Дебаевская длина

Деба́евская длина (дебаевский радиус) — расстояние, на которое распространяется действие электрического поля отдельного заряда в квазинейтральной среде, содержащей свободные положительно и отрицательно заряженные частицы (плазма, электролиты). Вне сферы радиуса дебаевской длины электрическое поле экранируется в результате поляризации окружающей среды (поэтому это явление ещё называют экранировкой Дебая).

Дебаевская длина определяется формулой

${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{\text{D}}={\left\{\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{q}_j^2{n}_j}{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{r}k{T}_j}\right\}}^{-<!--\; -\; -->1/2}$$\lambda _{\text{D}}=\left\{\sum _{j}{\frac {4\pi q_{j}^{2}n_{j}}{\varepsilon _{r}kT_{j}}}\right\}^{-1/2}$ (СГС),

${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{\text{D}}={\left\{\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{q_j^2{n}_j}{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{r}k{T}_j}\right\}}^{-<!--\; -\; -->1/2}$$\lambda _{\text{D}}=\left\{\sum _{j}{\frac {q_{j}^{2}n_{j}}{\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}kT_{j}}}\right\}^{-1/2}$ (СИ),

где $q_j$$q_{j}$ — электрический заряд, $n_j$$n_{j}$ — концентрация частиц, $T_j$$T_{j}$ — температура частиц типа $j$$j$, $k$$k$ — постоянная Больцмана, ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0$$\varepsilon _{0}$ — диэлектрическая проницаемость вакуума, ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_r$$\varepsilon _{r}$ — диэлектрическая проницаемость. Суммирование идёт по всем сортам частиц, при этом должно выполняться условие нейтральности $\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{q}_j{n}_j=0$$\sum _{j}q_{j}n_{j}=0$. Важным параметром среды является число частиц в сфере радиуса дебаевской длины:

$n_{\text{D}}=\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{\text{D}}^3\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{n}_j.$$n_{\text{D}}={\frac {4\pi }{3}}\lambda _{\text{D}}^{3}\sum _{j}n_{j}.$

Оно характеризует отношение средней кинетической энергии частиц к средней энергии их кулоновского взаимодействия:

$n_{\text{D}}\sim <!--\; \sim \; -->(E_{\text{kinetic}}/E_{\text{coulomb}}{)}^{3/2}.$$n_{\text{D}}\thicksim (E_{\text{kinetic}}/E_{\text{coulomb}})^{3/2}.$

Для электролитов это число мало́ ($n_D\sim <!--\; \sim \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->4}$$n_{D}\thicksim 10^{-4}$). Для плазмы, находящейся в самых различных физических условиях, — велико. Это позволяет использовать методы физической кинетики для описания плазмы.

Понятие дебаевской длины введено Петером Дебаем в связи с изучением явлений электролиза.

Физический смыслПравить

В системе из $N$$N$  различных типов частиц частицы $j$$j$ -й разновидности переносят заряд $q_j$$q_{j}$  и имеют концентрацию $n_j(\mathbf{r})$$n_{j}({\mathbf {r}})$  в точке $\mathbf{r}$$\mathbf {r}$ . В первом приближении эти заряды можно рассматривать как непрерывную среду, характеризующуюся только своей диэлектрической проницаемостью ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_r$$\varepsilon _{r}$ . Распределение зарядов в такой среде создаёт электрическое поле с потенциалом $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathbf{r})$$\Phi ({\mathbf {r}})$ , удовлетворяющим уравнению Пуассона:

${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathbf{r})=-<!--\; -\; -->\frac{1}{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_r{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{q}_j{n}_j(\mathbf{r}),$$\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}q_{j}\,n_{j}(\mathbf {r} ),$ 

где ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0$$\varepsilon _{0}$  — диэлектрическая постоянная.

