Двойной ряд

Двойной ряд — числовая последовательность, элементы которой занумерованы парами целых положительных чисел (индексов), рассматриваемая совместно с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм ряда.

ОпределениеПравить

Пусть $\{a_{i,j}{\}}_{i=1,j=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\{a_{i,j}\}_{i=1,j=1}^{\infty }$  — числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность частичных сумм ряда

$\{s_{k,l}{\}}_{k=1,l=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}},$$\{s_{k,l}\}_{k=1,l=1}^{\infty },$ 

каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности

$\{s_{k,l}\}=\underset{i=1,j=1}{\overset{i=k,j=l}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{i,j}$$\{s_{k,l}\}=\sum _{i=1,j=1}^{i=k,j=l}a_{i,j}$ 

Вообще, для обозначения ряда используется символ:

$\underset{i=1,j=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{i,j},$$\sum _{i=1,j=1}^{\infty }a_{i,j},$ 

поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.

В соответствии с этим говорится о сходимости числового двойного ряда:

• числовой двойной ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм, то есть ряд $\{a_{i,j}\}$$\{a_{i,j}\}$  сходится и имеет сумму $s$$s$ , если, каково бы ни было $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$ , найдутся такие числа $m_0$$m_{{0}}$  и $n_0$$n_{{0}}$ , что при $m>m_0$$m>m_{0}$  и $n>n_0$$n>n_{{0}}$  выполняется неравенство $\|s_{mn}-s\|<\varepsilon$ . Также условие сходимости двойного ряда к сумме $s$$s$  можно записать в виде

$\underset{n,m\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{s}_{mn}=s$$\lim _{n,m\to \infty }s_{mn}=s$ .

• числовой двойной ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм;
• числовой двойной ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.

Если числовой ряд сходится, то предел $S$$S$  последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:

$S=\underset{i=1,j=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{i,j}$$S=\sum _{i=1,j=1}^{\infty }a_{i,j}$ 

СвойстваПравить

• Пусть в сходящемся двойном ряде $\{a_{m,n}{\}}_{m,n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\{a_{m,n}\}_{m,n=1}^{\infty }$  с суммой $s$$s$  сходятся все строки, а также пусть сходится ряд, составленный из их сумм, то есть пусть существуют пределы в равенствах $s_{i\ast <!--\; \ast \; -->}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{ij}$$s_{i*}=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}a_{ij}$  и $s^{\prime }=\underset{m\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\underset{i=1}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{s}_{i\ast <!--\; \ast \; -->}$$s'=\lim _{m\to \infty }\sum _{i=1}^{m}s_{i*}$ . Тогда $s=s^{\prime }$$s=s'$ . Аналогично, если существуют пределы $s_{\ast <!--\; \ast \; -->j}=\underset{m\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\underset{i=1}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{ij}$$s_{*j}=\lim _{m\to \infty }\sum _{i=1}^{m}a_{ij}$  и $s^{″}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{s}_{\ast <!--\; \ast \; -->j}$$s''=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}s_{*j}$ . Тогда $s=s^{″}$$s=s''$ .
• Теорема Маркова. Пусть в двойном ряде $\{a_{i,j}\}$$\{a_{i,j}\}$  сходятся все строки $s_{m\ast <!--\; \ast \; -->}=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{mn}$$s_{m*}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{mn}$  и все столбцы $s_{\ast <!--\; \ast \; -->n}=\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{mn}$$s_{*n}=\sum _{m=1}^{\infty }a_{mn}$ . Обозначим сумму строк $s^{\prime }=\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{m\ast <!--\; \ast \; -->}$$s'=\sum _{m=1}^{\infty }a_{m*}$ .

Тогда:

• • $k$$k$  - е остатки строк $r_m^{(k)}=\underset{n=k+1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{mn}$$r_{m}^{(k)}=\sum _{n=k+1}^{\infty }a_{mn}$  образуют сходящийся ряд $\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{r}_m^{(k)}$$\sum _{m=1}^{\infty }r_{m}^{(k)}$  с некоторой суммой $R_k$$R_{k}$ .
  • Для того, чтобы сходился ряд, составленный из сумм столбцов $s^{″}=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{s}_{\ast <!--\; \ast \; -->n}$$s''=\sum _{n=1}^{\infty }s_{*n}$  необходимо и достаточно существование предела $\underset{k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{R}_k=R$$\lim _{k\to \infty }R_{k}=R$ .
  • Для равенства $s^{\prime }=s^{″}$$s'=s''$  необходимо и достаточно, чтобы было $R=0$$R=0$ .

ЛитератураПравить

• Воробьев Н. Н. Теория рядов. — М.: Наука, 1986. — 408 с.