Дерево палиндромов

Дерево палиндромов (англ. palindromic tree, также овердрево, англ. eertree) — структура данных, предназначенная для хранения и обработки палиндромных подстрок некоторой строки. Была предложена учёными из Уральского федерального университета Михаилом Рубинчиком и Арсением Шуром в 2015 году. Представляет собой два префиксных дерева, собранных из правых «половинок» палиндромных подстрок чётной и нечётной длины соответственно. Структура занимает $O(n)$$O(n)$ памяти и может быть построена за время $O(n\log <!--\; \; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})$$O(n\log \sigma )$, где $n$$n$ — длина строки, а $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$ — количество различных символов в ней. С помощью дерева палиндромов можно эффективно решать такие задачи, как подсчёт числа различных палиндромных подстрок, поиск разбиения строки на наименьшее число палиндромов, проверка подстроки на то, является ли она палиндромом, и другие.

Дерево палиндромов
англ. eertree
Дерево палиндромов для строки eertree
Тип	структура данных
Год изобретения	2015
Автор	Михаил Рубинчик[d]
Сложность в О-символике
В худшем случае Построение $O(n\log <!--\; \; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})$$O(n\log \sigma )$ Расход памяти $O(n)$$O(n)$
Медиафайлы на Викискладе

ОбозначенияПравить

Пусть $S=s_1{s}_2\dots <!--\; \dots \; -->s_n$$S=s_{1}s_{2}\dots s_{n}$  — некоторая строка, а $S^R=s_n{s}_{n-<!--\; -\; -->1}\dots <!--\; \dots \; -->s_1$$S^{R}=s_{n}s_{n-1}\dots s_{1}$  — обращённая строка $S$$S$ . При описании дерева палиндромов строки $S$$S$  используются следующие обозначения:

• Строка $S$$S$  называется палиндромом, если она читается одинаково слева направо и справа налево, то есть если $S=S^R$$S=S^{R}$ .

• Подстрокой называют непрерывную подпоследовательность строки $S$$S$  и обозначают $S_{l,r}=s_l{s}_{l+1}\dots <!--\; \dots \; -->s_r$$S_{l,r}=s_{l}s_{l+1}\dots s_{r}$ .

• В частности, подстрока, у которой $l=1$$l=1$ , называется префиксом строки $S$$S$ , а подстрока, у которой $r=n$$r=n$ , — суффиксом строки $S$$S$ .

• Палиндромной подстрокой (подпалиндромом) называют подстроку $S$$S$ , которая является палиндромом. Если эта подстрока также является префиксом или суффиксом строки $S$$S$ , то её называют префикс- или суффикс-палиндромом соответственно.

• Префиксным деревом называют корневое ориентированное дерево, дуги которого помечены символами таким образом, что из любой вершины $v$$v$  этого дерева исходит не больше одной дуги, помеченной данным символом.

• Каждой вершине префиксного дерева соответствует строка, равная конкатенации символов на пути из корня дерева в эту вершину.

Структура дереваПравить

В обозначениях выше, дерево палиндромов строки $S$$S$  — это ориентированный граф, каждая вершина которого соответствует некоторому уникальному подпалиндрому строки и отождествляется с ним. Если у строки есть подпалиндромы $t$$t$  и $ctc$$ctc$ , где $c$$c$  — некоторый символ алфавита, то в дереве палиндромов есть дуга, помеченная символом $c$$c$ , из вершины, соответствующей $t$$t$ , в вершину, соответствующую $ctc$$ctc$ . В таком графе у любой вершины может быть только одна входящая дуга. Для удобства также вводятся две служебные вершины, которые соответствуют палиндромам длины $0$$0$  (пустая строка) и $-<!--\; -\; -->1$$-1$  («мнимая» строка) соответственно. Дуги из пустой строки ведут в вершины, соответствующие палиндромам вида $cc$$cc$ , а из «мнимой строки» — в вершины, соответствующие палиндромам вида $c$$c$  (то есть состоящим из единственного символа). Вершина называется чётной, если ей соответствует палиндром чётной длины, и нечётной в противном случае. Из определения следует, что дуги в дереве палиндромов проходят только между вершинами с одинаковой чётностью. С точки зрения префиксных деревьев данная структура может быть описана следующим образом:

