamma (X,{\mathcal K}_{X}^{*})$ , называются главными.

Существует естественный гомоморфизм из группы дивизоров Картье (групповая операция соответствует умножению функций) в группу дивизоров Вейля; если $X$$X$  — целая отделимая нётерова схема, все локальные кольца которой факториальны, это отображение является изоморфизмом. В случае же, когда условие локальной факториальности не выполняется, дивизоры Картье соответствуют локально главным дивизорам Вейля (дивизорам, которые в окрестности каждой точки задаются как нули некоторой рациональной функции). Пример дивизора Вейля, не являющегося дивизором Картье — прямая в квадратичном конусе $\mathbb{R}[x,y,z]/(x^2+y^2-<!--\; -\; -->z^2)$${\mathbb R}[x,y,z]/(x^{2}+y^{2}-z^{2})$ , проходящая через его вершину.

Дивизору Картье, как и дивизору Вейля, можно сопоставить линейное расслоение (или, эквивалентно, обратимый пучок). Отображение из факторгруппы дивизоров Картье по подгруппе главных дивизоров в группу Пикара является инъективным гомоморфизмом, а в случае проективных или целых схем — сюръективным.

Эффективные дивизоры КартьеПравить

Дивизор Картье называется эффективным, если все задающие его функции $f_i$$f_{i}$  регулярны на соответствующих множествах $U_i$$U_{i}$ . В этом случае соответствующий дивизору обратимый пучок является пучком идеалов^[en], то есть пучком функций, зануляющихся на некоторой замкнутой подсхеме. Обратно, эта замкнутая подсхема однозначно определяет эффективный дивизор, поэтому эффективные дивизоры Картье на $X$$X$  можно определить как замнутые подсхемы $X$$X$ , которые локально можно задать как множество нулей одной функции, не являющейся делителем нуля. На целой отделлимой нётеровой схеме, локальные кольца которой факториальны, эффективные дивизоры Картье соответствуют в точности эффективным дивизорам Вейля.

ЛитератураПравить

• Р. Хартсхорн. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
• Kleiman, Steven. Misconceptions about K_X // L'Enseignment Mathématique. — 1979. — № 25. — P. 203-206. — doi:10.5169/seals-50379.

СсылкиПравить

• Ravi Vakil. MATH 216: Foundations of Algebraic Geometry (версия 11.06.2013). — записки курса алгебраической геометрии, прочитанного в Стэнфордском университете.