E₈ (математика)

$E_8$$E_8$ — наибольшая особая простая группа Ли. $E_8$$E_8$ была открыта Вильгельмом Киллингом в 1888—1890 годах, а современное её обозначение пришло из классификации простых алгебр Ли, которую ввели Эли Картан и Вильгельм Киллинг. Классификация выделяет четыре бесконечных семейства простых алгебр Ли, обозначаемых $A_n$$A_{n}$, $B_n$$B_{n}$, $C_n$$C_{n}$, $D_n$$D_{n}$, и пять особых случаев, обозначаемых E₆, E₇, E₈, F₄ и G₂.

Граф полиэдра $E_8$$\scriptstyle {E_{8}}$

ОписаниеПравить

$E_8$$E_8$  имеет ранг 8 и размерность 248 (как многообразие). Векторы системы корней определены в восьми измерениях.

Схема ДынкинаПравить

Схема Дынкина для E₈ имеет вид

 

Эта схема вкратце описывает строение системы корней. Каждый узел схемы представляет собой простой корень. Линия, соединяющая два простых корня, означает, что они находятся под углом 120° друг к другу. Два простых корня, не соединённые линией, ортогональны.

Матрица КартанаПравить

Матрица Картана системы корней порядка r — это матрица $r\times <!--\; \times \; -->r$$r\times r$ , элементы которой определяются простыми корнями следующим образом:

$A_{ij}=2\frac{({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_j)}{({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i)}$$A_{{ij}}=2{\frac {(\alpha _{i},\alpha _{j})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}$ 

где $(\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$(\cdot, \cdot)$  — евклидово скалярное произведение, а ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i$$\alpha_i$  — простые корни. Элементы матрицы не зависят от выбора простых корней (с точностью до порядка).

Матрица Картана для E₈ имеет вид

$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&2\end{smallmatrix}}\right]$ 

Определитель этой матрицы равен 1.

См. такжеПравить

• Решётка E₈
• E₈-многообразие
• Исключительно простая теория всего

СсылкиПравить

• «Ну очень большой результат», Компьютерра, Галактион Андреев, 11 апреля 2007 года
• «В 248-мерное пространство прорвались теоретики», Cnews, 20 марта 2007 года