Вершины и дуги дерева палиндромов образуют два префиксных дерева, корни которых находятся в вершинах, задающих пустую и «мнимую» строки соответственно. При этом первое префиксное дерево составлено из правых половин подпалиндромов чётной длины, а второе — нечётной.

Количество вершин в дереве палиндромов не превосходит $n+2$$n+2$ , что является прямым следствием следующей леммы:

У строки $S$$S$  длины $n$$n$  может быть не больше $n$$n$  различных непустых палиндромных подстрок. Более того, после приписывания некоторого символа $c$$c$  в конец строки количество различных подпалиндромов данной строки может увеличиться не больше, чем на $1$$1$ .

Доказательство

Данное утверждение следует из следующих фактов:

1. Если палиндром $u$$u$  — суффикс палиндрома $v$$v$ , то он также является его префиксом;
2. Если палиндромы $u$$u$  и $v$$v$  — суффиксы строки $w$$w$  и $|u|<|v|$ , то $u$$u$  встречается в $w$$w$  хотя бы два раза (как префикс и как суффикс $v$$v$ );
3. У любой строки $w$$w$  может быть не больше одного уникального (встречающегося в $w$$w$  всего один раз) суффикс-палиндрома.

Последнее свойство по сути эквивалентно лемме, так как все новые подстроки, которые появляются при дописывании очередного символа к строке, должны быть её суффиксами.■

Помимо обычных дуг, которые служат переходами для префиксного дерева, для каждой вершины дерева палиндромов определяется суффиксная ссылка, которая ведёт из вершины $v$$v$  в вершину $u$$u$ , соответствующую наибольшему собственному (не равному всей строке $v$$v$ ) суффикс-палиндрому $v$$v$ . При этом суффиксная ссылка из «мнимой» вершины не определена, а из пустой вершины по определению ведёт в «мнимую». Суффиксные ссылки образуют дерево с корнем в «мнимой» вершине и играют важную роль в построении дерева палиндромов.

ПостроениеПравить

Как и многие другие строковые структуры, дерево палиндромов строится итеративно. Изначально оно состоит лишь из вершин, соответствующих пустой и мнимой строкам. Затем структура постепенно перестраивается при наращивании строки по одному символу. Так как при добавлении одного символа в строке появляется не более одного нового палиндрома, перестройка дерева в худшем случае потребует добавления одной новой вершины и суффиксной ссылки к ней. Для определения возможной новой вершины в ходе построения дерева поддерживается указатель last на вершину, соответствующую наибольшему из текущих суффикс-палиндромов.

Все суффикс-палиндромы строки достижимы по суффиксным ссылкам из last, поэтому для определения нового суффикс-палиндрома (именно он будет соответствовать новой вершине, если таковая появится) необходимо переходить по суффиксным ссылкам last, пока не обнаружится, что символ, предшествующий текущему суффикс-палиндрому, совпадает с символом, который был приписан к строке. Более формально, пусть $P$$P$  — максимальный суффикс-палиндром строки $S_{1,k}=s_1{s}_2\dots <!--\; \dots \; -->s_k$$S_{1,k}=s_{1}s_{2}\dots s_{k}$ , тогда либо $P=s_k$$P=s_{k}$ , либо $P=s_{k}Q{s}_k$$P=s_{k}Qs_{k}$ , где $Q$$Q$  — некоторый суффикс-палиндром $S_{1,k-<!--\; -\; -->1}$$S_{1,k-1}$ . Таким образом, перебирая $Q$$Q$  среди суффиксных ссылок last, можно определить, может ли он быть расширен до $P$$P$  путём сравнения символов $s_{k-<!--\; -\; -->|Q|-<!--\; -\; -->1}$$s_{k-|Q|-1}$  и $s_k$$s_{k}$ . Когда соответствующий суффикс-палиндром $Q$$Q$  был найден, следует проверить, присутствует ли в дереве палиндромов переход из соответствующей ему вершины по символу $s_k$$s_{k}$ .

