Двойная серпоротонда

Двойная серпоротонда
Двойная серпоротонда
	; (3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклая
Комбинаторика
14 граней; 26 рёбер; 14 вершин	Χ = 2
Грани	8 треугольников; 2 квадрата; 4 пятиугольника
Конфигурация вершины	4(3.52) ; 8(3.4.3.5) ; 2(3.5.3.5)
	Развёртка
Классификация
Обозначения	J91, М8
Группа симметрии	D2h
	Медиафайлы на Викискладе

Двойна́я серпорото́нда^[1]^[2] — один из многогранников Джонсона (J₉₁, по Залгаллеру — М₈).

Составлена из 14 граней: 8 правильных треугольников, 2 квадратов и 4 правильных пятиугольников. Каждая пятиугольная грань окружена пятиугольной и четырьмя треугольными; каждая квадратная — четырьмя треугольными; каждая треугольная — двумя пятиугольными и квадратной.

Имеет 26 рёбер одинаковой длины. При 4 рёбрах между треугольной и квадратной гранями двугранные углы равны $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\arccos \left(-{\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}}{6}}\right)\approx 159{,}09^{\circ },$ $\arccos \left(-{\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}}{6}}\right)\approx 159{,}09^{\circ },$ при других 4 рёбрах между треугольной и квадратной гранями $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\arccos \left(-{\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}}{6}}\right)\approx 110{,}91^{\circ };$ $\arccos \left(-{\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}}{6}}\right)\approx 110{,}91^{\circ };$ при 8 рёбрах между треугольной и пятиугольной гранями $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)\approx 142{,}62^{\circ },$ $\arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)\approx 142{,}62^{\circ },$ при других 8 рёбрах между треугольной и пятиугольной гранями $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\arccos \left(-{\sqrt {\frac {5-2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)\approx 100{,}81^{\circ };$ $\arccos \left(-{\sqrt {\frac {5-2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)\approx 100{,}81^{\circ };$ при 2 рёбрах между двумя пятиугольными гранями $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\arccos \,{\frac {\sqrt {5}}{5}}\approx 63{,}43^{\circ }.$ $\arccos \,{\frac {\sqrt {5}}{5}}\approx 63{,}43^{\circ }.$

У двойной серпоротонды 14 вершин. В 2 вершинах сходятся две пятиугольных грани и две треугольных; в 4 вершинах (расположенных как вершины прямоугольника) — две пятиугольных и одна треугольная; в остальных 8 (расположенных как вершины прямоугольного параллелепипеда) — пятиугольная, квадратная и две треугольных.

Двойная серпоротонда, совершающая полный оборот шагами по 15°

Метрические характеристикиПравить

Если двойная серпоротонда имеет ребро длины $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $a$ , её площадь поверхности и объём выражаются как

\text{[math]}

S=\left(2+2{\sqrt {3}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 12{,}3460112a^{2},

\text{[math]}

V={\frac {1}{12}}\left(17+9{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 3{,}0937176a^{3}.

В координатахПравить

Двойную серпоротонду с длиной ребра $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $2$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты^[2]

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(0;\;0;\;\pm \Phi ),$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(\pm (\Phi +1);\;\pm 1;\;0),$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(\pm 1;\;\pm \Phi ;\;\pm 1),$

где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ — отношение золотого сечения.

При этом центр симметрии многогранника будет совпадать с началом координат, все три его оси симметрии — с осями Ox, Oy и Oz, все три плоскости симметрии — с плоскостями xOy, xOz и yOz.

Родство с архимедовыми телами Править

С икосододекаэдромПравить

Рассмотрим комплекс из двух пятиугольных и двух треугольных граней двойной серпоротонды, сходящихся в общей вершине; таких четырёхгранных комплекса у многогранника два. Точно такие же комплексы имеются у икосододекаэдра.

Если вписать две двойных серпоротонды в икосододекаэдр с той же длиной ребра, совместив названные четырёхгранные комплексы каждой с аналогичными противоположными друг другу комплексами икосододекаэдра, то противоположные названным комплексам вершины двойных серпоротонд встретятся точно в центре икосододекаэдра.

С ромбоикосододекаэдромПравить

Грани двойной серпоротонды, не входящие в описанные в предыдущем разделе комплексы, в свою очередь, составляют два комплекса из квадратной грани и двух примыкающих к ней треугольных. Точно такие же комплексы имеются у ромбоикосододекаэдра.

Если вписать две двойных серпоротонды в ромбоикосододекаэдр с той же длиной ребра, совместив названные трёхгранные комплексы каждой с аналогичными противоположными друг другу комплексами ромбоикосододекаэдра, то противоположные названным комплексам квадратные грани двойных серпоротонд окажутся расположены друг напротив друга как две грани куба, — который можно будет поместить между ними, и его центр совпадет с центром ромбоикосододекаэдра.

Заполнение пространстваПравить

С помощью двойных серпоротонд, кубов и правильных додекаэдров можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений, как показано на иллюстрациях.