Дефект (геометрия)

Дефект — разность между величиной $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$ (соответственно, $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$) и суммой плоских углов многогранника, примыкающих к одной вершине (соответственно, суммой углов гиперболического треугольника). Противоположное понятие — избыток или эксцесс.

ПримерыПравить

Многогранник	Количество вершин	Сходящиеся в вершине грани	Дефект при вершине	Полный дефект
тетраэдр	4	Три равносторонних треугольника	$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$	$4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$4\pi$
октаэдр	6	Четыре равносторонних треугольника	$\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}$${2\pi \over 3}$	$4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$4\pi$
куб	8	Три квадрата	$\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}$${\pi \over 2}$	$4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$4\pi$
икосаэдр	12	Пять равносторонних треугольников	$\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}$${\pi \over 3}$	$4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$4\pi$
додекаэдр	20	Три правильных пятиугольника	$\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5}$${\pi \over 5}$	$4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$4\pi$

СвойстваПравить

• Дефект при вершине выпуклого многогранника всегда положителен.
• Сумма дефектов многогранника равна его эйлеровой характеристике, умноженной на $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$ . В частности, сумма дефектов выпуклого многогранника равна $4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$4\pi$ .

ЛитератураПравить

• Н. Долбилин. Три теоремы о выпуклых многогранниках // Квант. — 2001. — № 5. — С. 7-12.