Если такой переход есть, то $P$$P$  уже встречался в строке ранее и соответствует вершине, в которую ведёт этот переход. В противном случае необходимо создать для него новую вершину и провести переход по $s_k$$s_{k}$  из $Q$$Q$ . Затем следует определить суффиксную ссылку для $P$$P$ , которая соответствует второму максимальному суффикс-палиндрому $S_{1,k}$$S_{1,k}$ . Для того, чтобы её найти, следует продолжать обход суффиксных ссылок last, пока не встретится вторая вершина $Q$$Q$ , такая что $s_{k-<!--\; -\; -->|Q|-<!--\; -\; -->1}=s_k$$s_{k-|Q|-1}=s_{k}$ ; именно эта вершина и будет суффиксный ссылкой $P$$P$ . Если обозначить переход из вершины $v$$v$  по символу $c$$c$  как $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(v,c)$$\delta (v,c)$ , весь процесс может быть описан следующим псевдокодом:

функция find_link(v):
    пока sk-len(v)-1 ≠ sk:
        присвоить v = link(v)
    вернуть v

функция add_letter(c):
    присвоить k = k + 1
    определить sk = c
    определить q = find_link(last)
    если δ(q, c) не определено:
        определить p = new_vertex()
        определить len(p) = len(q) + 2
        определить link(p) = δ(find_link(link(q)), c)
        определить δ(q, c) = p
    присвоить last = δ(q, c)

Здесь предполагается, что изначально дерево описывается лишь двумя вершинами с длинами $0$$0$  и $-<!--\; -\; -->1$$-1$  соответственно с суффиксной ссылкой из первой вершины во вторую. В переменной last хранится вершина, соответствующая наибольшему суффикс-палиндрому текущей строки, изначально она указывает на вершину нулевой строки. Также предполагается, что $k$$k$  изначально равно $0$$0$  и в $s_0$$s_{0}$  записан некоторый служебный символ, который не встречается в строке $s_1{s}_2\dots <!--\; \dots \; -->s_k$$s_{1}s_{2}\dots s_{k}$ .

Вычислительная сложностьПравить

Сложность алгоритма может варьировать в зависимости от структур данных, в которых хранится таблица переходов в дереве. В общем случае при использовании ассоциативного массива время, затрачиваемое на обращение к $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(q,c)$$\delta (q,c)$ , достигает $O(\log <!--\; \; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})$$O(\log \sigma )$ , где $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$  — размер алфавита, из символов которого построена строка. Стоит заметить, что каждая итерация первого вызова find_link уменьшает длину last, а второго — длину link(last), которые между последовательными вызовам add_letter могут увеличиться только на единицу. Таким образом, суммарное время работы find_link не превосходит $O(n)$$O(n)$ , а общее время, требуемое для выполнения $n$$n$  вызовов add_letter, можно оценить как $O(n\log <!--\; \; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})$$O(n\log \sigma )$ . Расход памяти у данной структуры в худшем случае линейный, однако если рассматривать усреднённый размер структуры по всем строкам заданной длины $n$$n$ , средний расход памяти будет порядка $O(\sqrt{n\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}})$$O({\sqrt {n\sigma }})$ .

