Диада

Диа́да — это специальный тензор второго ранга, внешнее произведение двух векторов. В компонентной записи диада имеет вид

$A_{ij}=a_i{b}_j,$$\ A_{ij}=a_{i}b_{j},$

В бескоординатной форме

$\mathbf{A}=\mathbf{a}\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathbf{b}$$\mathbf {A} =\mathbf {a} \otimes \mathbf {b}$, либо просто $\mathbf{a}\mathbf{b}$$\mathbf {ab}$

Любой двухвалентный тензор можно разложить в сумму не более чем n диад, где n — размерность исходного линейного пространства, так как

${\begin{bmatrix}0&\dots &a_{1}&\dots &0\\0&\dots &a_{2}&\dots &0\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\0&\dots &a_{n}&\dots &0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\dots \\a_{n}\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&\dots &1&\dots &0\end{bmatrix}}$

и любая матрица представима как сумма не более чем n таких «одностолбцовых» матриц.

Пример диадыПравить

Например, рассмотрим пару векторов

$\mathbf{A}=a\mathbf{i}+b\mathbf{j}$$\mathbf {A} =a\mathbf {i} +b\mathbf {j}$ 

и

$\mathbf{B}=c\mathbf{i}+d\mathbf{j}.$$\mathbf {B} =c\mathbf {i} +d\mathbf {j} .$ 

Тогда тензорное произведение A и B равно

$\mathbf{A}\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathbf{B}=ac\mathbf{i}\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathbf{i}+ad\mathbf{i}\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathbf{j}+bc\mathbf{j}\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathbf{i}+bd\mathbf{j}\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathbf{j}$$\mathbf {A\otimes B} =ac\mathbf {i\otimes i} +ad\mathbf {i\otimes j} +bc\mathbf {j\otimes i} +bd\mathbf {j\otimes j}$ .

Оператор вращенияПравить

Двухвалентный тензор

$\mathbf{j}\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathbf{i}-<!--\; -\; -->\mathbf{i}\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathbf{j}$$\mathbf {j\otimes i} -\mathbf {i\otimes j}$  -

это оператор вращения плоскости на 90° (против часовой стрелки). Он действует слева от вектора и производит вращение:

$(\mathbf{j}\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathbf{i}-<!--\; -\; -->\mathbf{i}\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathbf{j})\cdot <!--\; \cdot \; -->(x\mathbf{i}+y\mathbf{j})=x\mathbf{j}\mathbf{(}\mathbf{i}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{i}\mathbf{)}-<!--\; -\; -->x\mathbf{i}\mathbf{(}\mathbf{j}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{i}\mathbf{)}+y\mathbf{j}\mathbf{(}\mathbf{i}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{j}\mathbf{)}-<!--\; -\; -->y\mathbf{i}\mathbf{(}\mathbf{j}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{j}\mathbf{)}=-<!--\; -\; -->y\mathbf{i}+x\mathbf{j}.$$(\mathbf {j\otimes i} -\mathbf {i\otimes j} )\cdot (x\mathbf {i} +y\mathbf {j} )=x\mathbf {j(i} \cdot \mathbf {i)} -x\mathbf {i(j} \cdot \mathbf {i)} +y\mathbf {j(i} \cdot \mathbf {j)} -y\mathbf {i(j} \cdot \mathbf {j)} =-y\mathbf {i} +x\mathbf {j} .$ 

Использование диадПравить

В физикеПравить

Как простейшие составляющие двухвалентных тензоров, диады нашли применение в кристаллофизике при описании симметрийных свойств кристаллов. Наибольшее развитие данный подход получил в так называемом ковариантном или бескоординатном методе, развиваемом белорусской школой теоретической физики.

ЛитератураПравить

• Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — 9-е изд. — М.: Наука, 1965. — 424  с.
• Димитриенко Ю. И. Тензорное исчисление. — М.: Высшая школа, 2001. — 575  с.