Подвижные заряды не только создают потенциал $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathbf{r})$$\Phi ({\mathbf {r}})$ , но также движутся под действием кулоновской силы $-<!--\; -\; -->q_j\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathbf{r})$$-q_{j}\,\nabla \Phi (\mathbf {r} )$ . В дальнейшем будем считать, что система находится в термодинамическом равновесии с термостатом с температурой $T$$T$ , тогда концентрации зарядов $n_j(\mathbf{r})$$n_{j}({\mathbf {r}})$  могут быть рассмотрены как термодинамические величины, а соответствующий электрический потенциал — как соответствующий самосогласованному полю. В этих допущениях концентрация $j$$j$ -й разновидности частиц описывается Больцмановским распределением:

$n_j(\mathbf{r})=n_j^0\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{q_j\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathbf{r})}{kT}\right),$$n_{j}(\mathbf {r} )=n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{kT}}\right),$ 

где $n_j^0$$n_{j}^{0}$  средняя концентрация зарядов типа $j$$j$ . Взяв в уравнении Пуассона вместо мгновенных значений концентрации и поля их усреднённые значения, получаем уравнение Пуассона — Больцмана:

${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathbf{r})=-<!--\; -\; -->\frac{1}{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_r{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{q}_j{n}_j^0\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{q_j\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathbf{r})}{kT}\right).$$\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}q_{j}n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{kT}}\right).$ 

Решения этого нелинейного уравнения известны для некоторых простых систем. Более общее решение может быть получено в пределе слабой связи ($q_j\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathbf{r})\ll <!--\; \ll \; -->kT$$q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )\ll kT$ ) разложением экспоненты в ряд Тейлора:

$\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{q_j\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathbf{r})}{kT}\right)\approx <!--\; \approx \; -->1-<!--\; -\; -->\frac{q_j\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathbf{r})}{kT}.$$\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{kT}}\right)\approx 1-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{kT}}.$ 

В результате чего получается линеаризованное уравнение Пуассона — Больцмана

${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathbf{r})=\left(\underset{j=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{n_j^0{q}_j^2}{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_r{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{0}kT}\right)\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathbf{r})-<!--\; -\; -->\frac{1}{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_r{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{n}_j^0{q}_j,$$\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{N}{\frac {n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}\,kT}}\right)\Phi (\mathbf {r} )-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}q_{j},$ 

также известное как уравнение Дебая — Хюккеля. Второе слагаемое в правой части уравнения исчезает в случае электронейтральности системы. Слагаемое в скобках имеет размерность обратного квадрата длины, что естественным образом приводит нас к определению характерной длины

${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{\text{D}}={\left(\frac{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_r{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{0}kT}{\underset{j=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{n}_j^0{q}_j^2}\right)}^{1/2},$$\lambda _{\text{D}}=\left({\frac {\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}\,kT}{\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}}\right)^{1/2},$ 

обычно называемой дебаевским радиусом (или дебаевской длиной). Все типы зарядов вносят положительный вклад в дебаевскую длину вне зависимости от их знака.

Некоторые значения дебаевских длинПравить

(Источник: Глава 19: The Particle Kinetics of Plasma)

Плазма	Плотность ne (м−3)	Температура электронов T (K)	Магнитное поле B (T)	Дебаевская длина λD (м)
Газовый разряд (пинчи)	1016	104	—	10−4
Токамак	1020	108	10	10−4
Ионосфера	1012	103	10−5	10−3
Магнитосфера	107	107	10−8	102
Солнечное ядро	1032	107	—	10−11
Солнечный ветер	106	105	10−9	10
Межзвёздное пространство	105	104	10−10	10
Межгалактическое пространство	1	106	—	105

См. такжеПравить

• Двойной электрический слой

ЛитератураПравить

• Арцимович Л. А. Элементарная физика плазмы. — 3-е изд. — М.: Атомиздат, 1969. — 189 с.
• Котельников И. А. Лекции по физике плазмы. Том 1: Основы физики плазмы. — 3-е изд. — СПб.: Лань, 2021. — 400 с. — ISBN 978-5-8114-6958-1.