Группа Фишера

Группы Фишера — это три спорадические группы Fi₂₂^[en], Fi₂₃^[en] и Fi₂₄^[en], введённые Берндом Фишером.

Группа 3-перестановокПравить

Основная статья: Группа 3-перестановок

Группы Фишера названы именем Бернда Фишера^[en], открывшего группы, когда он исследовал группы 3-перестановок. Это группы G со следующими свойствами:

• G генерируется классами сопряжённости элементов порядка 2, названными «перестановками Фишера» или 3-перестановками^[en].
• Произведение любых двух различных перестановок имеет порядок 2 или 3.

Типичным примером группы 3-перестановки служит симметрическая группа. Симметрическая группа S_n может быть сгенерирована n − 1 перестановкой — (12), (23), ..., (n − 1, n).

Фишер смог классифицировать группы 3-перестановок, удовлетворяющих определённым дополнительным условиям. Группы, которые он обнаружил, распадаются большей частью на некоторые бесконечные классы (кроме симметрических групп, сюда входят некоторые классы симплектических групп, унитарная и ортогональная группы), а также нашёл 3 очень большие новые группы. Эти группы обычно обозначаются как Fi₂₂, Fi₂₃ и Fi₂₄. Первые две из них являются простыми группами, а третья содержит простую группу Fi₂₄′ с индексом 2.

Отправной точкой для групп Фишера является унитарная группа PSU₆(2), которую можно рассматривать как группу Fi₂₁ в серии групп Фишера. Эта группа имеет порядок 9.196.830.720 = 2¹⁵⋅3⁶⋅5⋅7⋅11. Фактически, двойное покрытие 2.PSU₆(2) становится подгруппой новой группы. Она является стабилизатором одной вершины в графе с 3510 (= 2⋅3³⋅5⋅13) вершинами. Эти вершины определяются как сопряжённые 3-перестановки в группе симметрии Fi₂₂ графа.

Группы Фишера названы по аналогии с большими группами Матьё. В Fi₂₂ максимальное множество 3-перестановок, коммутирующих друг с другом, имеет размер 22 и называется базисным множеством. Существует 1024 3-перестановки, называемых анабазисом, которые не коммутируют с любой перестановкой в выбранном базисном множестве. Любая перестановка из оставшихся 2364 перестановок, называемых шестивалентными, коммутирует с 6 базисными перестановками. Наборы из 6 перестановок образуют систему Штейнера S(3,6,22), группа симметрии которой — M₂₂. Базовое множество генерирует абелеву группу порядка 2¹⁰, которая расширяется в Fi₂₂ в подгруппу 2¹⁰:M₂₂.

Следующая группа Фишера получается из 2.Fi₂₂ как одноточечного стабилизатора графа с 31671 (= 3⁴⋅17⋅23) вершинами при интерпретации вершин как 3-перестановок в группе Fi₂₃. 3-перестановки имеют базовые множества размером 23, при этом 7 перестановок коммутируют с заданной внешней 3-перестановкой.

Следующая группа берёт Fi₂₃ как одноточечный стабилизатор графа с 306936 (= 2³⋅3³⋅7²⋅29) вершинами, чтобы образовать Fi₂₄. 3-Перестановки имеют базовые множества размером 24, при этом 8 перестановок среди 24 коммутируют с заданной внешней 3-перестановкой. Группа Fi₂₄ не является простой, но её дочерняя подгруппа имеет индекс 2 и является спорадической простой группой.

ОбозначениеПравить

Нет единого обозначения этих групп. Некоторые авторы используют F вместо Fi (F₂₂, например). Фишер использовал обозначения M(22), M(23) и M(24)′, чем подчёркивал их тесную связь с тремя наибольшими группами Матьё M₂₂, M₂₃ и M₂₄.

Один из источников путаницы — Fi₂₄. Это обозначение иногда используется для обозначения простой группы Fi₂₄′, а иногда — для полной группы 3-перестановок (вдвое большей).

Обобщённый Чудовищный вздорПравить

Конвей и Нортон предложили в 1979 статью, в которой утверждается, что теория чудовищного вздора^[en] не ограничивается группой «Монстр» и что похожие явления найдены для других групп. Ларисса Квин и другие обнаружили, что можно построить расширение многих Hauptmoduln (главных модулей) из простых комбинаций размерностей спорадических групп.