МодификацииПравить

Одновременно с введением данной структуры данных Рубинчик и Шур также предложили ряд модификаций, позволяющих расширить область задач, решаемых деревом палиндромов. В частности, был предложен метод, позволяющий с той же асимптотикой построить общее дерево палиндромов для множества строк $S_1,S_2,\dots <!--\; \dots \; -->,S_k$$S_{1},S_{2},\dots ,S_{k}$ . Такая модификация позволяет решать те же задачи, рассматриваемые в контексте множества строк — например, найти наибольший общий подпалиндром всех строк или число различных подпалиндромов всех строк в совокупности. Другой предложенной модификацией стал вариант построения дерева, при котором на добавление одного символа требуется $O(\log <!--\; \; -->n)$$O(\log n)$  времени в худшем случае (а не $O(\log <!--\; \; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})$$O(\log \sigma )$  амортизированно, как это происходит в стандартном построении) и $O(1)$$O(1)$  памяти. Такой подход позволяет обеспечить частичную персистентность^[en] дерева, при которой можно в произвольные моменты времени откатывать добавление последнего символа. Кроме того, была предложена полностью персистентная версия дерева, позволяющая обратиться и дописать символ к любой из сохранённых ранее версий за $O(\log <!--\; \; -->n)$$O(\log n)$  времени и памяти в худшем случае.

В 2019 году Ватанабе с коллегами разработали на основе дерева палиндромов структуру данных, называемую e²rtre², для работы с подпалиндромами строк, заданных кодированием длин серий, а в 2020 году тот же состав авторов, совместно с Миено, разработали два алгоритма, позволяющих поддерживать дерево палиндромов на скользящем окне размера $d$$d$ . Первый из указанных алгоритмов требует $O(n\log <!--\; \; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})$$O(n\log \sigma )$  времени и $O(d)$$O(d)$  памяти, а второй — $O(n+d\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})$$O(n+d\sigma )$  времени и $O(d\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})$$O(d\sigma )$  памяти.

ПримененияПравить

Дерево палиндромов даёт множество возможных применений для получения теоретически быстрых и практически легко реализуемых алгоритмов для решения ряда комбинаторных задач в программировании и математической кибернетике.

Одной из задач, для которых была разработана данная структура, является подсчёт различных подпалиндромов в строке в режиме онлайн^[en]. Она может быть поставлена следующим образом: к изначально пустой строке поочерёдно приписывается по одному символу. На каждом шаге необходимо вывести число различных подпалиндромов в данной строке. С точки зрения дерева палиндромов это эквивалентно тому, чтобы на каждом шаге вывести количество нетривиальных вершин в структуре. Линейное решение для оффлайн-версии данной задачи было представлено в 2010 году, а оптимальное решение со временем исполнения $O(n\log <!--\; \; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})$$O(n\log \sigma )$  для онлайн-версии было найдено в 2013 году. Указанное решение, однако, использовало две «тяжеловесные» структуры данных — аналог алгоритма Манакера, а также суффиксное дерево. Дерево палиндромов же, с одной стороны, имеет ту же асимптотику в худшем случае, а с другой — является значительно более легковесной структурой.

Другим возможным применением данной структуры является перечисление палиндромно-богатых двоичных строк. Ранее было показано, что слово длины $n$$n$  может содержать не более $n+1$$n+1$  различных палиндромов, палиндромно-богатыми называются слова, на которых данная оценка достигается. Понятие палиндромно-богатых слов было введено Эми Глен и коллегами в 2008 году. Рубинчик и Шур показали, что с помощью дерева палиндромов можно обнаружить все палиндромно-богатые слова, чья длина не превосходит $n$$n$  за $O(R)$$O(R)$ , где $R$$R$  — количество таких слов. Данный результат позволил увеличить количество известных членов последовательности A216264 в OEIS c 25 до 60. Полученные данные показали, что последовательность растёт значительно медленнее, чем это предполагалось ранее, а именно она ограничена сверху как $O(1,{605}^n)$$O(1,605^{n})$ .

СсылкиПравить

• Дерево палиндромов  (неопр.). Вики-конспекты ИТМО.